第5章 图形的轴对称 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

第五章 图形的轴对称 拍照批改 第五章整合拔尖 “答案与解析”见P37 知识体系构建 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能 轴对称 轴对称图形 够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形 及其性质 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称 轴对称。这两个图形成轴对称 图形的轴对称 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的 轴对称的性质线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 简单的轴 等腰三角形 重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角 对称图形 形的对称轴 等腰三角形的两个底角相等 等边三角形 等边三角形的三边相等，三角相等，每个角都是60° 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的 轴对称性一条对称轴.另外一条对称轴是线段本身所在的直线 线段 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 线段的垂直平分线 的距离相等 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 角 角的平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 S91高频考点突破 考点一 轴对称图形的判断 考点二 轴对称的性质 典例1 (2025·泸州)下列图标中，是轴对称图 典例2在三角形纸片ABC中，AB=AC, 形的为 ∠B=20°，D是边BC上的动点，将三角形纸片 沿AD折叠，使点B落在点B处.当B'D⊥BC 时，∠BAD的度数为 提示 B. D 分点B在直线BC的下方及，点B在直线BC的 [变式]在如图所示的图形中，轴对称图形有 上方两种情况进行讨论，从而得到问题的答案， (填序号)，其中对称轴最多的是 变式](2025·苏州期中)如图， (填序号)，它有 条对称轴， ∠AOB=45°，P为∠AOB内任一 点，且OP=6,请在图中分别画出0 B 点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1O, P2O,P1P2,则△OP1P2的面积为 95 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 考点三等腰（边）三角形、线段垂直平分线、 [变式]如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意 角平分线的性质 长为半径作弧，分别交AC,BC于点D,E;分别 典例3如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直 以点D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧， 平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD= 两弧交于点F;作射线CF交AB于点G.若AC= DE,连接AE. 9,BC=6,△BCG的面积为8，求△ACG的 (1)试说明：AB=EC. 面积 (2)若△ABC的周长为32cm,AC=12cm,求 DC的长. D G B D E (典例3图) 综合素能提升 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, 是C',BB'交AC于点D.若△ABC的面积 BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分线， 是2，则△A'BC的面积是 若P,Q分别是AD和AC上的动点，则 B PC+PQ的最小值是 C AE (第2题) 3.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等 (第1题) 腰三角形分成了两个小等腰三角形，则原等 A.2.4B.4.8C.4 D.5 腰三角形的底角度数为 2.(2025·淮安期中)如图，在△ABC 4.如图，P是∠AOB外的一点，点E与点P关 中，∠A=70°，∠ABC=90°，点A 于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线 关于BC的对称点是A',点B关于答案讲解 FE分别交OA,OB于C,D两点，连接PC, AC的对称点是B',点C关于AB的对称点 PD,PE,PF. 96 第五章图形的轴对称 (1)若∠OCP=∠F=20°，求∠CPD的 AD=CE=2,∠DEF=∠B.延长BC至点 度数. M,使得CM=CA,过点M作AC的平行线 (2)若CP=DP,CF=13,DE=3,求CP MF,与射线EF交于点F.若MF=4,求线 的长 段BM的长 D E B (第4题) ① ② B ③ (第5题) 5.(2024·深圳坪山期末)(1)如图①， △ABC的三条边相等，三个内角也 相等，点D,E,F分别在边AB,答案讲解 BC,CA上，且BD=CE=AF,连接DE, EF,FD.请写出图中一对全等三角形： ,其全等的理由是 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,点D, E,F分别在边AB,BC,AC上，且BD= CE,∠DEF=∠B,连接DF.请判断△DEF 的形状，并说明理由， (3)如图③，在△ABC中，AB=AC=8,点 D在BA的延长线上，点E在边BC上，且 97②当AO=OP时，∠A=∠APO= 2×(180-∠0)=67.5®当 OP=AP时，∠A=∠O=45°.综上 所述，∠A的度数为90°或67.5 或45 8.22.5或45或67.5°解析：因为 AB=AC,∠A=30°，所以∠ACB= 2×(180-∠A)=75.因为0< a<75°，所以CP在∠ACB内旋转. 因为∠ADC=180°-∠A-∠ACD= 180°-30°-a=150°-a,所以 ∠CDE=180°-∠ADC=180°- (150°一a)=30°+a.由折叠，得 ∠DA'C=∠A=30°，∠A'DC= ∠ADC=150°-a.分三种情况：①当 A'D=A'E,且，点A'在AB的下方时， 如图①，∠ADE=2X(180- ∠DAC)=75.所以∠CDE= ∠A'TDC-∠A'DE=150°-a-75°= 75°-a.所以75°-a=30°+a,解得 a=22.5.当A'D=A'E,且点A'在 AB的上方时，如图②，∠DA'E= 180°-30°=150°.所以∠A'DE= 号×180°-∠DA'E)=15所以 ∠CDE=∠A'DC+∠A'DE= 150°-a+15°=165°-a.所以165° a=30°+a,解得a=67.5°.②当 A'D=DE,且，点A'在AB的下方时， ∠DA'C=∠DEA'=30°.易知 ∠DEA'>30°，不符合题意.当A'D= DE,且点A'在AB的上方时，易知不 符合题意.③当DE=A'E,且点A' 在AB的下方时，如图③，∠A'DE= ∠DA'C=30°.所以∠CDE= ∠A'DC-∠A'DE=150°-a-30°= 120°-a.所以120°-a=30°+a,解得 a=45°.当DE=A'E,且点A'在AB 的上方时，易知不符合题意.综上所 述，若△A'DE是等腰三角形，则a的 度数为22.5或45或67.5 D E B ① D ③ (第8题) 9.在△ABC中，设AB=AC,BD⊥ AC于点D. ①当高与底边的夹角为25时，如图 ①，高一定在△ABC的内部. 因为BD⊥AC, 所以∠BDC=90°. 因为∠DBC=25°， 所以∠C=180°-∠BDC- ∠DBC=65. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C=65 所以∠A=180°-∠ABC-∠C=50°， ②当高与另一腰的夹角为25时，如 图②，当高在△ABC的内部时， 因为BD⊥AC, 所以∠ADB=90°」 因为∠ABD=25, 所以∠A=180°-∠ADB- ∠ABD=65. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C=2 ×(180° ∠A)=57.5. 如图③，当高在△ABC的外部时， 因为BD⊥AC, 所以∠ADB=90. 37 因为∠ABD=25°， 所以∠BAD=180°-∠ADB- ∠ABD=65 所以∠BAC=180°-∠BAD=115. 因为AB=AC, 1 所以∠ABC=∠C=2×(180°- ∠BAC)=32.5. 综上所述，这个三角形的各个内角的 度数分别为50°，65,65或65°，57.5°， 57.5或115°，32.5°，32.5 ③ (第9题) 第五章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C [变式]②③⑤⑤4 典例225或115°解析：当点B在 直线BC的下方时，如图①.因为 BD⊥BC,所以∠BDB=90. 所以∠ADB'+∠ADB=360°-90°= 270°.因为将三角形纸片沿AD折叠， 使点B落在点B'处，所以∠ADB'= ∠ADB=7×20=135.因为 ∠B=20°，所以∠BAD=180°-∠B ∠ADB=180°-20°-135°=25°.当点 B在直线BC的上方时，如图②.因为 BD⊥BC,所以∠BDB'=90.因为 将三角形纸片沿AD折叠，使点B落 在点B'处，所以∠ADB'=∠ADB= z×90°=45.所以∠BAD=180°- ∠B-∠ADB=180°-20°-45°= 115°.综上所述，∠BAD的度数为25° 或115. B- B2-- ② (典例2图) [变式]如图所示.18. 解析：如图， 设P1P2分别交OA,OB于点M,N, 连接PM,PN.由题意可知，OP OP1,OP=OP2,∠POA=∠P1OA, ∠POB=∠POB,所以OP, OP2=OP=6,∠P,OP2= 2(∠POA+∠POB)=2X45°=90°. 所以△OP,P,的面积为2OP,· OP,=18. 典例3(1)因为EF垂直平分AC, 所以AE=EC. 因为AD⊥BC,BD=DE, 所以AB=AE 所以AB=EC. (2)由题意可得，AB+BC+AC= 32cm. 因为AC=12cm, 新所以AB+BC=20cm. 因为AB=EC,BD=DE 所以DC=DE+EC=2BE+AB= (BC CE)+AB=(BC AB)+AB-(AB+BC)=10cm. [变式]如图，过点G分别作GM AC于点M,GN⊥BC于点N. 由作图，可知CG平分∠ACB, 所以GM=GN. 1 因为SAmG=2BC·GN=8, BC=6, 所以GN=8 所以GM=GN= 3 所以S△AG=2AC·GM= 2 ×9× 8=12. [综合素能提升] 1.B 2.6解析：由对称性可知，DB= DB,BB'LAC,BC=BC',AB= A'B,又因为∠ABC=∠A'BC',所以 △ABC≌△A'BC'(SAS).所以∠C= ∠A'CB,AC=A'C'.所以AC∥ A'C'.所以DE⊥A'C.因为 △ABC≌△A'BC',所以易知BD= BE.所以B'E=3BD.所以S△A'C= 号AC,BE=3X号×BDXAC- 3S△AB=3X2=6. 3.36°或45°解析：①如图①，在 △ABC中，AB=AC,BD=AD, AC=CD,所以∠B=∠C=∠BAD, ∠CDA=∠CAD.设∠B=x,则有 ∠C=∠BAD=x,∠CDA= ∠CAD=7(180-x)=90-7 因为∠BAC+∠B+∠C=180°，所以 x+90-2x十x+x=180,解得 x=36°.所以∠B=36°.②如图②，在 △ABC中，AB=AC,AD=BD= 38 CD,设∠B=y,则有∠B=∠C= ∠DAC=∠DAB=y.因为∠BAC+ ∠B+∠C=180°，所以4y=180°，解 得y=45.所以∠B=45°.综上所述， 原等腰三角形的底角度数为36 或45. D B D ② (第3题) 4.(1)因为点E与点P关于OA对 称，点F与点P关于OB对称， ∠OCP=∠F=20°， 所以∠OCE=∠OCP=20°， ∠DPF=∠F=20°」 所以∠PCF=40. 所以∠CPF=180°-∠F ∠PCF=120. 所以∠CPD=∠CPF-∠DPF= 100°. (2)因为点E与点P关于OA对称， 点F与点P关于OB对称，CP= DP, 所以CE=CP=DP. 因为DP=DF, 所以CE=DF, 所以CF=CE+DE+DF=2CE+ 3=13,解得CE=5. 所以CP=5. 5.(1)答案不唯一，如△ADF≌ △BED:SAS (2)△DEF为等腰三角形 理由：因为AB=AC, 所以∠B=∠C. 因为∠DEC=180°一∠BED= ∠DEF+∠CEF,∠B+∠BDE+ ∠BED=180°， 所以∠B+∠BDE=180°-∠BED: 所以∠B+∠BDE=∠DEF十 ∠CEF, 因为∠DEF=∠B, 所以∠BDE=∠CEF 在△BDE和△CEF中， ∠BDE=∠CEF, BD=CE, ∠B=∠C, 所以△BDE≌△CEF 所以DE=EF 所以△DEF为等腰三角形 (3)因为AB=AC, 所以∠B=∠ACB. 因为ACFM, 所以∠M=∠ACB. 所以∠B=∠M. 因为AB=AC,CM=CA, 所以AB=CM! 因为AD=CE, 所以AB+AD=CM+CE,即 BD-ME. 由(2)，可知当∠DEF=∠B时， ∠D=∠MEF 在△DBE和△EMF中， ∠B=∠M, BD=ME, ∠D=∠MEF, 所以△DBE≌△EMF 所以BE=MF=4 因为EM=BD=AB+AD=10, 所以BM=BE+EM=4+10=14. 第六章变量之间的关系 1 现实中的变量 1.C2.B 3.(1)时间：记忆保持量， (2)①. (3)不复习会很快忘掉很多学过的知 识，只能有大约30%的记忆保持量， 所以老师要求学生“堂堂清“日日清” (合理即可). 4.D5.B6.温度 7.①③④⑤解析：①长方形的周 长一定，长和宽均可改变，是两个变 量，所以正确.②铁丝的长度一定，即 长方形的周长一定，是常量，所以不正 确.③长方形的周长一定，它的宽会 随长的改变而改变，所以正确.④长 方形的周长一定，它的长会随宽的改 变而改变，所以正确.⑤长方形的周 长一定，当它的长改变时，宽也随之改 变，故它的面积也会随之改变，所以正 确.综上所述，正确的是①③④⑤. 8.(1)在l=4a中，l,a为变量，4为 常量！ (2)在n=60t中，n,t为变量，60为 常量」 （3)在1=1500中，1,0为变量，1500 为常量 9.(1)变量：纸杯的个数和纸杯叠放 的总高度 每增加1个纸杯，纸杯叠放的总高度 在8cm的基础上增加1个0.5cm. (2)10个纸杯叠放的总高度为0.5× 10+8=13(cm). 10.(1)题表反映了室外温度与蟋蟀 每分钟鸣叫的次数之间的关系，其中 室外温度是自变量，蟋蟀每分钟鸣叫 的次数是因变量， (2)由题表，可知室外温度每增加 2℉，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8. (3)由题意，得176+8×9084 2 200. 所以当室外温度为90℉时，估计蟋蟀 每分钟鸣叫的次数为200. 2用表格表示变量 之间的关系 1.D 2.(1)反映了易拉罐的底面半径与 易拉罐的用铝量之间的关系. 39 易拉罐的底面半径是自变量，易拉罐 的用铝量是因变量， (2)当易拉罐的底面半径为2.4cm 时，易拉罐的用铝量为5.6cm3. (3)当易拉罐的底面半径为2.8cm 时，比较合适 理由：当易拉罐的底面半径为2.8cm 时，用铝量较少，成本较低 3.D4.①②③ 5.500℃解析：根据题意，温度每增 加50℃，导热率增加0.05W/(m·K). 所以100+(0.55-0.15)÷0.05× 50=500(℃).所以当导热率为 0.55W/(m·K)时，温度为500℃. 6.(1)a的值是45，b的值是10. (2)不会 理由：因为18×18°=324°，324<360， 所以称量18千克的物品不会对盘秤 造成损伤。 (3)设第一次购买水果x千克，则第 二次购买水果(2x十3)千克. 依题意，得(2x十3)-x=108°÷18°， 解得x=3. 所以2x+3=9. 所以该顾客一共购买了3+9=12（千 克)水果。 7.(1)反映了时间与水的温度之间 的关系， 时间是自变量，水的温度是因变量. (2)水的温度随着时间的增加而升 高，到100℃后保持恒定 (3)水未烧开时，时间每推移2mim, 水的温度升高14℃ (4)当时间为8min时，水的温度为 86℃. 当时间为9min时，水的温度为86十 14÷2=93(℃). (5)当时间为16min和18min时，水 的温度分别为100℃，100℃ (6)为了节约能源，应在烧水10min 后停止烧水.