第4章 专题特训8 三角形中线、高线与三角形的面积问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 拍照批改 专题特训八三角形中线、高线 与三角形的面积问题 》“答案与解析”见P22 类型一三角形中线与三角形的面积 类型二三角形高线与三角形的面积 1.(2025·广东模拟)如图，在△ABC中，D,E5.(2025·成都期中)如图，在△ABC 分别是AB,BC的中点.若△BDE的面积是 中，∠C=90°（∠A<∠ABC),点 1,则△ACD的面积是 D,P分别在边AB,AC上，且答案讲解 A.1 B.2 C.3 D.4 BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为 E,F.若SAAc=24,AC=8,求DE+DF 的值. (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE 是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE (第5题) 的边AE上的中线，连接CE,CF.若△ABC 的面积是16，则阴影部分的面积是() A.6B.8 C.10 D.12 3.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，E, 类型三三角形中线、高线与三角形的面积 F分别为AD,BE的中点，且S△ABc=8cm, 6.如图，AD,BE分别为△ABC 则涂色部分的面积是 cm2. 的中线和高线，△ABD的面 4.如图，D,E分别为△ABC的边BC,AC的中 积为6，AC=4,则BE的长为 B 点，连接AD,DE,AF为△ADE的中线.若 (第6题) 四边形ABDF的面积为20，求△ABC的 7.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为 面积 AD,AC边上的高为BG,AF=6,BC=12, BG=5.求： (1)△ABD的面积 (2)AC的长. (第4题) D (第7题) 64 拍 第四章三角形 学 专题特训九三角形的内、外角平分线的夹角问题，“答案与解析”见23 类型一三角形中两内角平分线的夹角 与∠A,CD的平分线相交于点A2,则∠A2 1.如图，在△ABC中，∠ABC的n等分线与 ·,依此规律，得∠A2o26= ∠ACB的n等分线分别相交于点G1,G2, G3,…,G-1(点G1在最下方)，可以探究 ∠BGm-1C与∠A的关系（其中n是不小于 2的整数).当n=2时，如图①，∠BG1C= 当n=3时，如图②，∠BGC= (第3题) 如图③，猜想∠BG-1C 4.如图，在△ABC中，I是∠ABC与∠ACB平 分线的交点，D是△ABC的外角∠MBC与 ∠NCB平分线的交点，E是∠ABC与 △ABC的外角∠ACG平分线的交点. ① ② ③ (第1题) (1)若∠BAC=52°，则∠BIC= 类型二三角形中两外角平分线的夹角 ∠BDC= 2.已知△ABC的两个外角∠CBD和∠BCE (2)猜想∠BEC与∠BAC的数量关系： 的平分线相交于点O. (1)如图①，若∠A=90°，求∠O的度数 (3)若∠BAC=x°(0<x<90),则当 (2)如图②，试探索∠O与∠A之间的数量 ∠ACB= (用含x的代数式表 关系（直接写出结论，不说明理由） 示)时，CE∥AB (4)若△BDE中存在一个内角等于另一个 内角的三倍，试求∠BAC的度数， (第2题) (第4题) 类型三三角形中内角与外角平分线的夹角 3.如图，在△ABC中，∠A=70°，延长 BC到，点D,∠ABC与∠ACD的平 分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC答案讲解 65因为S△E=30, 1 所以Sam=2SaE=15. 又因为G为CF的中点， 所以0G=cr 1 15 所以Sa=2Sam= 2 B4 G (第10题) 11.(1)因为BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∠ACB=80°，∠ABC=40°， 所以∠CBO= 1 ∠ABC=20, ∠BC0= 21 ∠ACB=40°」 所以∠BOC=180°-∠CBO ∠BC0=120°. (2)因为∠A=60, 所以∠ABC+∠ACB=180° ∠A=120° 因为BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB, 1 所以∠CBO=2∠ABC,∠BCO= ∠ACB. 1 所以∠CBO+∠BCO= (ZABC+ ∠ACB)=60°. 所以∠BOC=180°-（∠CBO+ ∠BCO)=120° (3)∠B0C=90+2∠A. 理由：因为∠A+∠ABC十 ∠ACB=180°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A. 因为O平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CB0=2∠ABC,∠BC0= ∠ACB. 1 所以∠C0+∠BC0=(∠ABC+ ∠ACB)=合180-∠A)=90 A 所以∠BOC=180°-（∠CBO+ ∠0)=0+号A 12.(1)3.解析：因为AC=4cm, BC=3cm,AB=5cm,所以△ABC 的周长为4+3+5=12(cm).因为CP 把△ABC的周长分成相等的两部分， 所以易得，点P运动的路程为6cm.所 6 以1=2=3. 2) 解析：当CP把△ABC的面 积分成相等的两部分时，易得P为AB 的中点，所以点P运动的路程为4十 号-受(m.所以1=号：2=号 (3)当点P在AC上时，因为△BCP 的面积为4cm, 所以易得了×2X3=4,解得1=专 当点P在AB上时，因为△ABC的面 积为号×4X3=6(cm2),△BCP的 面积为4cm2, 所以△ACP的面积为2cm2. 所以易得AP-号AB=号cm 5 所以点P运动的路程为4十 n 1÷261 所以1=31 17 综上所述，当1的值为专或长时。 △BCP的面积为4cm2. 专题特训八三角形中线、 高线与三角形的面积问题 1.B 2.A解析：由题意可知，S△AD= 1 S△n=2S△A=2X16=8,所以 1 S△AE=SAAE=2SAAD=2 22 4.又因为BF是△ABE的边AE上 的中线，所以S△BFF=S△ABF= 1 1 S△AE=2X4=2.由题意可知， ED,CF均为△ACE的中线，所以 S△CEF=S△ACF=S△ADE=2S△ACR= 4,则S阴影=S△BF十S△CF=2十 4=6. 3.2 4.因为AF是△ADE的中线， 所以S△AE=2S△ADF. 同理可得，S△AD=2S△ADE,S△ACD= 1 SAAm=2 SAAIK· 1 所以S△AF=8SAMX. 因为四边形ABDF的面积为20， 所以S△ABD十S△ADF=20. 所以2Sa4+8Sa4c=20, 所以S△Ax=32. S.由条件可得，S△AP=2AP·BC, 1 1 S△A=2AC·BC,即24=2X 8BC, 所以BC=6. 连接DP 因为DE⊥BP,DF⊥AP, 所以S△ABP=S△ADP+S△DP= 号AP.DF+号BD,DE 因为BP=AP, 所以Sap=合AP.DF+2AN. DE=专APDE+DF), 所以2AP(DE+DF)=2AP· BC,则DE+DF=BC=6. 6.6 7.(1)因为AD是△ABC的边BC 上的中线，且BC=12, 所以BD=(CD=C=6 因为AF是△ABC的边BC上的高， 且AF=6, 所以Sam=号BD·AF=2×6X 6=18. (2)因为BG为△ABC的边AC上的 高，AF是△ABC的边BC上的高， 1 1 所以SAAx=2AC·BG=2BC· AF」 又因为BG=5,BC=12,AF=6, 所以AC=BCA_12X6-14.4 BG 5 专题特训九三角形的内、 外角平分线的夹角问题 1.90+3∠A60+子∠A 180+二∠A解析：当n=2时， n 1 ∠G,BC+∠G,CB=(∠ABc+ ∠ACB)=合(180-∠A,所以 ∠BG1C=180°-（∠G1BC+ ∠G,CB)=180°-2180-∠A) 90+3∠A.当n=3时，∠G,BC+ ∠G,CB=号（∠ABC+∠ACB) 号(13r-∠A),所以∠G,C 180-号(180-∠A)=60+ 号∠A图为∠G-x”号∠BC n ∠G.-1CB="∠ACB,∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A,所以 ∠BGm-1C=180°-（∠Gm-1BC+ ∠G.1CB)=180°-”（∠ABC+ ∠ACB)=180°- 0-1(180 ∠A)=180+”三∠A. 2.(1)因为∠A+∠ACB+ ∠ABC=∠ABC+∠CBD, 所以∠CBD=∠A+∠ACB. 同理，可得∠BCE=∠A+∠ABC. 因为∠CBD,∠BCE的平分线相交于 点O 1 所以∠CB0=2(∠A+∠ACB), ∠BO=Z(∠A+∠ABC). 所以∠CBO十∠BCO=2(∠A+ ∠ACB+∠ABC+∠A). 因为∠A十∠ACB+∠ABC=180, 所以∠CBO+∠BCO=90°+ 3∠A 在△OBC中，∠0=180° (∠CB0+∠BC0)=180°-(90°+ 7∠A)=90含A 因为∠A=90°， 所以∠0=90°-2×90°=90°- 45°=45° (2)由(1)可知，∠0=90° ∠A. 2 5°70 3.2 22026 4.(1)116°：64° 2)∠BC=2∠BAC. (3)(180-2.x) (4)由题意，易得∠EBD=90°. 所以∠D+∠E=90. ①当∠EBD=3∠D时，∠D=30° 所以易得∠BAC=120 ②当∠EBD=3∠E时，∠E=30°. 所以∠BAC=60°. ③当∠D=3∠E时，∠E=22.5. 所以∠BAC=45°. ④当∠E=3∠D时，∠E=67.5. 所以∠BAC=135°. 综上所述，∠BAC的度数为45或60 或120或135°. 2全等三角形 1.D2.C3.65 4.(1)对应边有EF与NM,EG与 NH,FG与MH. 23 对应角有∠E与∠N,∠EGF与 ∠NHM,∠F与∠M. (2)因为△EFG≌△NMH, 所以EF=NM=2.1cm,EG= NH=4.4 cm. 所以HG=EG-EH=4.4-1.2= 3.2(cm). 5.B 6.C解析：因为△ABC≌△DBE, 所以∠A=∠BDE,∠C=∠E.因为 ∠A:∠C=5：3,∠BDA=∠A,所 以∠A:∠BDA:∠BDE:∠E= 5:5:5:3.又因为∠A+∠BDA+ ∠BDE+∠E=180°，所以∠C= 3 ∠E=180×5+5+5+3=30, ∠BDE=∠A=∠BDA=180°X 5+5+5+3=50°，所以∠ADE= 5 180°-∠A-∠E=180°-50°-30°= 100°.所以∠CDE=180°-∠ADE= 80°.所以∠DBC=180°-∠C- ∠CDE-∠BDE=180°-30°-80°- 50°=20°. 7.B解析：因为△ABC≌△ADE, 所以∠B=∠D=30°，∠ACB= ∠AED=105°.所以∠ACF=180° ∠ACB=75°.所以∠CFA=180°- ∠CAF-∠ACF=180°-18°-75°= 87°.所以∠DFG=∠CFA=87°.因为 ∠1+∠D+∠DFG=180°，所以 ∠1=180°-87°-30°=63° 8.30°解析：因为△EDB≌△EDC, 所以∠DEB=∠DEC=90°.因为 △ADB≌△EDB≌△EDC,所以 ∠ABD=∠DBC=∠C,∠BAD= ∠DEB=90°，所以∠C=30° 9.45°解析：如图，由网格特征可判 断△CAB≌△FDE,DG=EG, ∠DGE=90°，所以∠GDE= ∠GED=45°，∠1=∠DFE.所以 ∠DEF=180°-45°=135.因为 ∠2+∠DFE=180°-135=45°，所