第4章 2 全等三角形-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

所以Sam=号BD·AF=2×6X 6=18. (2)因为BG为△ABC的边AC上的 高，AF是△ABC的边BC上的高， 1 1 所以SAAx=2AC·BG=2BC· AF」 又因为BG=5,BC=12,AF=6, 所以AC=BCA_12X6-14.4 BG 5 专题特训九三角形的内、 外角平分线的夹角问题 1.90+3∠A60+子∠A 180+二∠A解析：当n=2时， n 1 ∠G,BC+∠G,CB=(∠ABc+ ∠ACB)=合(180-∠A,所以 ∠BG1C=180°-（∠G1BC+ ∠G,CB)=180°-2180-∠A) 90+3∠A.当n=3时，∠G,BC+ ∠G,CB=号（∠ABC+∠ACB) 号(13r-∠A),所以∠G,C 180-号(180-∠A)=60+ 号∠A图为∠G-x”号∠BC n ∠G.-1CB="∠ACB,∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A,所以 ∠BGm-1C=180°-（∠Gm-1BC+ ∠G.1CB)=180°-”（∠ABC+ ∠ACB)=180°- 0-1(180 ∠A)=180+”三∠A. 2.(1)因为∠A+∠ACB+ ∠ABC=∠ABC+∠CBD, 所以∠CBD=∠A+∠ACB. 同理，可得∠BCE=∠A+∠ABC. 因为∠CBD,∠BCE的平分线相交于 点O 1 所以∠CB0=2(∠A+∠ACB), ∠BO=Z(∠A+∠ABC). 所以∠CBO十∠BCO=2(∠A+ ∠ACB+∠ABC+∠A). 因为∠A十∠ACB+∠ABC=180, 所以∠CBO+∠BCO=90°+ 3∠A 在△OBC中，∠0=180° (∠CB0+∠BC0)=180°-(90°+ 7∠A)=90含A 因为∠A=90°， 所以∠0=90°-2×90°=90°- 45°=45° (2)由(1)可知，∠0=90° ∠A. 2 5°70 3.2 22026 4.(1)116°：64° 2)∠BC=2∠BAC. (3)(180-2.x) (4)由题意，易得∠EBD=90°. 所以∠D+∠E=90. ①当∠EBD=3∠D时，∠D=30° 所以易得∠BAC=120 ②当∠EBD=3∠E时，∠E=30°. 所以∠BAC=60°. ③当∠D=3∠E时，∠E=22.5. 所以∠BAC=45°. ④当∠E=3∠D时，∠E=67.5. 所以∠BAC=135°. 综上所述，∠BAC的度数为45或60 或120或135°. 2全等三角形 1.D2.C3.65 4.(1)对应边有EF与NM,EG与 NH,FG与MH. 23 对应角有∠E与∠N,∠EGF与 ∠NHM,∠F与∠M. (2)因为△EFG≌△NMH, 所以EF=NM=2.1cm,EG= NH=4.4 cm. 所以HG=EG-EH=4.4-1.2= 3.2(cm). 5.B 6.C解析：因为△ABC≌△DBE, 所以∠A=∠BDE,∠C=∠E.因为 ∠A:∠C=5：3,∠BDA=∠A,所 以∠A:∠BDA:∠BDE:∠E= 5:5:5:3.又因为∠A+∠BDA+ ∠BDE+∠E=180°，所以∠C= 3 ∠E=180×5+5+5+3=30, ∠BDE=∠A=∠BDA=180°X 5+5+5+3=50°，所以∠ADE= 5 180°-∠A-∠E=180°-50°-30°= 100°.所以∠CDE=180°-∠ADE= 80°.所以∠DBC=180°-∠C- ∠CDE-∠BDE=180°-30°-80°- 50°=20°. 7.B解析：因为△ABC≌△ADE, 所以∠B=∠D=30°，∠ACB= ∠AED=105°.所以∠ACF=180° ∠ACB=75°.所以∠CFA=180°- ∠CAF-∠ACF=180°-18°-75°= 87°.所以∠DFG=∠CFA=87°.因为 ∠1+∠D+∠DFG=180°，所以 ∠1=180°-87°-30°=63° 8.30°解析：因为△EDB≌△EDC, 所以∠DEB=∠DEC=90°.因为 △ADB≌△EDB≌△EDC,所以 ∠ABD=∠DBC=∠C,∠BAD= ∠DEB=90°，所以∠C=30° 9.45°解析：如图，由网格特征可判 断△CAB≌△FDE,DG=EG, ∠DGE=90°，所以∠GDE= ∠GED=45°，∠1=∠DFE.所以 ∠DEF=180°-45°=135.因为 ∠2+∠DFE=180°-135=45°，所 以∠1+∠2=45°. (第9题) 10.(1)由题意，易知BE⊥AC,CF⊥ AB, 所以∠AEB=∠AFC=90° 所以∠BAE+∠ABE=90°， ∠ACF+∠CAF=90°. 所以∠ABE=∠ACF. (2)AD⊥AG. 理由：因为△ABD≌△GCA, 所以∠ADB=∠GAC. 因为∠ADB+∠ADE=180°， ∠ADE+∠DAE+∠AEB=180°， 所以∠ADB=∠DAE+∠AEB. 因为∠GAC=∠GAD+∠DAE, 所以∠GAD=∠AEB=90°. 所以AD⊥AG. 11.(1)因为△ABC≌△DEB,DE 8,BC=5, 所以AB=DE=8,BC=EB=5. 所以AE=AB-EB=8-5=3. (2)因为△ABC≌△DEB,∠D 35°，∠C=60°， 所以∠A=∠D=35°，∠C= ∠DBE=6O. 所以∠ABC=180°-∠A-∠C= 85°. 所以∠DBC=∠ABC-∠DBE= 85°-60°=25°. 12.(1)因为△ABD≌△CAE,BD= 6,CE=4, 所以BD=AE=6,AD=CE=4. 所以DE=AE-AD=2. (2)因为BDCE, 所以∠BDE=∠CEA. 因为△ABD≌△CAE, 所以∠ADB=∠CEA,∠ABD= ∠CAE. 所以∠ADB=∠BDE. 因为∠ADB+∠BDE=180°， 所以∠ADB=90°. 所以∠ABD+∠BAD=90°. 所以∠BAC=∠BAD+∠CAE= ∠BAD+∠ABD=90°. 13.(1)由题意，得BP=3tcm. 因为BC=8cm, 所以CP=BC-BP=(8-3t)cm. (2)因为AB=10cm,D为AB的 中点， 所以BDAB=-5m ①当△BDP≌△CPQ时，BD=CP, 即5=8-3t,解得1=1. 所以BP=CQ,即3×1=a×1,解得 a=3. ②当△BDP2△CQP时，BP=CP, 即3=8-31，解得1=3 4 所以BD=CQ,即5=u×专，解得 15 a一4 综上所述u的值为3或早 3探索三角形全等的条件 第1课时利用“边边边” 判定三角形全等 1.A 2.C 3.AB=DC 4.因为C是BD的中点， 所以BC=DC. 在△ABC和△EDC中， AB=ED, RAC=EC, BC=DC, 所以△ABC≌△EDC. 5.D 6.130°解析：在△ACD和△BCE AC=BC, 中，AD=BE,所以△ACD≌ CD=CE, △BCE.所以∠ACD=∠BCE, ∠A=∠B.所以∠ECD+∠ACE= ∠ACB+∠ACE.所以∠ECD= 24 ∠ACB=2(ZBCD-∠ACE) ×(155-55)=50.因为∠B ∠ACB=∠A+∠APB,所以 ∠APB=∠ACB=50°.所以 ∠BPD=180°-∠APB=180°- 50°=130°. 7.2a三角形的稳定性 8.根据三角形的三边关系，只能选b, c,d三条线段画三角形. 如图，△ABC即为所求. a h (第8题) 9.△ABC △CDA ∠BAC ∠DCA∠DAC∠BCA 10.(1)因为BF=CE, 所以BF+FC=CE+FC,即 BC=EF. AB=DE, 在△ABC和△DEF中 AC-DF, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF. (2)AB∥DE,AC∥DF. 理由：因为△ABC≌△DEF, 所以∠ABC=∠DEF,∠ACB= ∠DFE. 所以ABDE,ACDF. 11.(1)∠B=∠E. (AB=AE, 在△ABC和△AED中，BC=ED, AC-AD, 所以△ABC≌△AED 所以∠B=∠E (2)AF⊥CD 理由：因为F为CD的中点， 所以CF=DF! (AC=AD, 在△ACF和△ADF中，AF=AF, CF=DF,拔尖特训·数学（北师版）七年级下 2全等 自基础进阶 1.若如图所示的两个三角形全等，则∠1的度 数为 () (第1题) A.72°B.60°C.50°D.58 2.如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段 AD上.若△ABD≌△CED,AB=10,BC= 14,则△CED的周长为 ( A.10B.20 C.24 D.28 (第2题) (第3题) 3.(2025·茂名茂南期中)如图，△ABD≌ △CBD.若∠A=70°，∠ABD=45°，则 ∠BDC的度数为 4.如图，△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应 角.在△NMH中，MH是最长边.在△EFG 中，FG是最长边，EF=2.1cm,EH=1.2cm, NH=4.4 cm. (1)写出两个三角形的对应边及对应角， (2)求线段NM及线段HG的长 H G (第4题) 66 三角形 “答案与解析”见P23 素能攀升 5.如图，若 △ABC≅△ADE， 则下列结论中，一 定成立的是 () A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE C.AB=AE D.∠ABC=∠AED C E A D B D C A B E (第5题) (第6题) 6.如图，点D 在AC 上，点B在 AE 上， △ABC≅△DBE， ，且 ∠BDA=∠A. 如果 ∠A：∠C=5：3， 那么 ∠DBC 的度数为 () $$A . 3 0 ^ { \circ }$$ $$B . 2 5 ^ { \circ }$$ $$C . 2 0 ^ { \circ }$$ $$D . 1 5 ^ { \circ }$$ 7.(2024⋅ 西安长安期末)如图， △ABC≅ △ADE，BC 的延长线交D 于点 F， 交 DE 于点 G. 若 $$\angle A E D = 1 0 5 ^ { \circ } ， \angle C A D = 1 8 ^ { \circ } ，$$ $$\angle B = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠1 的度数为 () B D C F G E A (第7题) $$A . 6 7 ^ { \circ }$$ $$B . 6 3 ^ { \circ }$$ $$C . 5 7 ^ { \circ }$$ $$D . 5 3 ^ { \circ }$$ 8.如图，在 △ABC 中，D，E分别是 AC，BC 边上的点.若 △ADB≅ △EDB≅△EDC， ，则 ∠C 的度数为答案讲解 . A D B E (第8题) (第9题) 9.数形结合思想如图，在4×4的网格中， ∠1+ ∠2= . 10.如图，在△ABC中，BE,CF分别是AC,AB 两边上的高 (1)试说明：∠ABE=∠ACF. (2)当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位 置关系如何？请说明理由. (第10题) 11.如图，△ABC≌△DEB,点E在AB上，DE 与AC相交于点F. (1)当DE=8,BC=5时，求线段AE的长 (2)若∠D=35°，∠C=60°，求∠DBC的 度数. (第11题) 第四章三角形 2.如图，A,D,E三点在同一条直线上， △ABD≌△CAE. (1)若BD=6,CE=4,求DE的长 (2)若BDCE,求∠BAC的度数. (第12题) 罚思维拓展 3.如图，在△ABC中，AB=AC= 10cm,BC=8cm,D为AB的中 点，点P在线段BC上以3cm/s的答案讲解 速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段 CA上以acm/s的速度由点C向点A运 动，设运动时间为ts,连接PD,PQ. (1)求CP的长（用含t的式子表示）. (2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B, D,P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C 是对应角，求a的值. (第13题) 67