第3章 概率初步 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

果有6种！ 所以小明转出的数字小于7的概率是 62 9=3 因为题图②中红色部分的扇形圆心角 度数是360°-120°=240°， 所以小亮转出的颜色是红色的概率是 240°2 360°=3： 因为号子 所以小颖的观，点是对的. 10.(1)因为180<200， 所以小明购物180元，不能获得转动 转盘的机会 所以小明获得奖金的概率为0 (2)小德购物210元，能获得一次转 动转盘的机会， 获得奖金的概率是号号 (3)设需要将x个无色区域涂上 绿色， 则有吉子解得=1 所以需要将1个无色区域涂上绿色， 专题特训七随机事件 概率的几种类型 1.(1)由题意知，共有6+18 24(种)等可能的结果，其中取出红球 的结果有6种， 所以取出红球的凭率为号子 (2)设放入了x个红球，则取出了 x个白球， 所以此时袋中的红球有(6+x)个，白 球有(18一x)个，球的总数为24个 因为从中任意摸出1个球，使摸出红 球的概率是摸出白球的2倍， 所以法-2×182，解得=10 所以放人了10个红球. 2.8 解析：设正方形的边长为2a, 则正方形中大圆的半径为a.所以飞 镖落在黑色区域内的概率为 2·π·a2 4a2-=8 3.(1)由题意可知，P(一等奖)=8， P(二等奖)=，P(三等奖)=名 (2)顾客转动转盘一次，中奖的概率 为是 (3)因为中一等奖的概率是8， 所以估计中一等奖的人数为1800× 225. 81 4.(1)40. (2)54°. C级的人数为40×35%=14，补全条 形统计图如图所示 (3)所抽取的学生为良好或者优秀的 概率是6+129 4020 体育测试各等级学生 人数条形统计图 人数 14 12 10 6 6 4 2 0 A级B级C级D级等级 (第4题) 第三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C [变式]A 典例20.3解析：计算题表中盖口 朝下的频率分别为0.2,0.28,0.3， 0.31,0.32,0.32,0.32,所以盖口朝下 的频率逐渐稳定在0.3左右.所以估 计任意抛掷一次这种瓶盖，盖口朝下 的概率为0.3. [变式]C解析：由题图，得频率稳 定在0.3左右.一副扑克牌去掉大小 王后，从中任抽一张牌是红桃的概率 为号行：故A选项不符合题意：任 意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正 面朝上的概率为。，故B选项不符合 18 题意：从标有数字1,2,3的三张卡片 中任抽一张，抽出的卡片标有数字3 的概率是了≈0.3，故C选项符合题 意：任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出 的点数是偶数的概率为2，故D选项 不符合题意 典例3D解析：因为A是进口，共 有B,C,D,E,F五个出口，其中北面 有B,C两个出口，所以恰好从北面出 口离开的概率为号。 [变式](1)不公平. 21 理由：P(图图获胜)=4=2， 2 P(小杰获胜)=3 12 因为2<3’ 所以小杰获胜的概率大 所以获胜规则对双方不公平， (2)设计的规则不唯一，如只转动转 盘A,若转出偶数，则图图获胜：若转 出奇数，则小杰获胜。 [综合素能提升] 1.B 2.C解析：用1,2,3这三个数字随 机组成一个无重复数字的三位数有 123,132,213,231,312,321,共6种等 可能的结果，其中恰好是“平稳数”的 有123,321，共2种，所以恰好是“平 稳数的餐率为后=日 3.C解析：转动转盘后，出现比5小 的数的概率为青=0,4，故选项A错 误：转动转盘后，出现奇数的概率为 )三0.5，故选项B错误；转动转盘 后，出现能被3整除的数的概率为 0=0.3,故选项C正确：转动转盘 3 后，出现能被5整除的数的概率为 、二=02，故选项D错误。 解析：等车时间不超过10min 的时间段是7：50~8：00,8：20~ 8:30,一共20mim,7:50至8：30一共 有40min,则他等车时间不超过10min 的凝率是碧号 5.(1)根据题意，得题图①中正方形 的面积为2aX2a=4a2,阴影部分的 1 面积为4u2-4X4×元×a2=4u2 πa2,则他投中阴影部分的概率P= 4a2-元a2_4-x 4a2 4 (2)子、解析：因为图形的总面积为 a2+(2a)2=5a2,阴影部分的面积为 5a2-(2a+a)×2a÷2=2a2,所以点 P恰好在阴影部分的概率是Q 5a2 2 · (日)由题意，得甲说对的概率为号 会，乙说对的概率为器骨 因为好>骨， 所以乙说对的概率较大. 6.(1)025 97 解析：设标有8元的 小球有x个，则标有2元的小球有 (2.x-1)个.由题意，得x十2x一1十 4+5=50,解得x=14.所以2x一1= 27.所以小明获得奖品的概率为 0-品获得8元奖品的餐率为 50 147 5025 (2)设把y个标有2元的小球改为标 有8元的小球 由题意，得y+142 50 5 解得y=6. 所以需要把6个标有2元的小球改为 标有8元的小球 第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形及其内角和 1.D2.A3.40°锐 4.不符合规定 如图，延长AB,CD交于点O, 在△AOC中，因为∠BAC=32°， ∠DCA=65°， 所以∠AOC=180°-∠BAC- ∠DCA=180°-32°-65°=83°. 因为83°<85°， 所以不符合规定. 0 D (第4题) 5.B解析：选项A,因为∠A=37°， ∠B=53°，所以∠C=180°-37° 53°=90°.所以△ABC是直角三角形. 选项B,因为∠A=∠B=2∠C, ∠A+∠B+∠C=180°，所以 2∠C+2∠C+∠C=180°，即5∠C= 180°，解得∠C=36°.所以∠A= ∠B=72°.所以△ABC不是直角三角 形.选项C,因为∠A-∠C=∠B,所 以∠A=∠C十∠B.所以∠A=90°. 所以△ABC是直角三角形.选项D, 设∠A=2x°，∠B=3.x°，∠C=5x, 则2x+3x+5.x=180,解得x=18.所 以∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°.所 以△ABC是直角三角形. 6.A解析：如图，连接EF.因为 ∠B+∠C=60°，所以∠A=180° (∠B+∠C)=120°.所以∠AEF+ ∠AFE=180°-∠A=60°.因为 ∠D=70°，所以∠DEF+∠DFE= 180°-∠D=110°.因为∠1+ ∠AEF=∠DEF,∠2+∠AFE= ∠DFE,所以∠1+∠2=∠DEF+ ∠DFE-(∠AEF十∠AFE)= 110°-60°=50 (第6题) 7.C解析：如图，因为∠1=∠2， ∠3=∠4，所以∠5=180°-（∠1+ 19 ∠2)=180°-2∠2，∠6=180° (∠3+∠4)=180°-2∠3.因为∠a= 70°，所以∠2+∠3=180°-∠a= 110°.因为∠3=180°-（∠5+∠6）， 所以∠3=180°-(180°-2∠2+ 180°-2∠3)=2（∠2+∠3）-180°= 2×110°-180°=220°-180°=40. B< (第7题) 8.15或60 9.(1)一共可以画出10个三角形. (2)以AB为一边可以画出3个三角 形，即△ABE,△ABD,△ABC.以C 为顶点可以画出6个三角形，即 △ABC,△BCD,△BCE,△ADC, △DEC,△ACE. (3)锐角三角形：△AED:直角三角 形：答案不唯一，如△EBD:钝角三角 形：答案不唯一，如△ABC. 10.(1)因为AD⊥BC, 所以∠ADB=90° 因为∠ABC=60°，BE平分∠ABC, 所以∠BAD=30°，∠ABE= 2∠ABC=30. 因为∠AEB=70°， 所以∠CAD=180°-∠ABE- ∠BAD-∠AEB=50. (2)由(1)，易得∠C=40°， 所以当△EFC为直角三角形时，有两 种情况 ①当∠FC=90时，如图①所示. 因为∠BEC+∠AEB=180°， ∠AEB=70°， 所以∠BEC=180°-∠AEB=180° 70°=110 所以∠BEF=∠BEC-∠FEC= 110°-90°=20°. ②当∠EFC=90时，如图②所示. 因为BE平分∠ABC,∠ABC=60°，第三章概率初步 第三章整合拔尖 “答案与解析”见P18 知识体系构建 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事 件称为必然事件 事件的分类 必然事件 必然事件发生的概率为1 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样 的事件称为不可能事件 不可能事件 不可能事件发生的概率为0 概率初步 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发 生，这样的事件称为随机事件 随机事件 随机事件发生的概率是0与1之间的一个常数 般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附 近摆动，这个性质称为频率的稳定性 频率的稳定性 定义 刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A) 概率 一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A发 利用频率估计概率生的频率来估计事件A发生的概率 计算 般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其 利用公式计算 中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=咒 9幻高频考点突破 考点一判断事件的类型 C.①是必然事件，②是随机事件 典例1下列事件中，属于必然事件的是( D.①②都是随机事件 A.任意抛掷两枚质地均匀的硬币，结果都正面 考点二利用频率估计概率 朝上 典例2(2025·太原期中)某小组做抛掷一个 B.明天一定会下大雨 瓶盖的重复试验，获得如下数据： C.从装有1个蓝球、3个红球的袋子中任取 抛掷总次数 50 100 500 800150030005000 2个球，则至少有1个是红球 盖口朝下次数 10 28 150248 4809601600 D.投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2 [变式]有如下两个事件：①打开电视机，正在播 由此，可估计任意抛掷一次这种瓶盖，盖口朝下 放广告；②抛掷一次骰子，向上一面的点数大于 的概率为 (结果精确到0.1). 0.下列判断中，正确的是 [变式](2024·青岛李沧期末)某数学兴趣小组 A.①是随机事件，②是必然条件 在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制 B.①②都是必然事件 了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果 55 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 的试验最有可能的是 ( ）[变式]如图，有A,B两个转盘，其中转盘A被 频率 分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份 0.4 0.3 内标上数字.现在图图、小杰两人分别同时转动 0.2 0.1 A,B转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时 0 1503004506007509001050总次数 视为无效，重转)，若指针指向的数字为2或4， A.一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌 则算获胜 是红桃 (1)获胜规则对双方公平吗？请说明理由， B.任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面 (2)请你设计一个对双方公平的规则. 朝上 C.从标有数字1,2,3的三张卡片中任抽一张， 抽出的卡片标有数字3 D.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是 偶数 考点三概率的计算 典例3如图，A是某公园 北 ↑东 的进口，B,C,D,E,F是不 同的出口.若小华从A处 进入公园，随机选择出口离 (典例3图) 开公园，则恰好从北面出口 离开的概率为 ( C. 3 2 D. 综合素能提升 1.(2025·山西)如图所示为创新小组设计的一 2.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的 款小程序的界面示意图，程序规则如下：每点 绝对值不超过1，那么称该三位数为“平稳 击一次按钮，“《心巴”就从一个格子向左或向右 数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重 复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为 随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格 () 子A时，小明连续点击两次按钮，“心”回到 R 格子A的概率是 C.3 号 3.小明利用转盘（如图①）做“用频率估计概率” 的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘 (第1题) 制了如图②所示的统计图，则最有可能符合 A.5 c D 5 56 第三章概率初步 这一结果的试验是 )6.(2024·沈阳沈河期末)某儿童用品 频率 商店在“六一”儿童节当天设置了一 0.4 0.3 个购物摸球游戏。在一个不透明的答案讲解 0.2 0.1 箱子里装了50个小球，这些小球分别标有 0 100200300400500600 转动次数 50元、8元、2元、0元的金额，其中标有50元 ① ⊙ 的小球有4个，标有0元的小球有5个，标有 (第3题) 2元的小球比标有8元的小球的2倍少 A.转动转盘后，出现比5小的数 1个，这些小球除标有的金额不同外其余都 B.转动转盘后，出现奇数 相同.规定：凡购买指定商品，可以摸球一次， C.转动转盘后，出现能被3整除的数 若摸到标有50元、8元、2元的小球，则可以 D.转动转盘后，出现能被5整除的数 得到等价值的奖品一个.已知小明购买了指 4.某公司的班车在7：30,8：00,8：30 定商品，请解答下列问题 发车，小明在7：50到8：30之间到 (1)小明获得奖品的概率是 获得 达发车站乘坐班车，且到达发车站答案讲解 的时刻是随机的，则他等车时间不超过 8元奖品的概率是 (2)为吸引顾客，该儿童用品商店现将8元 10min的概率是 5.(1)如图①，一边长为2a的正方形木质镖 奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数 靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为 不变的情况下，需要把几个标有2元的小球 圆心，半径为α的扇形.某人向此镖靶投镖， 改为标有8元的小球？ 假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率. (2)如图②所示为由边长分别为2a和a的 两个正方形组成的图形.若在图形内随机取 一点P,则点P恰好在阴影部分的概率是 (3)若一颗小玻璃球在如图③所示的地砖图 案内自由滚动，甲说：“小玻璃球会停在灰色 区域上”乙说：“小玻璃球会停在白色区域 上.”谁说对的概率较大？ -2aa* ② (第5题) 57