第4章 1 第3课时 三角形的高线、中线与角平分线-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第3课时三角形的 自基础进阶 1.下列说法中，正确的是 A.过三角形的顶点和它对边中点的直线，是 三角形的中线 B.三角形的角平分线是一条射线 C.三角形的中线小于任何一条边 D.三角形的重心一定在三角形内 2.易错题利用一把含30°角的三角尺过点A作 △ABC的边BC的垂线，下列三角尺摆放的 位置正确的是 3.如图，△ABC的两条中线AM,BN相交于点 O.若△ABO的面积为4，则四边形MCVO 的面积为 0 M (第3题) 4.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在 边AB上（不与点A,B重合），CD与BE交 于点O. (第4题) (1)若CD是中线，BC=3,AC=2,则 △BCD与△ACD的周长差为 62 拍照批改 高线、中线与角平分线“答案与解析”见21 (2)若∠ABC=62°，CD是△ABC的高，求 ∠BOC的度数 幻素能攀升 5.(2025·咸阳永寿期中)如图，AD,BE,CF分 别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC= 90°，CF交AD于点G,交BE于点H,AB= BD.下列结论中，不正确的是 () A.AB=CD B.FG=GC C.∠ABE=2∠FCBD.∠BFH=∠BHF (第5题) (第6题) 6.如图，BE,CF是△ABC的两条角平分线， AD过BE,CF的交点，且交BC于点D.若 ∠BAC=64°，则∠DAC的度数为 7.如图，在△ABC中，AE是边BC上的中线，D 是边AB上的点，AD=2BD.设△ABE的面 积为S1,△CBD的面积为S2.若S△ABC=6, 则S1一S2的值为 (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC= 75°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD 与BE交于点H,连接CH,则∠CHD的度 数为 9.分类讨论思想若AD是△ABC的高，且 BD=5,CD=2,则边BC的长为 10.如图，BE为△ABC的角平分线，DE∥BC 交AB于点D,∠C=70°，∠DEB=30° (1)求∠A的度数. (2)请你画出△BCE的中线CF,再找出 CF的中点G,连接EG.若SABE=30,求 △CEG的面积. (第10题) 11.如图，在△ABC中，BO,CO是 △ABC的角平分线，且BO,CO 相交于点O. 答案讲解 (1)若∠ACB=80°，∠ABC=40°，求∠BC 的度数 (2)若∠A=60°，求∠BOC的度数 (3)试写出∠A与∠BOC之间满足的数量 关系，并说明理由。 (第11题) 第四章三角形 思维拓展 12.如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=4 cm,BC=3 cm,AB=5 cm, 动点P从点C开始，沿C-A-BC答案讲解 的路径运动，速度为2cm/s,设运动的时间 为ts (1)当t= 时，CP把△ABC的周 长分成相等的两部分， (2)当t= 时，CP把△ABC的面 积分成相等的两部分 (3)当t为何值时，△BCP的面积为4cm? C B (第12题) 633.2cm,6.4cm,6.4cm. 14.(1)因为(a-b)2+(b-c)2=0, 所以易得a-b=0,b一c=0. 所以a=b=c. 所以△ABC是等边三角形 (2)因为a=5,b=2,且c为整数， 所以5-2c<5+2,即3c<7. 所以c=4或5或6. 所以△ABC的周长为5+2+4=11 或5+2+5=12或5+2+6=13. 15.在△ABD中，AD+AB>BD, 在△BCD中，CD+BC>BD, 在△ACD中，AD+CD>AC 在△ABC中，AB+BC>AC, 所以2(AD+AB+CD+BC)> 2(AC+BD). 所以AD+AB+CD+BC>AC+BD, 即AC与BD的长之和小于四边形 ABCD的周长. 16.C解析：由题意，得1+d+1+ 1>5,且1+5+1+1>d,所以2< d<8.所以d的值可能是7. 17.设最长边的长为x. 因为各边长互不相等， 所以x>号 因为三角形任意两边之和大于第 三边， 所以<号，即<10， 所以9<<10. 3 又因为x是整数， 所以x的值为7或8或9. 当x=7时，无符合要求的三角形： 当x=8时，符合要求的三角形的三 边长为8,7,5； 当x=9时，符合要求的三角形的三 边长为9,8,3或9,7,4或9,6,5. 综上所述，周长为20，各边长互不相 等且都是整数的三角形共有4个， 第3课时三角形的高线、 中线与角平分线 1.D 2.B 易错警示 判断三角形高的注意事项 从三角形的一个顶点向它的 对边所在直线作垂线，顶，点和垂足 之间的线段叫作三角形的高线，简 称三角形的高，要判断三角形某边 上的高，需注意高经过此边所对的 顶点，并且和这条边所在的直线垂 直.另外三角形的高不一定都在三 角形的内部」 3.4解析：设S△Ax=a,因为AM, BN是△ABC的两条中线，所以 SAIN=号，SAx=受.因为△AB0 的面积为4，所以4十Sw=受.所 a 以S△0M=)一4.因为S四边形O十 Sa=，所以So=号 Sam=受-（号-4）=4 4.(1)1.解析：因为CD是中线，所 以BD=AD.因为BC=3,AC=2,所 以△BCD的周长=BC+BD+CD= 3+AD+CD,△ACD的周长=AC+ AD+CD=2+AD+CD.所以 △BCD的周长-△ACD的周长= 3+AD+CD-(2+AD+CD)=1. (2)因为CD是△ABC的高， 所以∠CDB=90° 因为∠ABC=62°， 所以∠DCB=28 因为BE是△ABC的角平分线， 所以∠CBE=2∠ABC=2 62°=31 所以∠BOC=180°-∠CBE ∠BCD=180°-31°-28=121. 5.B 6.32°解析：因为BE,CF是△ABC 的两条角平分线，所以AD是△ABC 的角平分线.因为∠BAC=64°，所以 ∠DAC=2∠BAC=32 7.1解析：因为AE是边BC上的中 21 线，所以BE=CE.因为S△A=6,所 以SaAE=方S△m=8因为AD 2BD,所以BD= 号AB.因为 S△Ax=6,所以S△CBD= 3S△A= 2.所以S1=3,S2=2.所以S1-S2= 3-2=1. 8.45°解析：延长CH交AB于点 F.因为AD⊥BC于点D,BE⊥AC 于点E,在△ABC中，三条高所在的 直线交于一点，所以CF⊥AB.因为 ∠BAC=75,所以∠ACF=90° 75°=15.因为∠ACB=60°，所以 ∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°.因 为AD⊥BC,所以∠CHD=90°- ∠BCF=45°. 9.7或3解析：当△ABC为锐角三 角形时，如图①.因为BD=5,CD 2,所以BC=BD+CD=5+2=7.当 △ABC为钝角三角形时，如图②.因 为BD=5,CD=2,所以BC=BD一 CD=5一2=3.综上所述，边BC的长 为7或3. ① ② (第9题) 10.(1)因为DE∥BC, 所以∠EBC=∠DEB=30. 因为BE为△ABC的角平分线， 所以∠DBE=∠EBC=30. 所以∠ABC=60° 因为∠C=70°， 所以∠A=180°-∠C-∠ABC=50°. (2)如图所示. 因为CF是△BCE的中线， 所F=子E, 因为S△E=30, 1 所以Sam=2SaE=15. 又因为G为CF的中点， 所以0G=cr 1 15 所以Sa=2Sam= 2 B4 G (第10题) 11.(1)因为BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∠ACB=80°，∠ABC=40°， 所以∠CBO= 1 ∠ABC=20, ∠BC0= 21 ∠ACB=40°」 所以∠BOC=180°-∠CBO ∠BC0=120°. (2)因为∠A=60, 所以∠ABC+∠ACB=180° ∠A=120° 因为BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB, 1 所以∠CBO=2∠ABC,∠BCO= ∠ACB. 1 所以∠CBO+∠BCO= (ZABC+ ∠ACB)=60°. 所以∠BOC=180°-（∠CBO+ ∠BCO)=120° (3)∠B0C=90+2∠A. 理由：因为∠A+∠ABC十 ∠ACB=180°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A. 因为O平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CB0=2∠ABC,∠BC0= ∠ACB. 1 所以∠C0+∠BC0=(∠ABC+ ∠ACB)=合180-∠A)=90 A 所以∠BOC=180°-（∠CBO+ ∠0)=0+号A 12.(1)3.解析：因为AC=4cm, BC=3cm,AB=5cm,所以△ABC 的周长为4+3+5=12(cm).因为CP 把△ABC的周长分成相等的两部分， 所以易得，点P运动的路程为6cm.所 6 以1=2=3. 2) 解析：当CP把△ABC的面 积分成相等的两部分时，易得P为AB 的中点，所以点P运动的路程为4十 号-受(m.所以1=号：2=号 (3)当点P在AC上时，因为△BCP 的面积为4cm, 所以易得了×2X3=4,解得1=专 当点P在AB上时，因为△ABC的面 积为号×4X3=6(cm2),△BCP的 面积为4cm2, 所以△ACP的面积为2cm2. 所以易得AP-号AB=号cm 5 所以点P运动的路程为4十 n 1÷261 所以1=31 17 综上所述，当1的值为专或长时。 △BCP的面积为4cm2. 专题特训八三角形中线、 高线与三角形的面积问题 1.B 2.A解析：由题意可知，S△AD= 1 S△n=2S△A=2X16=8,所以 1 S△AE=SAAE=2SAAD=2 22 4.又因为BF是△ABE的边AE上 的中线，所以S△BFF=S△ABF= 1 1 S△AE=2X4=2.由题意可知， ED,CF均为△ACE的中线，所以 S△CEF=S△ACF=S△ADE=2S△ACR= 4,则S阴影=S△BF十S△CF=2十 4=6. 3.2 4.因为AF是△ADE的中线， 所以S△AE=2S△ADF. 同理可得，S△AD=2S△ADE,S△ACD= 1 SAAm=2 SAAIK· 1 所以S△AF=8SAMX. 因为四边形ABDF的面积为20， 所以S△ABD十S△ADF=20. 所以2Sa4+8Sa4c=20, 所以S△Ax=32. S.由条件可得，S△AP=2AP·BC, 1 1 S△A=2AC·BC,即24=2X 8BC, 所以BC=6. 连接DP 因为DE⊥BP,DF⊥AP, 所以S△ABP=S△ADP+S△DP= 号AP.DF+号BD,DE 因为BP=AP, 所以Sap=合AP.DF+2AN. DE=专APDE+DF), 所以2AP(DE+DF)=2AP· BC,则DE+DF=BC=6. 6.6 7.(1)因为AD是△ABC的边BC 上的中线，且BC=12, 所以BD=(CD=C=6 因为AF是△ABC的边BC上的高， 且AF=6,