第6章 变量之间的关系 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 拍照批改 第六章整合拔尖 >“答案与解析”见P41 知识体系构建 自变量。主动变化的量 相关概念 变量 因变量 随着自变量的变化而变化的量 常量 在变化过程中数值始终不变的量 表格法 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况 表示方法 变量之间的关系 利用关系式，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的 关系式法 因变量的值 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观 图象法 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴） 上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量 应用 利用变量之间的关系解决问题、进行预测 ⑧)高频考点突破 考点一用表格或关系式表示变量之间的关系 [变式]由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要 典例1如图所示为某校门口道路中间的隔离 继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为 护栏平面示意图，假如每根立柱宽为0.2米，立 刹车距离.为了测定某种汽车的刹车性能（车速 柱间距为3米， 不超过140km/h),对这种汽车进行了测试，测 立柱根数 得的数据如下表： 1 2 3 4 5 护栏总长度/米 0.2 3.4 9.8 刹车时的 0 10 20 30 40 50 车速v/(km/h) (1)将表格补充完整. 刹车距离s/m 0 2.5 5 7.5 1012.5… (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与 (1) 自变量是 ,因变量是 x之间的关系式为 (2)s与v之间的关系式为 (3)当护栏总长度为93米时，求立柱的根数， (3)该种汽车在高速公路上发生了一次交通事 0.2米 3米 故，现场测得刹车距离为32m,请推测刹车时的 车速.事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行 驶（高速公路上该种汽车的最高车速不得超过 典例1图) 120km/h)? 108 第六章变量之间的关系 考点二用图象表示变量之间的关系 [变式]数学小组的同学设计了三个形状不同的 典例2(2024·济南长清期末)一条笔直的公 新水杯.三个水杯分别记为1号杯、2号杯和 路上有A,B两地，相距2400m,甲从A地匀速 3号杯，当3个水杯中都有VmL水时，测量并 步行到B地，乙从B地匀速骑车到A地后，休息 记录水面高度（单位：cm),分别记作h1,h2,h3, 4min,再沿原路原速返回B地.设他们同时出 得到数据如下表： 发，运动的时间为tmin,与B地的距离为sm, V/mL 0 50100150200 250300350400 如图所示为两人与B地的距离s(m)和运动时 h/cm 0 1.42.73.64.45.15.76.16.5 间t(min)之间的关系. h2/cm 0 0.61.21.82.43.03.64.24.8 (1)甲步行的速度为 m/min,乙骑车的 ha/cm 0 0.30.71.21.82.63.44.86.1 速度为 m/min. (1)仿照图①中的图象，描出其余各点，补全另 (2)甲步行到B地比乙骑车返回B地晚到 外两个图象， min. ↑h/cm (3)当甲、乙两人在途中（不包括A地与B地） 相遇时，求t的值， 6 ↑s/m 2400 0 50100150200250300350400450V/mL 0 10 30 t/min (典例2图) (2)三个杯子的轮廓示意图如图②所示，填上对 应的杯号！ 号杯 号杯 号杯 ② (3)注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水 面高度相同时，1号杯的水面高度约为多少（精 确到小数点后1位)？ 109 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 综合素能提升 1.两家牛奶销售公司招聘送奶员，它们 设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距 的周薪计算方式不同.甲公司：一星 1m,距两侧边线3m.假设某学生按照图 期内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶答案讲解 ①的路线进行单向运球，运球行进的过程中， 0.5元，此后每多送1瓶，每瓶额外多0.3元 学生与测试老师的距离y(m)与运球时间 乙公司：底薪200元，此外，每送出1瓶牛奶将 x(s)之间的图象如图②所示，那么测试老师 额外有0.3元.甲、乙两家公司的周薪（元）与 可能站在图①中的点 处 数量（瓶）之间的关系图象是 5m 3m3m3m3m3m 起 ·A 3m B Y/m 周薪/元 周薪/元 0 0 8 (m 3m D 20m 数量/瓶 数量/瓶 ●受试者o标志杆 A. B. ① (第4题) 周薪/元 周薪/元 5.小刘从家里出发，骑自行车去超市， 途中碰到妹妹正步行回家.小刘在 超市买完东西回家，在回去的路上答案讲解 数量/瓶 数量/瓶 C D. 又碰到了妹妹，便载妹妹一起回家，结果小刘 2.(2024·济南商河期中)如图①，在△ABC 比以正常速度回家的时间晚了3min.两人距 中，∠C=90°，D是BC的中点，动点P从点 超市的距离s(km)和小刘从家出发后的时间 C出发沿折线CA-B运动到点B,设，点P的 t(min)之间的关系如图所示（两人之间的交 运动路程为x,△PCD的面积为y,y与x之 流时间忽略不计). 间的关系如图②所示，则△AB℃的面积为 (1)小刘家距超市的距离为 km. (2)小刘和妹妹第一次相遇时距超市的距离 是多少？ (3)小刘从家里出发到回家用了多长时间？ 0 ↑s/km ① (第2题) 6 A.9 B.12 C.16 D.32 15406075t/min (第5题) 3.如图所示为一个运算程序的示意图.若输入 x的值为3，则输出y的值为 否 y=x-1 输入x x≥4 是 输出y y=2x+3 (第3题) 4. 篮球运球考试中，测试场地长20m,宽7m, 起点线后5m处开始设置10根标志杆，每排 110共经过了55min. (3)由题图，可知汽车的最快速度是 120km/h. (4)由题图，可知汽车在5~15min保 持匀速行驶， 3.B 易错警示 判断行程类问题图象的 注意事项 解答此类题时，首先要看懂题 意，明确横轴、纵轴的实际意义，特 别是纵轴的意义，不要混淆速度与 路程，更不能混淆“路程与时间的 关系”：其次是要分段分析，注意图 象的变化趋势及变化速度的快慢 情况. 4.A解析：由题图，可知甲、乙两车 行驶的整个过程分为4段.第一段图 象上升，表示乙车的速度大于甲车的 速度.当x=0时，y=20,所以A,B两 地之间的距离为20km.第二段图象 下降，表示乙车行驶了2h后开始休 息，甲车独自行驶40km.第三段图象 上升，且上升的速度与第二段下降的 速度相同，表示甲车追上乙车后，乙车 继续休息，甲车继续行驶20km.第四 段图象下降，表示乙车休息后再出发， 两车行驶了1h,同时到达C地.从题 图中间两段，可知乙车休息了3一2= 1(h).故选项D错误.在乙车休息的 1h内，甲车行驶了40+20=60(km), 所以甲车的速度是 =60(km/).故 选项C错误.A,C两地相距4×60 240(km).故选项B错误.甲车与乙车 相语的时间为2+品号（，故选项 A正确. 5.①②③解析：由图象，可得小明 家和学校的距离为1200m,故①正 确.小华乘坐公共汽车的速度是 1200÷(13-8)=240(m/min),故② 正确.480÷240=2(min),8十2= 10(min),则小华乘坐公共汽车后 7:50与小明相遇，故③正确.因为小 华的出发时间不变，小华跑步的速度 是120m/min,所以小华从家到学校 所用的时间为1200÷120-=10(min). 所以小华到校时间为7：58.因为小明 到校时间为8：00，所以他们不能同时 到达学校，故④错误.综上所述，正确 的是①②③. 一方法归纳 利用图象观察变量变化 趋势的方法 利用图象观察自变量的变化， 应掌握几个要点：①若图象自左向 右是上升的，则说明因变量随着自 变量的增大而增大；②若图象自左 向右是下降的，则说明因变量随着 自变量的增大而减小：③若图象自 左向右是与横轴平行的，则说明因 变量保持不变」 6.()甲探测气球的速度为255 20 l(m/min),乙探测气球的速度为 25-15_1 20 =2(m/min). (2)由初始位置，知当x>20时，两个 探测气球的海拔可能相差15m,且此 时甲探测气球的海拔更高。 所以易得x+5-(兮x+15)=15,解 得x=50. 所以当这两个探测气球的海拔相差 15m时，上升的时间为50min. 7.(1)①0.15：0.6：1.5. ②0.075. ③小华从家到画社的平均速度为 0.6=0.15(km/mim), 小华从画社到文化广场的平均速度为 1.5-0.6 25-19 =0.15(km/min). 所以当0≤x≤4时，y=0.15.x; 当4<x≤19时，y=0.6； 当19<x≤25时，y=0.15(x-19)+ 0.6=0.15x-2.25. (2)爸爸的平均速度为 41 0.075(km/mim). 因为相遇点在从画社到文化广场的 途中， 所以19<x<25. 根据题意，得0.15.x-2.25=0.075× (x一8)，解得x=22. 此时y=0.15.x-2.25=1.05. 所以从画社到文化广场的途中，两人 相遇时离家的距离是1.05km 第六章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)6.6：13. (2)y=3.2x-3. (3)当y=93时，3.2x一3=93，解得 x=30. 所以立柱的根数为30. 「变式](1)刹车时的车速：刹车 距离. (2)s=0.25v(v≥0). (3)当s=32时，32=0.25v,解得0= 128. 所以刹车时的车速是128km/h. 因为120<128 所以事故发生时，汽车是超速行驶 典例2(1)80：240. (2)6. (3)由题意，得当乙从B地匀速骑车 到A地时相遇，80t十240t=2400,解 得t=7.5. 当乙从A地沿原路原速返回B地时 相遇，80t=240(1-14),解得t=21. 所以t的值为7.5或21. [变式](1)如图所示 ↑h/cm 8- h 6 5 4 3 050100150200250300350400450 V/mL (2)2;1:3. (3)由图可知，当h2=h3≈3.8时 v≈320 所以h1≈5.8. 所以1号杯的水面高度约为5.8cm. [综合素能提升] 1.A 2.C解析：由题图，知当x=3时， 1 CP=3,Sam=2PC·CD=3,即 ?X3CD=3,所以CD=2.因为D 是BC的中点，所以BC=4.由题图， 易知当x=8时，点P和，点A重合，所 1 以AC=8.所以S△M=zAC· BC=7×8X4=16 3.24.B 5.(1)8. (2)由题图，可知小刘从家去超市的 速度为46=0.2(km/miny 因为从家出发15min时与妹妹相遇， 所以0.2×15=3(km),8一3= 5(km). 所以小刘和妹妹第一次相遇时距超市 的距离是5km. 6 (3)因为75+(8-6)÷7560+3= 83(min), 所以小刘从家里出发到回家用了 83 min. 期末压轴题特训 考向一整式的乘除运算 与几何图形综合题 1.(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab. (2)由(1)，得(2x+y)2=(2x y)2+8xy, 将2x十y=7,2x-y=5代入，得 49=25+8.xy, 所以xy=3. (3)(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3. (4)由(3)，可知a3+b3=(a+b)3 3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b), 把a+b=3,ab=1代入，得a3+b3 33-3×1×3=18. 所以43+6 2 =9. 2.(1)-36 (2)(x+1,nx+2)☒(4，x+1)= (x+1)2-4(x+2)=x2+(2 4n)x-7. 因为代数式中不含x的一次项， 1 所以2-4=0，解得n= (3)因为(a+1,b2+1)☒(-1，a 1)=41, 所以(a+1)(a一1)+(b2+1)=41, 即a2+b2=41. 因为BE=a十b=9, 所以(a+b)2=81,即41+2ab=81 所以ab=20. 所以阴影部分的面积为2ab十 1 2ab=ab=20. (4)因为AB=5, 所以S1=a(5-3b),S2=b(5-2a). 所以2S1-3S2=2a(5-3b)-3b(5 2a)=5,即2a-3b=1. 所以2a=3b+1. 所以(2a+b,b)☒(-4b+3,2a 4b)=(2a+b)(2a-4b)-b(-4b+ 3)=(4b+1)(-b+1)-b(-4b+ 3)=1. 考向二有关平行线的 推理探究题 1.(1)AB/CD 理由：因为∠AEM=55°，EM平 分∠AEF, 所以∠AEF=2∠AEM=110°. 因为∠CFM=35°，FM平分∠CFE, 所以∠CFE=2∠CFM=70°. 所以∠AEF+∠CFE=180°. 所以ABCD. (2)如图①，过点M作MN∥AB. 因为ABCD, 所以AB/CDMN 所以∠AEM=∠NME,∠NMF= ∠CFM=60. 因为∠EMF=90°， 42 所以∠AEM=∠NME=30°. 因为EM平分∠AEP, 所以∠AEP=2∠AEM=60°. (3)a+23=90或8+2a=90° 解析：如图①，当点P在MF上时， EM平分∠AEP,则∠AEM= ∠PRM=之∠AEP=安A.易得 ∠CFP=90°-∠AEM,即a=90° R所以a+日=90如图@，当 点P在ME上时，FM平分∠CFP, 则∠CFM=∠PFM=∠CFP= 2a.易得∠AEP=90°-∠CFM,所 以9=90合，即9计20=0综 1 上所述，a十283=90或9+2a=90, ② (第1题) 2.(1)设EF交n于点N. 因为n, 所以∠DBC=∠BDN. 又因为∠DBC=∠ABC一∠ABD= 45°-30°=15°， 所以∠BDN=15. 所以∠1=∠BDE-∠BDN=75. (2)如图，过点B作BG∥m,交DE 于点G,设AB交n于点N. 因为BGm,lmhm, 所以BGmm. 所以∠3=∠DBG,∠4=∠ABG. 所以∠3+∠4=∠DBG+∠ABG= ∠DBA=30°+45°=75°. 又因为∠4=180°-90°-∠2= 90°-∠2，