考向2 有关平行线的推理探究题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 考向二有关平行 1.(2025·运城新绛期中)“两条平行线被第三 条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本 图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基 本图形”.当发现题目中的图形“不完整”时要 添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本 图形”转化为“基本图形”， (1)如图①，直线AB,CD被直线EF所截， EM平分∠AEF,FM平分∠CFE.若 ∠AEM=55°，∠CFM=35°，则AB与CD 平行吗？请判断并说明理由， (2)如图②，ABCD,点M在直线AB,CD 之间，点E,F分别在直线AB,CD上， ∠EMF=90°，P是MF上一点，且EM平分 ∠AEP.若∠CFM=60°，求∠AEP的度数. (3)AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD 上，点M在直线AB,CD之间，在直线EF 的左侧，且∠EMF=90°，P是折线EMF上 的动点，移动点P,使EM平分∠AEP或 FM平分∠CFP.设∠CFP=a,∠AEP=B 请直接写出α与B之间的数量关系， (第1题) 112 拍照批改 线的推理探究题 “答案与解析”见P42 2.已知m∥n∥L,在△ABC和△DEF 中，∠BAC=∠EDF=90°，∠FED= 60°，∠DFE=30°，∠ABC=∠ACB=答案讲解 45°. (1)如图①，△ABC的边BC在L上，△DEF 的顶点F与点B重合，边EF与AB重合，顶 点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上， 求∠1的度数， (2)如图②，把直线m向下平移，点A,D分 别落在l,m上，点C恰好落在n上，试说明： ∠2-∠3=15°. (3)在(2)的条件下，若Q是直线n上一点， 当CQ恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间 存在一个特殊的倍数关系.请写出它们之间 的倍数关系，并说明理由 E D m B(F) E 2 B(F) ② (第2题) 拍照批改 考向三 有关全等 1.利用角平分线构造全等三角形是常用的方 法.如图①，OP平分∠MON,A为OM上一 点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC 交ON于点B,可得△AOC≌△BOC,则 AO=BO,AC=BC (第1题①) 【问题提出】 (1)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB, AE⊥CD于点E.若∠EAC=63°，∠B= 37°，通过上述构造全等三角形的办法，求 ∠DAE的度数： B (第1题②) 【问题探究】 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂 足E在CD的延长线上，试探究BE和CD 的数量关系 (第1题③) 【问题解决】 (3)如图④所示的△ABC是一块肥沃的土 地，其中边AC与灌渠相邻，李伯伯想在这块 地中划出一块直角三角形土地ACD进行水 稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD; ②过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，△ABC的面积 期末压轴题特训 角形的推理探究题，“答案与解析”见P43 E 为20平方米，求划出的△ACD的面积 B A (第1题④) 2.(2024·郑州高新区期末)下面是数 学兴趣小组探究问题的过程，请仔 细阅读，并解决问题 答案讲解 【问题提出】 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC,点D在线段AB上，在△ABC的外侧， 以BC为边能否构造一个与△CAD全等的 三角形？ (第2题①) 113v≈320 所以h1≈5.8. 所以1号杯的水面高度约为5.8cm. [综合素能提升] 1.A 2.C解析：由题图，知当x=3时， 1 CP=3,Sam=2PC·CD=3,即 ?X3CD=3,所以CD=2.因为D 是BC的中点，所以BC=4.由题图， 易知当x=8时，点P和，点A重合，所 1 以AC=8.所以S△M=zAC· BC=7×8X4=16 3.24.B 5.(1)8. (2)由题图，可知小刘从家去超市的 速度为46=0.2(km/miny 因为从家出发15min时与妹妹相遇， 所以0.2×15=3(km),8一3= 5(km). 所以小刘和妹妹第一次相遇时距超市 的距离是5km. 6 (3)因为75+(8-6)÷7560+3= 83(min), 所以小刘从家里出发到回家用了 83 min. 期末压轴题特训 考向一整式的乘除运算 与几何图形综合题 1.(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab. (2)由(1)，得(2x+y)2=(2x y)2+8xy, 将2x十y=7,2x-y=5代入，得 49=25+8.xy, 所以xy=3. (3)(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3. (4)由(3)，可知a3+b3=(a+b)3 3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b), 把a+b=3,ab=1代入，得a3+b3 33-3×1×3=18. 所以43+6 2 =9. 2.(1)-36 (2)(x+1,nx+2)☒(4，x+1)= (x+1)2-4(x+2)=x2+(2 4n)x-7. 因为代数式中不含x的一次项， 1 所以2-4=0，解得n= (3)因为(a+1,b2+1)☒(-1，a 1)=41, 所以(a+1)(a一1)+(b2+1)=41, 即a2+b2=41. 因为BE=a十b=9, 所以(a+b)2=81,即41+2ab=81 所以ab=20. 所以阴影部分的面积为2ab十 1 2ab=ab=20. (4)因为AB=5, 所以S1=a(5-3b),S2=b(5-2a). 所以2S1-3S2=2a(5-3b)-3b(5 2a)=5,即2a-3b=1. 所以2a=3b+1. 所以(2a+b,b)☒(-4b+3,2a 4b)=(2a+b)(2a-4b)-b(-4b+ 3)=(4b+1)(-b+1)-b(-4b+ 3)=1. 考向二有关平行线的 推理探究题 1.(1)AB/CD 理由：因为∠AEM=55°，EM平 分∠AEF, 所以∠AEF=2∠AEM=110°. 因为∠CFM=35°，FM平分∠CFE, 所以∠CFE=2∠CFM=70°. 所以∠AEF+∠CFE=180°. 所以ABCD. (2)如图①，过点M作MN∥AB. 因为ABCD, 所以AB/CDMN 所以∠AEM=∠NME,∠NMF= ∠CFM=60. 因为∠EMF=90°， 42 所以∠AEM=∠NME=30°. 因为EM平分∠AEP, 所以∠AEP=2∠AEM=60°. (3)a+23=90或8+2a=90° 解析：如图①，当点P在MF上时， EM平分∠AEP,则∠AEM= ∠PRM=之∠AEP=安A.易得 ∠CFP=90°-∠AEM,即a=90° R所以a+日=90如图@，当 点P在ME上时，FM平分∠CFP, 则∠CFM=∠PFM=∠CFP= 2a.易得∠AEP=90°-∠CFM,所 以9=90合，即9计20=0综 1 上所述，a十283=90或9+2a=90, ② (第1题) 2.(1)设EF交n于点N. 因为n, 所以∠DBC=∠BDN. 又因为∠DBC=∠ABC一∠ABD= 45°-30°=15°， 所以∠BDN=15. 所以∠1=∠BDE-∠BDN=75. (2)如图，过点B作BG∥m,交DE 于点G,设AB交n于点N. 因为BGm,lmhm, 所以BGmm. 所以∠3=∠DBG,∠4=∠ABG. 所以∠3+∠4=∠DBG+∠ABG= ∠DBA=30°+45°=75°. 又因为∠4=180°-90°-∠2= 90°-∠2， 所以∠3+90°-∠2=75 所以∠2-∠3=15. (3)∠2=3∠3. 理由：由(2)，知∠2-∠3=15. 因为CQ平分∠ACB, 所以∠BCQ=∠ACQ=22.5°. 因为n, 所以∠2=∠ACQ=22.5. 所以∠3=7.5. 因为22.5°÷7.5°=3， 所以∠2=3∠3. D m B(F) 3---- G 4入 2 (第2题) 考向三有关全等三角形的 推理探究题 1.(1)如图①，延长AE交BC于点 F,则∠AEC=∠FEC=90. 因为CD平分∠ACB, 所以∠ACE=∠FCE. 又因为CE=CE, 所以△ACE2△FCE 所以∠EAC=∠EFC=63. 因为∠EFC=180°-∠AFB= ∠B+∠DAE, 所以∠DAE=∠EFC一∠B=63°- 37°=26. (2)如图②，延长BE,CA交于点F, 则∠BAF=180°-∠BAC=180°- 90°=90° 因为BE⊥CD 所以∠BED=90°=∠BAC. 因为∠ABF+∠BED+∠BDE= 180°，∠ACD+∠BAC+∠ADC= 180°，∠BDE=∠ADC, 所以∠ABF=∠ACD. 又因为AB=AC, 所以△ABF≌△ACD. 所以BF=CD. 同理于(1)，易得△BEC≌△FEC, 所以BE=FE=合BE 所以BE=CD. (3)如图③，延长AD交BC于点E. 同理于(1)，易得△ADC≌△EDC, 所以AD=ED,EC=AC=10米， S△ACD=S△D: 因为S△Ax=20平方米，BC=13米， _10 SAAI-13 所以S△ACR=13氵 0×20= 13平方米). 200 100平方米 所以SAn=2S△AcR=13 ③ (第1题) 2.(1)SSS;ASA (2)①∠CBA;∠CAB;全等三角形 的对应边相等 ②所以△CAE的面积=△ECF的 面积. 因为△ACB≌△FCB, 所以△ACB的面积=△FCB的面积 因为△CBE≌△CAD, 所以△CBE的面积=△CAD的 面积. 所以△ECF的面积=△CDB的 面积 所以△CAE的面积=△CDB的 面积 (3)因为AC=BC=6, =1×6X6=18. 所以S△Ae=2 因为D是线段AB的三等分点， 43 所以Sr=专Sa=6或 Sx=3S△AC=12. 由(2)，知S△cE=S△mx, 所以S△c4E=6或12. 考向四有关等腰三角形的 推理探究题 1.(1)△AOB为直角三角形. 理由：因为AB=AC,∠B=30°， 所以∠C=∠B=30°. 所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 120. 因为OD∥AC,∠AOD=∠B=30°， 所以∠OAC=∠AOD=30°. 所以∠BAO=∠BAC-∠OAC= 90. 所以△AOB为直角三角形. (2)由(1)，知∠AOD=30°，∠BAC= 120°.当△AOD的形状是等腰三角形 时，分三种情况： ①当DA=DO时，∠OAD= ∠AOD=30°， 所以∠ADO=180°-∠OAD- ∠AOD=120°. 所以∠BDO=180°-∠ADO=60°. ②当OA=OD时，∠OAD= zXI80°-∠A0D)= 1 ∠ODA= 75°， 所以∠BDO=180°-75°=105°. ③当AD=AO时，∠ADO= ∠AOD=30°， 所以∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=120. 因为∠BAC=120°， 所以∠OAD=∠BAC,此时点O与 点C重合，不合题意. 综上所述，∠BDO的度数为60 或105. 2.(1)因为△ABC,△ADE都是等 边三角形， 所以AB=AC,AD=AE,∠BCA=