第4章 1 第1课时 三角形及其内角和-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

第四章三角形 拍照批改 1认识三角形 第1课时三角形及其内角和 “答案与解析”见P19 白基础进阶 幻素能攀升 1.如图，下列说法中，错误的是 5.(2025·西安长安期中)下列条件中，不能判 A.∠A,∠B,∠ACB是△ABC的内角 断△ABC是直角三角形的为 () B.△AEC的三条边分别是AE,EC,AC A.∠A=37°，∠B=53° C.图中共有3个三角形 B.∠A=∠B=2∠C D.以∠BEC为内角的三角形有2个 C.∠A-∠C=∠B D.∠A:∠B:∠C=2:3:5 6.整体思想如图，E,F是△ABC的边AB,AC 上的点，D是点A上方的一点.若∠B十 (第1题) (第2题)》 ∠C=60°，∠D=70°，则∠1+∠2的度数为 2.(2025·咸阳永寿期中)如图，直线AB,CD 相交于点O,∠C=80°，∠A=40°，∠B A.50° B.60°C.65°D.70 90°，则∠D的度数为 ( A.30°B.40° C.45°D.60° 3.在△ABC中，若∠A:∠B：∠C=2:3: 4,则∠A的度数为 ,此三角形为 角三角形（填“锐”“直”或“钝”）. (第6题) (第7题) 4。新情境·现实生活如图，按规定，一块模板中 7.新考向·跨学科如图，两面镜子AB,BC的 AB,CD的延长线应相交成85°角.因交点不 夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1 在板上，不便测量，工人师傅连接AC,测得 ∠2，∠3=∠4.若∠=70°，则∠3的度数为 ∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB,CD的 () 延长线相交所成的角是否符合规定？为 A.30°B.35° C.40°D.45 什么？ 8.将一副三角尺按如图所示的方式放 置，将三角尺ADE绕点A按逆时 针方向旋转α(0°<α<90°)，使得三答案讲解 角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则 (第4题) a的度数为 (第8题) 58 第四章三角形 9.如图，过A,B,C,D,E五个点中的任意三点 思维拓展 画三角形 11.【定义】 (1)一共可以画出多少个三角形？ 在一个三角形中，如果一个角的度 (2)以AB为一边可以画出哪几个三角形？ 数是另一个角度数的3倍，那么这答案讲解 以C为顶点可以画出哪几个三角形？ 样的三角形我们称之为“和谐三角形”.例 (3)从画出的三角形中分别找出1个锐角三 如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形 角形、1个直角三角形和1个钝角三角形， 是“和谐三角形” B4--1-ip 【概念理解】 如图①，∠MON=60°，在射线OM上找一 (第9题) 点A,过点A作AB⊥OM,交ON于点B, 以A为端，点作射线AD,交线段OB于点C (不与点O,B重合)， (1)∠ABO的度数为 ,△AOB “和谐三角形”（填“是”或“不是”）. (2)若∠ACB=80°，试说明：△AOC是“和 谐三角形”. 【应用拓展】 (3)如图②，点D在△ABC的边AB上，连 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE 接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E, 平分∠ABC,交AC于点E.若∠ABC= 在DC上取点F,使∠EFC+∠BDC= 60°，∠AEB=70°. 180°，∠DEF=∠B.若△BCD是“和谐三 (1)求∠CAD的度数 角形”，求∠B的度数 (2)若F为线段BC上的任意一点，则当 △EF℃为直角三角形时，求∠BEF的度数. 010 B N ① ② (第11题) D (第10题) 59的时间段是7：50~8：00,8：20~ 8:30,一共20mim,7:50至8：30一共 有40min,则他等车时间不超过10min 的凝率是碧号 5.(1)根据题意，得题图①中正方形 的面积为2aX2a=4a2,阴影部分的 1 面积为4u2-4X4×元×a2=4u2 πa2,则他投中阴影部分的概率P= 4a2-元a2_4-x 4a2 4 (2)子、解析：因为图形的总面积为 a2+(2a)2=5a2,阴影部分的面积为 5a2-(2a+a)×2a÷2=2a2,所以点 P恰好在阴影部分的概率是Q 5a2 2 · (日)由题意，得甲说对的概率为号 会，乙说对的概率为器骨 因为好>骨， 所以乙说对的概率较大. 6.(1)025 97 解析：设标有8元的 小球有x个，则标有2元的小球有 (2.x-1)个.由题意，得x十2x一1十 4+5=50,解得x=14.所以2x一1= 27.所以小明获得奖品的概率为 0-品获得8元奖品的餐率为 50 147 5025 (2)设把y个标有2元的小球改为标 有8元的小球 由题意，得y+142 50 5 解得y=6. 所以需要把6个标有2元的小球改为 标有8元的小球 第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形及其内角和 1.D2.A3.40°锐 4.不符合规定 如图，延长AB,CD交于点O, 在△AOC中，因为∠BAC=32°， ∠DCA=65°， 所以∠AOC=180°-∠BAC- ∠DCA=180°-32°-65°=83°. 因为83°<85°， 所以不符合规定. 0 D (第4题) 5.B解析：选项A,因为∠A=37°， ∠B=53°，所以∠C=180°-37° 53°=90°.所以△ABC是直角三角形. 选项B,因为∠A=∠B=2∠C, ∠A+∠B+∠C=180°，所以 2∠C+2∠C+∠C=180°，即5∠C= 180°，解得∠C=36°.所以∠A= ∠B=72°.所以△ABC不是直角三角 形.选项C,因为∠A-∠C=∠B,所 以∠A=∠C十∠B.所以∠A=90°. 所以△ABC是直角三角形.选项D, 设∠A=2x°，∠B=3.x°，∠C=5x, 则2x+3x+5.x=180,解得x=18.所 以∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°.所 以△ABC是直角三角形. 6.A解析：如图，连接EF.因为 ∠B+∠C=60°，所以∠A=180° (∠B+∠C)=120°.所以∠AEF+ ∠AFE=180°-∠A=60°.因为 ∠D=70°，所以∠DEF+∠DFE= 180°-∠D=110°.因为∠1+ ∠AEF=∠DEF,∠2+∠AFE= ∠DFE,所以∠1+∠2=∠DEF+ ∠DFE-(∠AEF十∠AFE)= 110°-60°=50 (第6题) 7.C解析：如图，因为∠1=∠2， ∠3=∠4，所以∠5=180°-（∠1+ 19 ∠2)=180°-2∠2，∠6=180° (∠3+∠4)=180°-2∠3.因为∠a= 70°，所以∠2+∠3=180°-∠a= 110°.因为∠3=180°-（∠5+∠6）， 所以∠3=180°-(180°-2∠2+ 180°-2∠3)=2（∠2+∠3）-180°= 2×110°-180°=220°-180°=40. B< (第7题) 8.15或60 9.(1)一共可以画出10个三角形. (2)以AB为一边可以画出3个三角 形，即△ABE,△ABD,△ABC.以C 为顶点可以画出6个三角形，即 △ABC,△BCD,△BCE,△ADC, △DEC,△ACE. (3)锐角三角形：△AED:直角三角 形：答案不唯一，如△EBD:钝角三角 形：答案不唯一，如△ABC. 10.(1)因为AD⊥BC, 所以∠ADB=90° 因为∠ABC=60°，BE平分∠ABC, 所以∠BAD=30°，∠ABE= 2∠ABC=30. 因为∠AEB=70°， 所以∠CAD=180°-∠ABE- ∠BAD-∠AEB=50. (2)由(1)，易得∠C=40°， 所以当△EFC为直角三角形时，有两 种情况 ①当∠FC=90时，如图①所示. 因为∠BEC+∠AEB=180°， ∠AEB=70°， 所以∠BEC=180°-∠AEB=180° 70°=110 所以∠BEF=∠BEC-∠FEC= 110°-90°=20°. ②当∠EFC=90时，如图②所示. 因为BE平分∠ABC,∠ABC=60°， 所以∠CBE=号∠ABC= 60°=30°. 因为∠EFB=180°-∠EFC=90°， 所以∠BEF=90°-∠CBE=60°. 综上所述，当△EFC为直角三角形 时，∠BEF的度数是20°或60°. E B FD C E B D C ② (第10题) 11.(1)30°；是 (2)因为∠ACB=80°， 所以∠ACO=180°-∠ACB=100°. 又因为∠MON=60°， 所以∠OAC=180°-∠ACO ∠MON=20°. 因为∠AOC=60°=3×20°= 3∠OAC, 所以△AOC是“和谐三角形”. (3)因为∠EFC+∠BDC=180°， ∠ADC+∠BDC=180°， 所以∠EFC=∠ADC. 所以EF∥AD. 所以∠DEF=∠ADE. 因为∠DEF=∠B, 所以∠ADE=∠B. 所以DEBC. 所以∠CDE=∠BCD. 因为DE平分∠ADC, 所以∠ADE=∠CDE. 所以∠B=∠BCD. 因为△BCD是“和谐三角形”， 所以∠BDC=3∠B或∠B= 3∠BDC. 因为∠BDC+∠BCD+∠B=180°， 所以∠B=36或∠B=(9), 第2课时三角形的三边关系 1.C2.C 3.C解析：任取三根，共有4cm, 8 cm,10 cm:4 cm,8 cm,12 cm;4 cm, 10cm,12cm:8cm,10cm,12cm四种 情况.其中，因为4+8=12(cm),所以 4cm,8cm,12cm不能组成三角形. 另外三种情况都符合三角形的三边关 系，因此能组成三角形的有三种情况 所以不同的取法有3种. 4.2等腰三角形5.22 6.(1)由题意，知9一2<x<9+2,即 7x11. (2)因为AB=9,BC=2,△ABC的 周长为偶数， 所以x取奇数， 因为7<x<11, 所以x的值是9. 所以△ABC的周长为9+2十9=20. 7.D 8.B解析：当a=3时，第三段长为 14-4-3=7cm,由3+4=7cm,得 3cm,4cm,7cm不能组成三角形，故 选项A错误；当a=6时，第三段长为 14-4-6=4cm,由4+4=8cm,8> 6,得4cm,4cm,6cm能组成三角形， 故选项B正确：当a=7时，第三段长 为14-4-7=3cm,由3+4=7，得 3cm,4cm,7cm不能组成三角形，故 选项C错误：当a一8时，第三段长为 14-4-8=2cm,由4+2=6cm,6< 8,得2cm,4cm,8cm不能组成三角 形，故选项D错误 9.C解析：当AC=CD=5时，AB AC,BC不满足三角形的三边关系， 不符合题意：当AC=AD=4时，AB, AC,BC满足三角形的三边关系，符 合题意 10.10解析：因为(a一2)2+|b 4=0,所以易得a一2=0，b一4=0， 解得a=2,b=4.由三角形的三边关 系，可得4-2<c<4十2，即2<c<6. 因为c为偶数，所以c=4.所以 △ABC的周长为2+4+4=10. 20 11.6解析：由题意，可知从五条线 段中任选三条的不同结果如下： ①2cm,3cm,6cm:②2cm,3cm, 7cm:③2cm,3cm,8cm:④2cm,6cm, 7cm:⑤2cm,6cm,8cm:⑥2cm, 7 cm,8 cm:7 3 cm,6 cm,7 cm:(8 3 cm, 6 cm,8 cm;9 3 cm,7 cm,8 cm:010 6 cm, 7cm,8cm.根据三角形的三边关系， 知可以构成三角形的有④⑥⑦⑧⑨ ⑩，共6个. 12.因为a,b,c为三角形的三条边长， 所以由三角形的三边关系，得a一b c<0,a-c+b>0,a+b+c>0. 所以|a一b-c+|a-c+b|+|a+ b+c=-(a-b一c)+(a-c十b)十 (a+b+c)=-a+6+c+a-c+6+ a+b+c=a+36+c. 13.(1)当腰长为6cm时，底边长为 16一6一6=4(cm),三边长分别为 6cm,6cm,4cm,能构成三角形 所以另外两边长为6cm,4cm. 当底边长为6cm时，腰长为(16一 6)÷2=5(cm),三边长分别为5cm, 5cm,6cm,能构成三角形. 所以另外两边长为5cm,5cm, 综上所述，另外两边长分别为6cm, 4cm或5cm,5cm. (2)设较短边的长为xcm,则较长边 的长为2xcm. 若以较短边为腰，则x十x十2x=16, 解得x=4. 所以2.x=8. 此时三角形的三条边的长分别为 4 cm,4 cm,8 cm. 因为4+4=8(cm), 所以不能构成三角形 若以较长边为腰，则2x十2x十x= 16,解得x=3.2. 所以2.x=6.4. 此时三角形的三条边的长分别为 3.2cm,6.4cm,6.4cm. 因为3.2+6.4=9.6(cm),9.6>6.4, 所以能构成等腰三角形. 综上所述，三条边的长分别为