考向3 有关全等三角形的推理探究题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拍照批改 考向三 有关全等 1.利用角平分线构造全等三角形是常用的方 法.如图①，OP平分∠MON,A为OM上一 点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC 交ON于点B,可得△AOC≌△BOC,则 AO=BO,AC=BC (第1题①) 【问题提出】 (1)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB, AE⊥CD于点E.若∠EAC=63°，∠B= 37°，通过上述构造全等三角形的办法，求 ∠DAE的度数： B (第1题②) 【问题探究】 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂 足E在CD的延长线上，试探究BE和CD 的数量关系 (第1题③) 【问题解决】 (3)如图④所示的△ABC是一块肥沃的土 地，其中边AC与灌渠相邻，李伯伯想在这块 地中划出一块直角三角形土地ACD进行水 稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD; ②过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，△ABC的面积 期末压轴题特训 角形的推理探究题，“答案与解析”见P43 E 为20平方米，求划出的△ACD的面积 B A (第1题④) 2.(2024·郑州高新区期末)下面是数 学兴趣小组探究问题的过程，请仔 细阅读，并解决问题 答案讲解 【问题提出】 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC,点D在线段AB上，在△ABC的外侧， 以BC为边能否构造一个与△CAD全等的 三角形？ (第2题①) 113 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 【问题探究】 乐学组：如图②，分别以点B,C为圆心，AD, CD的长为半径画弧，两弧交于点E,连接 BE,CE,则△CBE即为所求作的三角形 善思组：如图③，分别过点B,C作AB,DC 的垂线，两垂线相交于点E,则△CBE即为 所求作的三角形 (1)乐学组得出△CBE≌△CAD的依据是 ,善思组得出△CBE≌△CAD的依 据是 (填“SSS”“SAS”“ASA”或 “AAS”). D D ④ (第2题) 【问题再探】 (2)善思组的同学们得到△CBE≌△CAD 后，在图③的基础上连接AE,通过几何画板 测量发现△CAE和△CDB的面积相等，请 你一起来探究 ①在横线上填写内容或者依据 如图④，延长线段AC,BE交于点F. 因为∠ACB=90°，AC=BC, 所以 =45°. 因为∠ACF=180°，∠ACB=90°， 新以∠FCB=90°. 因为BE⊥AB, 所以∠ABE=90°. 所以∠CBE=90°-45°=45°. 所以∠CBA=∠CBE. 在△ACB和△FCB中， 114 ∠ACB=∠FCB, BC=BC, ∠CBA=∠CBF, 所以△ACB≌△FCB. 所以AC=FC( ②把未完成的说理过程补充完整， (3)在(2)的条件下，已知AC=6,D是线段 AB的三等分点，请写出△CAE的面积，所以∠3+90°-∠2=75 所以∠2-∠3=15. (3)∠2=3∠3. 理由：由(2)，知∠2-∠3=15. 因为CQ平分∠ACB, 所以∠BCQ=∠ACQ=22.5°. 因为n, 所以∠2=∠ACQ=22.5. 所以∠3=7.5. 因为22.5°÷7.5°=3， 所以∠2=3∠3. D m B(F) 3---- G 4入 2 (第2题) 考向三有关全等三角形的 推理探究题 1.(1)如图①，延长AE交BC于点 F,则∠AEC=∠FEC=90. 因为CD平分∠ACB, 所以∠ACE=∠FCE. 又因为CE=CE, 所以△ACE2△FCE 所以∠EAC=∠EFC=63. 因为∠EFC=180°-∠AFB= ∠B+∠DAE, 所以∠DAE=∠EFC一∠B=63°- 37°=26. (2)如图②，延长BE,CA交于点F, 则∠BAF=180°-∠BAC=180°- 90°=90° 因为BE⊥CD 所以∠BED=90°=∠BAC. 因为∠ABF+∠BED+∠BDE= 180°，∠ACD+∠BAC+∠ADC= 180°，∠BDE=∠ADC, 所以∠ABF=∠ACD. 又因为AB=AC, 所以△ABF≌△ACD. 所以BF=CD. 同理于(1)，易得△BEC≌△FEC, 所以BE=FE=合BE 所以BE=CD. (3)如图③，延长AD交BC于点E. 同理于(1)，易得△ADC≌△EDC, 所以AD=ED,EC=AC=10米， S△ACD=S△D: 因为S△Ax=20平方米，BC=13米， _10 SAAI-13 所以S△ACR=13氵 0×20= 13平方米). 200 100平方米 所以SAn=2S△AcR=13 ③ (第1题) 2.(1)SSS;ASA (2)①∠CBA;∠CAB;全等三角形 的对应边相等 ②所以△CAE的面积=△ECF的 面积. 因为△ACB≌△FCB, 所以△ACB的面积=△FCB的面积 因为△CBE≌△CAD, 所以△CBE的面积=△CAD的 面积. 所以△ECF的面积=△CDB的 面积 所以△CAE的面积=△CDB的 面积 (3)因为AC=BC=6, =1×6X6=18. 所以S△Ae=2 因为D是线段AB的三等分点， 43 所以Sr=专Sa=6或 Sx=3S△AC=12. 由(2)，知S△cE=S△mx, 所以S△c4E=6或12. 考向四有关等腰三角形的 推理探究题 1.(1)△AOB为直角三角形. 理由：因为AB=AC,∠B=30°， 所以∠C=∠B=30°. 所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 120. 因为OD∥AC,∠AOD=∠B=30°， 所以∠OAC=∠AOD=30°. 所以∠BAO=∠BAC-∠OAC= 90. 所以△AOB为直角三角形. (2)由(1)，知∠AOD=30°，∠BAC= 120°.当△AOD的形状是等腰三角形 时，分三种情况： ①当DA=DO时，∠OAD= ∠AOD=30°， 所以∠ADO=180°-∠OAD- ∠AOD=120°. 所以∠BDO=180°-∠ADO=60°. ②当OA=OD时，∠OAD= zXI80°-∠A0D)= 1 ∠ODA= 75°， 所以∠BDO=180°-75°=105°. ③当AD=AO时，∠ADO= ∠AOD=30°， 所以∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=120. 因为∠BAC=120°， 所以∠OAD=∠BAC,此时点O与 点C重合，不合题意. 综上所述，∠BDO的度数为60 或105. 2.(1)因为△ABC,△ADE都是等 边三角形， 所以AB=AC,AD=AE,∠BCA=