考向1 整式的乘除运算与几何图形综合题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

期末压轴题特训 照批改 考向一整式的乘除运算与几何图形综合题 ，“答案与解析”见P42 1.通常，用两种不同的方法计算同一个图形的2.(2025·佛山顺德期中)定义新运算 面积，可以得到一个恒等式 “☒”：对于a,b,c,d,(a,b)☒(c, 例如：如图①所示为一个长为2a、宽为2b的 d)=ad一bc.例如：(1,3)(2,4)=答案讲解 长方形，用剪刀沿图中虚线将其均分成四个 1×4-3×2=-2. 小长方形，然后按如图②所示拼成一个正 (1)填空：(-3,5)8(6,2)= 方形 (2)若(x+1,nx+2)☒(4，x+1)的代数式 中不含x的一次项，求n的值 (3)如图①，在六边形ABCDEF中，BE,CF 相交于点G,当四边形ABGF和四边形 CDEG都为正方形时，设正方形ABGF和正 ① ② ③ (第1题) 方形CDEG的边长分别为a,b.若BE=9, (1)观察图②，请你写出(a+b),(a-b)2, (a+1,b2+1)(-1,a-1)=41,求阴影部 ab之间的等量关系式： 分的面积 (2)根据(1)中的等量关系式解决问题：若 (4)如图②，小长方形的长为a,宽为b,用 2x十y=7,2x一y=5,求xy的值， 5个这样的小长方形按照如图③所示的方式 (3)将面积相等的方法迁移到体积相等.如 不重叠地放在大长方形ABCD内，其中 图③所示为一个棱长为a十b的正方体，请你 AB=5,设左下角长方形的面积为S1,右上 根据图③求这个正方体的体积，写出一个整 角长方形的面积为S2.当2S1一3S2=5时， 式乘法的等式： 求(2a+b,b)☒(-4b+3,2a-4b)的值 (4)已知a十b=3,ab=1,利用上面的规律求 a3+b3 2 的值 m ① ② ③ (第2题) 111 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 拍照批改 考向二有关平行线的推理探究题 。“答案与解析”见P42 1.(2025·运城新绛期中)“两条平行线被第三2.已知m∥n∥l,在△ABC和△DEF 条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本 中，∠BAC=∠EDF=90°，∠FED= 图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基 60°，∠DFE=30°，∠ABC=∠ACB=答案讲解 本图形”.当发现题目中的图形“不完整”时要 45°. 添加适当的辅助线将其补充完整，将“非基本 (1)如图①，△ABC的边BC在L上，△DEF 图形”转化为“基本图形” 的顶点F与点B重合，边EF与AB重合，顶 (1)如图①，直线AB,CD被直线EF所截， 点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上， EM平分∠AEF,FM平分∠CFE.若 求∠1的度数， ∠AEM=55°，∠CFM=35°，则AB与CD (2)如图②，把直线m向下平移，点A,D分 平行吗？请判断并说明理由. 别落在l,m上，点C恰好落在n上，试说明： (2)如图②，ABCD,点M在直线AB,CD ∠2-∠3=15°. 之间，点E,F分别在直线AB,CD上， (3)在(2)的条件下，若Q是直线n上一点， ∠EMF=90°，P是MF上一点，且EM平分 当CQ恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间 ∠AEP.若∠CFM=60°，求∠AEP的度数. 存在一个特殊的倍数关系.请写出它们之间 (3)AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD 的倍数关系，并说明理由， 上，点M在直线AB,CD之间，在直线EF B(F 3 的左侧，且∠EMF=90°，P是折线EMF上 的动点，移动点P,使EM平分∠AEP或 FM平分∠CFP.设∠CFP=a,∠AEP=B, B (F) ② 请直接写出α与B之间的数量关系 (第2题) (第1题 112v≈320 所以h1≈5.8. 所以1号杯的水面高度约为5.8cm. [综合素能提升] 1.A 2.C解析：由题图，知当x=3时， 1 CP=3,Sam=2PC·CD=3,即 ?X3CD=3,所以CD=2.因为D 是BC的中点，所以BC=4.由题图， 易知当x=8时，点P和，点A重合，所 1 以AC=8.所以S△M=zAC· BC=7×8X4=16 3.24.B 5.(1)8. (2)由题图，可知小刘从家去超市的 速度为46=0.2(km/miny 因为从家出发15min时与妹妹相遇， 所以0.2×15=3(km),8一3= 5(km). 所以小刘和妹妹第一次相遇时距超市 的距离是5km. 6 (3)因为75+(8-6)÷7560+3= 83(min), 所以小刘从家里出发到回家用了 83 min. 期末压轴题特训 考向一整式的乘除运算 与几何图形综合题 1.(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab. (2)由(1)，得(2x+y)2=(2x y)2+8xy, 将2x十y=7,2x-y=5代入，得 49=25+8.xy, 所以xy=3. (3)(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3. (4)由(3)，可知a3+b3=(a+b)3 3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b), 把a+b=3,ab=1代入，得a3+b3 33-3×1×3=18. 所以43+6 2 =9. 2.(1)-36 (2)(x+1,nx+2)☒(4，x+1)= (x+1)2-4(x+2)=x2+(2 4n)x-7. 因为代数式中不含x的一次项， 1 所以2-4=0，解得n= (3)因为(a+1,b2+1)☒(-1，a 1)=41, 所以(a+1)(a一1)+(b2+1)=41, 即a2+b2=41. 因为BE=a十b=9, 所以(a+b)2=81,即41+2ab=81 所以ab=20. 所以阴影部分的面积为2ab十 1 2ab=ab=20. (4)因为AB=5, 所以S1=a(5-3b),S2=b(5-2a). 所以2S1-3S2=2a(5-3b)-3b(5 2a)=5,即2a-3b=1. 所以2a=3b+1. 所以(2a+b,b)☒(-4b+3,2a 4b)=(2a+b)(2a-4b)-b(-4b+ 3)=(4b+1)(-b+1)-b(-4b+ 3)=1. 考向二有关平行线的 推理探究题 1.(1)AB/CD 理由：因为∠AEM=55°，EM平 分∠AEF, 所以∠AEF=2∠AEM=110°. 因为∠CFM=35°，FM平分∠CFE, 所以∠CFE=2∠CFM=70°. 所以∠AEF+∠CFE=180°. 所以ABCD. (2)如图①，过点M作MN∥AB. 因为ABCD, 所以AB/CDMN 所以∠AEM=∠NME,∠NMF= ∠CFM=60. 因为∠EMF=90°， 42 所以∠AEM=∠NME=30°. 因为EM平分∠AEP, 所以∠AEP=2∠AEM=60°. (3)a+23=90或8+2a=90° 解析：如图①，当点P在MF上时， EM平分∠AEP,则∠AEM= ∠PRM=之∠AEP=安A.易得 ∠CFP=90°-∠AEM,即a=90° R所以a+日=90如图@，当 点P在ME上时，FM平分∠CFP, 则∠CFM=∠PFM=∠CFP= 2a.易得∠AEP=90°-∠CFM,所 以9=90合，即9计20=0综 1 上所述，a十283=90或9+2a=90, ② (第1题) 2.(1)设EF交n于点N. 因为n, 所以∠DBC=∠BDN. 又因为∠DBC=∠ABC一∠ABD= 45°-30°=15°， 所以∠BDN=15. 所以∠1=∠BDE-∠BDN=75. (2)如图，过点B作BG∥m,交DE 于点G,设AB交n于点N. 因为BGm,lmhm, 所以BGmm. 所以∠3=∠DBG,∠4=∠ABG. 所以∠3+∠4=∠DBG+∠ABG= ∠DBA=30°+45°=75°. 又因为∠4=180°-90°-∠2= 90°-∠2，