第4章 3 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

所以△ACF≌△ADF 所以∠AFC=∠AFD 又因为∠AFC+∠AFD=180°， 所以∠AFC=∠AFD=90° 所以AF⊥CD. 第2课时利用“角边角” “角角边”判定三角形全等 1.B2.C3.答案不唯一，如 ∠ABC=∠BAD 4.△ADC与△BCE全等. 理由：因为ADEB, 所以∠A=∠B. 在△ADC和△BCE中， ∠ACD=∠BEC, AC=BE, ∠A=∠B, 所以△ADC≌△BCE, 5.B解析：因为BE平分∠ABC, ∠BEC=90°，所以∠ABE=∠CBE, ∠BEC=∠BEA=90°.因为BE= BE,所以△ABE≌△CBE(ASA).所 以∠A=∠BCA.因为∠BCF=115°， 所以∠BCA=180°-∠BCF=180° 115°=65.所以∠ABC=180°-2× 65°=50°.因为DE∥BC,所以 ∠ADE=∠ABC=50°. 6.C解析：在△AEB和△AFC中， ∠B=∠C, ∠E=∠F,所以△AEB≌△AFC. LAE-AF, 所以∠EAB=∠FAC,EB=FC, AB=AC.所以∠EAB-∠BAC= ∠FAC-∠BAC,即∠EAM=∠FAN. 故③正确.在△AEM和△AFN中， ∠E=∠F, KAE=AF, 所以△AEM≌ ∠EAM=∠FAN, △AFN.所以EM=FN,AM=AN. 故①正确.因为AC=AB,AM=AN, 所以AC-AM=AB-AN,即CM= BN.在△CMD和△BND中， ∠CDM=∠BDN, ∠C=∠B, 所以△CMD≌ CM=BN, △BND.所以CD=BD,无法说明 CD=DN.故②不一定正确.在△ACN ∠C=∠B, 和△ABM中，∠CAN=∠BAM,所 AN-AM, 以△ACN≌△ABM.故④正确.综上 所述，一定正确的个数为3. 7.1解析：因为AD⊥BC,CE山 AB,所以∠ADB=∠AEH= ∠BEC=90°.因为∠AHE= ∠CHD,所以∠BAD=∠BCE.在 △HEA 和△BEC 中 ∠HAE=∠BCE, ∠AEH=∠CEB,所以△HEA≌ EH=EB, △BEC(AAS).所以AE=EC=4,则 CH=EC-EH=4-3=1. 8.因为ADCE, 所以∠A=∠C. 因为∠DBC+∠ABD=180°， ∠DBC+∠CEB=180°， 所以∠ABD=∠CEB. 在△ADB和△CBE中， ∠A=∠C, ∠ABD=∠CEB, BD=EB, 所以△ADB≌△CBE 所以AD=CB. 9.(1)因为DE⊥AB 所以∠EFB=90°」 所以∠BEF+∠ABC=90° 因为∠A十∠ABC=90°， 所以∠A=∠BEF. 在△BCA和△DBE中， 「∠A=∠DEB, ∠ACB=∠EBD=90°， AB-=ED, 所以△BCA≌△DBE(AAS) (2)因为△BCA≌△DBE, 所以BC=DB,AC=BE. 因为E是BC的中点， 所以BC=2BE. 因为AC=3cm, 所以BC=6cm. 25 所以BD=BC=6cm,即BD的长为 6 cm 10.如图，△ABC即为所求作」 B (第10题) 方法归纳 用尺规作三角形的依据及方法 用尺规作三角形的依据是全 等三角形的性质，作三角形的思路 可通过画草图分析寻找，关键是如 何确定三个顶，点.作三角形的步骤 分为三步：已知，求作，作法.“已 知”为所给的条件：“求作”为借助 草图找出使三角形满足题意的三 个边或角的相等条件 11.4解析：延长BA,CE相交于点 F.因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠CBD.因为CE⊥BD,所 以∠BEF=∠BEC=9O.在△BFE ∠FBE=∠CBE, 和△BCE中，BE=BE, 所 ∠BEF=∠BEC, 以△BFE≌△BCE.所以FE=CE. 因为∠BAC=90°，所以∠CAF ∠BEF=90°.所以∠ACF+∠F= 90°，∠ABD+∠F=90°.所以 ∠ABD=∠ACF.在△ABD和 ∠ABD=∠ACF, △ACF中，AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°， 所以△ABD≌△ACF.所以BD= CF.因为CF=CE+EF=2CE,所以 BD=2CE=8.所以CE=4. 12.如图，过点B作BF⊥OC,垂足 为F. 由题意，知AE⊥OC,OA=OB,且易 得AD=EC=2m. 又因为OA⊥OB, 所以∠AOE+∠BOE=∠AOB= 90°. 因为BF⊥OC, 所以∠BFO=90. 所以∠BOE+∠OBF=90. 所以∠AOE=∠OBF. 在△OAE和△BOF中， '∠AEO=∠OFB=90°， {∠AOE=∠OBF, OA=BO, 所以△OAE2△BOF. 所以OE=BF=OC-EC=20-2= 18(m). 所以点B到OC的距离为18m. 0 D (第12题) 第3课时利用“边角边” 判定三角形全等 1.B2.D3.△ABC△ADE 4.因为AB是∠CAD的平分线， 所以∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中， AC-AD, ∠CAB=∠DAB, AB=AB, 所以△ABC≌△ABD. 所以∠C=∠D. 5.B解析：因为∠BAC=∠DAE= 49°，所以易得∠BAD=∠CAE.因为 AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌ △CAE.所以BD=CE.故①正确.无 法说明AD=BD,故②不一定正确。 因为△BAD≌△CAE,所以 ∠ABD=∠ACE.设AC,BF交于点 O.因为∠AOB=∠COF,所以 ∠BFC=∠BAO=49°.故③正确.综 上所述，一定正确的个数是2. 6.①③④解析：因为AE∥DF,所 以∠A=∠D.①因为AB=CD,所 以AB+BC=CD+BC,即AC= DB.因为AE=DF,∠A=∠D, AC=DB,所以由“SAS”能说明 △ACE≌△DBF.②根据AE=DF, ∠A=∠D,EC=BF不能说明 △ACE≌△DBF.③因为∠A=∠D, AE=DF,∠E=∠F,所以由“ASA” 能说明△ACE≌△DBF.④因为 ECBF,所以∠ECA=∠FBD.因为 ∠ECA=∠FBD,∠A=∠D,AE= DF,所以由“AAS”能说明△ACE≌ △DBF.综上所述，能说明△ACE≌ △DBF的是①③④. 易错警示 判定三角形全等的易错点 首先注意不要把“不是三角形 边、角的线段或角”当作三角形的 边或角，要明确三角形全等的条件 是“三个边或角对应相等”，其次注 意不要混淆三角形全等的判定条 件，误用“两边及一边的对角对应 相等”或“三角对应相等”的条件判 定三角形全等 7.30解析：由AB∥CD,知∠B= ∠DEF.又因为∠AFB=∠DFE, EF=BF,所以△AFB≌△DFE (ASA.所以S△AFB=S△FE,因为 AC=5,AD=12,所以题图中阴影部 分的面积7AC·AD三30 8.(1)如图所示，△ABC即为所求. (2)如图所示，△ABD即为所求， D (第8题) 9.(1)因为AF=CD, 所以AF+FC=CD+FC,即 AC=DF. 因为BCEF, 所以∠ACB=∠DFE. 在△ABC和△DEF中， AC=DF, ∠ACB=∠DFE, BC=EF, 26 所以△ABC≌△DEF (2)因为△ABC≌△DEF, 所以∠D=∠A=20 因为∠AFE=100°， 所以∠EFD=180°-100°=80°. 所以∠E=180°-∠D-∠EFD= 180°-20°-80°=80. 10.(1)因为DECF 所以∠CDE=∠DCF. 所以易得∠ADE=∠BCF. 因为AEBF, 所以∠A=∠B. 在△ADE和△BCF中， ∠A=∠B, AD=BC, ∠ADE=∠BCF, 所以△ADE≌△BCF, (2)因为△ADE≌△BCF, 所以DE=CF 在△CDE和△DCF中， DE=CF, ∠CDE=∠DCF, CD=DC. 所以△CDE2△DCF」 所以∠ECD=∠FDC. 所以CEDF, 方法归纳 判定两个三角形全等的思路 判定两个三角形全等的思路 如下表： 已知条件寻找条件 理由 夹角 SAS 两边 另一边 SSS 任一角 AAS或ASA 一边一角 夹此角的 另一边 SAS 两角 任意-边ASA或AAS 11.(1)因为∠BAC=90°，∠DAE= 90°， 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC. 所以∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，拔尖特训·数学（北师版）七年级下 拍 批改 第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等◆“答案与解析”见25 自基础进阶 幻素能攀升 1.△ABC的三个内角、三条边长如图所示，则 5.(2025·汉中期中)如图，在△ABC中，BE平 甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图 分∠ABC交AC于点E,∠BEC=90°，过点 形是 E作DEBC,交AB于点D,延长AC至点 F,连接BF.若∠BCF=115°，则∠ADE的 a 度数为 () 150 12 人58°72 A.45° B.50° C.55°D.60° C (第1题) M C A.甲和乙 B.乙和丙 D B C.只有乙 D.只有丙 2.(2024·榆林子洲期末)如图，点A,B分别在 (第5题) (第6题) 线段OC,OD上，AD与BC交于点E,AD= 6.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE= BC,∠D=∠C.若OC=5,OB=2,则BD的 AF.有下列结论：①EM=FN;②CD= 长为 ( DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌ A.5 B.2 C.3 D.7 △ABM.其中，一定正确的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC, CE⊥AB,垂足分别为D,E, E (第2题) (第3题) AD,CE交于点H.已知EH= 3.新考法·开放题如图，∠C=∠D=90°，利用 EB=3,AE=4,则CH的长为B (第7题) AAS说明△ABC≌△BAD,需添加的条件 是 (写出一种即可). 8.如图，B为AC上的一点，AD∥CE, 4.(2025·沈阳段考)如图，点C在线段AB上， ∠DBC+∠CEB=180°，BD=EB,试说明： AD∥EB,AC=BE,∠ACD=∠BEC AD=CB. △ADC与△BCE全等吗？请判断并说明理鼬. (第8题) (第4题) 70 第四章三角形 9.如图，∠ACB=∠DBC=90°，AB=DE,E罚思维拓展 是BC的中点，DE⊥AB,垂足为F. 11如图，在△ABC中，∠A=90°， (1)试说明：△BCA≌△DBE. AB=AC,∠ABC的平分线BD (2)若AC=3cm,求BD的长， 交AC于点D,CE⊥BD,交BD答案讲解 的延长线于点E.若BD=8,则CE= (第9题)》 D A b E (第11题) 12.如图所示为某景区的悬崖秋千的 侧面示意图，秋千静止时位于℃ 上，OC⊥CD,秋千顶端转轴O到答案讲解 地面的距离O℃=20m.某游客在荡秋千的 过程中，秋千后撤摆动到最高点A时，测得 点A到OC的距离AE=3m,点A到地面 平台DC的距离AD=2m,绳索OA从点A 10.*如图所示为∠α，∠3和线段a,用尺规作一 处摆动到悬崖壁外最远点B处，此时满足 个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内 OB⊥OA,求点B到OC的距离. 角等于∠B,且∠a的对边等于a(不写作法 0 保留作图痕迹) 太B (第10题) DC (第12题) 71