第4章 专题特训9 三角形的内、外角平分线的夹角问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拍照批改 专题特训九三角形的内、外角三 类型一三角形中两内角平分线的夹角 1.如图，在△ABC中，∠ABC的n等分线与 ∠ACB的n等分线分别相交于点G1,G2, G3,…,G-1（点G1在最下方)，可以探究 ∠BG,-1C与∠A的关系（其中n是不小于 2的整数).当n=2时，如图①，∠BG1C= 当n=3时，如图②，∠BG2C 如图③，猜想∠BG-1C一 ① ② ③ (第1题) 类型二三角形中两外角平分线的夹角 2.已知△ABC的两个外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点O. (1)如图①，若∠A=90°，求∠O的度数 (2)如图②，试探索∠O与∠A之间的数量 关系（直接写出结论，不说明理由）】 ② (第2题) 类型三三角形中内角与外角平分线的夹角 3.如图，在△ABC中，∠A=70°，延长 BC到，点D,∠ABC与∠ACD的平 分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC答案讲解 第四章三角形 平分线的夹角问题，“答案与解析”见P23 与∠A1CD的平分线相交于点A2,则∠A2= …,依此规律，得∠A2026= -0 (第3题) 如图，在△ABC中，I是∠ABC与∠ACB平 分线的交点，D是△ABC的外角∠MBC与 ∠NCB平分线的交点，E是∠ABC与 △ABC的外角∠ACG平分线的交点. (1)若∠BAC=52°，则∠BIC= ∠BDC= (2)猜想∠BEC与∠BAC的数量关系： (3)若∠BAC=x°(0<x<90),则当 ∠ACB= (用含x的代数式表 示)时，CE∥AB. (4)若△BDE中存在一个内角等于另一个 内角的三倍，试求∠BAC的度数. (第4题) 65 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 2全等 自基础进阶 1.若如图所示的两个三角形全等，则∠1的度 数为 () (第1题) A.72°B.60°C.50°D.58 2.如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段 AD上.若△ABD≌△CED,AB=10,BC= 14,则△CED的周长为 ( A.10B.20 C.24 D.28 (第2题) (第3题) 3.(2025·茂名茂南期中)如图，△ABD≌ △CBD.若∠A=70°，∠ABD=45°，则 ∠BDC的度数为 4.如图，△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应 角.在△NMH中，MH是最长边.在△EFG 中，FG是最长边，EF=2.1cm,EH=1.2cm, NH=4.4 cm. (1)写出两个三角形的对应边及对应角， (2)求线段NM及线段HG的长 H G (第4题) 66 拍照批改 三角形 >“答案与解析”见P23 幻素能攀升 5.如图，若△ABC≌△ADE,则下列结论中，一 定成立的是 () A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE C.AB-AE D.∠ABC=∠AED B D (第5题) (第6题) 6.如图，点D在AC上，点B在AE上， △ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A.如果 ∠A:∠C=5:3,那么∠DBC的度数为 () A.30°B.25°C.20°D.15 7.(2024·西安长安期末)如图，△ABC≌ △ADE,BC的延长线交DA于点F,交DE 于点G.若∠AED=105°，∠CAD=18°， ∠B=30°，则∠1的度数为 () B D G E (第7题) A.67° B.63°C.57°D.53° 8.如图，在△ABC中，D,E分别是 AC,BC边上的点.若△ADB≌ △EDB≌△EDC,则∠C的度数为答案讲解 (第8题) (第9题) 9.数形结合思想如图，在4×4的网格中，∠1十 ∠2=所以Sam=号BD·AF=2×6X 6=18. (2)因为BG为△ABC的边AC上的 高，AF是△ABC的边BC上的高， 1 1 所以SAAx=2AC·BG=2BC· AF」 又因为BG=5,BC=12,AF=6, 所以AC=BCA_12X6-14.4 BG 5 专题特训九三角形的内、 外角平分线的夹角问题 1.90+3∠A60+子∠A 180+二∠A解析：当n=2时， n 1 ∠G,BC+∠G,CB=(∠ABc+ ∠ACB)=合(180-∠A,所以 ∠BG1C=180°-（∠G1BC+ ∠G,CB)=180°-2180-∠A) 90+3∠A.当n=3时，∠G,BC+ ∠G,CB=号（∠ABC+∠ACB) 号(13r-∠A),所以∠G,C 180-号(180-∠A)=60+ 号∠A图为∠G-x”号∠BC n ∠G.-1CB="∠ACB,∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A,所以 ∠BGm-1C=180°-（∠Gm-1BC+ ∠G.1CB)=180°-”（∠ABC+ ∠ACB)=180°- 0-1(180 ∠A)=180+”三∠A. 2.(1)因为∠A+∠ACB+ ∠ABC=∠ABC+∠CBD, 所以∠CBD=∠A+∠ACB. 同理，可得∠BCE=∠A+∠ABC. 因为∠CBD,∠BCE的平分线相交于 点O 1 所以∠CB0=2(∠A+∠ACB), ∠BO=Z(∠A+∠ABC). 所以∠CBO十∠BCO=2(∠A+ ∠ACB+∠ABC+∠A). 因为∠A十∠ACB+∠ABC=180, 所以∠CBO+∠BCO=90°+ 3∠A 在△OBC中，∠0=180° (∠CB0+∠BC0)=180°-(90°+ 7∠A)=90含A 因为∠A=90°， 所以∠0=90°-2×90°=90°- 45°=45° (2)由(1)可知，∠0=90° ∠A. 2 5°70 3.2 22026 4.(1)116°：64° 2)∠BC=2∠BAC. (3)(180-2.x) (4)由题意，易得∠EBD=90°. 所以∠D+∠E=90. ①当∠EBD=3∠D时，∠D=30° 所以易得∠BAC=120 ②当∠EBD=3∠E时，∠E=30°. 所以∠BAC=60°. ③当∠D=3∠E时，∠E=22.5. 所以∠BAC=45°. ④当∠E=3∠D时，∠E=67.5. 所以∠BAC=135°. 综上所述，∠BAC的度数为45或60 或120或135°. 2全等三角形 1.D2.C3.65 4.(1)对应边有EF与NM,EG与 NH,FG与MH. 23 对应角有∠E与∠N,∠EGF与 ∠NHM,∠F与∠M. (2)因为△EFG≌△NMH, 所以EF=NM=2.1cm,EG= NH=4.4 cm. 所以HG=EG-EH=4.4-1.2= 3.2(cm). 5.B 6.C解析：因为△ABC≌△DBE, 所以∠A=∠BDE,∠C=∠E.因为 ∠A:∠C=5：3,∠BDA=∠A,所 以∠A:∠BDA:∠BDE:∠E= 5:5:5:3.又因为∠A+∠BDA+ ∠BDE+∠E=180°，所以∠C= 3 ∠E=180×5+5+5+3=30, ∠BDE=∠A=∠BDA=180°X 5+5+5+3=50°，所以∠ADE= 5 180°-∠A-∠E=180°-50°-30°= 100°.所以∠CDE=180°-∠ADE= 80°.所以∠DBC=180°-∠C- ∠CDE-∠BDE=180°-30°-80°- 50°=20°. 7.B解析：因为△ABC≌△ADE, 所以∠B=∠D=30°，∠ACB= ∠AED=105°.所以∠ACF=180° ∠ACB=75°.所以∠CFA=180°- ∠CAF-∠ACF=180°-18°-75°= 87°.所以∠DFG=∠CFA=87°.因为 ∠1+∠D+∠DFG=180°，所以 ∠1=180°-87°-30°=63° 8.30°解析：因为△EDB≌△EDC, 所以∠DEB=∠DEC=90°.因为 △ADB≌△EDB≌△EDC,所以 ∠ABD=∠DBC=∠C,∠BAD= ∠DEB=90°，所以∠C=30° 9.45°解析：如图，由网格特征可判 断△CAB≌△FDE,DG=EG, ∠DGE=90°，所以∠GDE= ∠GED=45°，∠1=∠DFE.所以 ∠DEF=180°-45°=135.因为 ∠2+∠DFE=180°-135=45°，所