第1章 3 第2课时 平方差公式的应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

4.(1)原式=3a2+13ab-1062. (2)原式=-x4+x2+2. (3)原式=3a3-10a2-2a+4. 5.A解析：由题意，得2(a+b)= 18,ab=17,即a+b=9.所以(a+ 1)(b+1)=ab+a+b+1=17+9+ 1=27. 6.A解析：因为yz(x之十2) 2y(3xx2++z)+5zyz2=zyz?+ 2yz-6.xy22-2y2-2xy+ 5.xyz2=-2.xy,所以代数式的值只与 x,y的值有关， 7.A解析：(a+5)(b+6)一(a+ 10)(b+1)=ab+6a+5b+30-ab a-10b-10=5a-5b+20.因为a> b>0,所以5a-5b+20>0.所以(a+ 5)(b+6)>(a+5+5)(b+6-5).所 以李伯的租地面积会变小 8.B解析：(x2十ax-2)(x-1)= x3-x2+a.x2-a.x-2.x+2=x3+ (a-1)x2-(a+2)x十2.由题意， 得-(a+2)=0,解得a=一2. 9.6.x2一16.x+10解析：由题意，可 得(2x+a)(3.x-5)=6.x2-10x+ 3a.x-5a=6.x2-(10-3a)x-5a= 6.x2一4.x一10.所以一5a=一10，解得 a=2.所以(2x-2)(3x-5)=6x2 16.x+10 10.10解析：m(n一4)一n(m 6)=mm-4m-2+6n=-4m+ 6n=-2(2m一3n).因为2m-3n= 一5，所以原式=-2×（一5）=10. 11.2x2+7x一4解析：因为a⑧b (a.x+2b)(bx-a),所以1☒2=(x十 2×2)(2.x-1)=(x+4)(2x-1)= 2.x2-x+8.x-4=2x2+7.x-4. 12.7 13.(1)原式=x2+9x+8. 当x=一7时，原式=(-7)2+9× (-7)+8=-6 (2)原式=a3+2a2b+4ab2-2a2b一 4ab2-863-a3+2a2b+15ab2 2a2b+15ab2-8b3. 当a=1,b=-2时，原式=2×12× (-2)+15×1×(-2)2-8× (-2)3=120 14.(1)S=(3a+2b)(2a+3b) a(3a+2b)=(3a+2b)(2a+3b a)=(3a+2b)(a+3b)=3a2+ 11ab+6b2. 所以绿化的总面积为(3a2+11ab+ 6b2)m (2)当a=2,b=4时，S=3×22+ 11×2×4+6×42=196. 所以此时绿化的总面积为196m2. 15.(1)x2+3.x+2:x2-x-2:x2+ x-2:x2-3x+2. (2)a+b;ab. (3)x2+100x+99:x2+48x-100. 16.(1)(x+2)(3x+1)(5.x-3)所得 多项式的一次项系数为1×1× (-3)+2×3×(-3)+2×1×5= -3-18+10=-11. (2)(x2+x+1)(x2-3.x+a)(2.x 1)所得多项式的一次项系数为1× a×(-1)+1×(-3)×(-1)+1× a×2=-a+3+2a=a+3. 因为所得多项式不含一次项， 所以a十3=0，解得a=-3. 3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 1.A2.答案不唯一，如-13.15 4.(1)原式=9b2-25a2. (2)原式=是，2+121w. (3)原式=x4一81. 5.(1)由题意，得▲=3x2+4一 (.x-2)(x+2)=3.x2+4-(x2-4)= 3.x2+4-x2+4=2x2+8. (2)■表示的运算符号是“X”,▲的 值为4. 6.C 7.C解析：(2+1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)× (232+1)+1=(2-1)×(2+1)× (22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+ 1)×(232+1)+1=(22-1)×(22+ 4 1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)× (232+1)+1=(24-1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)×(232+1)+1= (28-1)×(28+1)×(26+1)× (232+1)+1=(216一1)×(216+1)× (232+1)+1=(232-1)×(22+1)+ 1=24-1+1=24.由2=2,22=4， 23=8,24=16,2=32,…,可知末位 数字变化每4个为一循环.因为64÷ 4=16,所以24的末位数字是6. 8.1解析：因为=一1，所以(i 1)(i+1)(2+1)(4+1)(8+1)-2 (2-1)(2+1)(i+1)(8+1)-= (i-1)(i+1)(8+1)-=(8 1)(8+1)-=i16-1-2=(2)8 1-2=(-1)8-1-(-1)=1-1+ 1=1. 9.(1)x2-1;x3-1:x4-1:x10-1. (2)1+2+22+2+…+28+2°+ 20=(2-1)×(210+29+28+2+ 26+25+24+23+22+2+1)= 21-1. (3)1+3+32+33+…+397+38+ 39=号×(3-1D×(3”+3十 3”+…+3+32+3+1)=3m-1 2 第2课时平方差公式的应用 1.B2.(a+b)(a-b)=a2-b 3.16解析：因为m+n=8,m一= 2,所以S1一S2=(S1十S重部分)一 (S2十S重部分)=m2-n2=(m十n)· (m-n)=8X2=16 4.(1)原式=(100一0.2)×(100+ 0.2)=1002-0.22=10000-0.04= 9999.96. (2)原式=20252一(2025-1)× (2025+1)=20252-20252+1=1. 5.不正确 正确的解题过程如下：原式=9a2 b2-4a+a=5a2-b2+a. 6.C解析：由题图①，可知S1= a2-6.由题图②，可知5，=（号十 b+号)a-b)-b3=(a+b)(a b)-b2=a2-262.因为a>0,b>0, 所以a2-b2>a2-262.所以S1>S2. 7.B解析：因为(m3+2n）· (仔m3-2m)+(2a-4)4+2) 1 6m-4n2+4n2-16=6m3-16, 所以其值与的值无关. 8.6解析：因为(a2+b2+1)· (a2+b2-1)=35,所以[(a2+b2)+ 1][(a2+b2)-1]=35,即(a2+ b2)2-1=35.所以(a2+b2)2=36.因 为a2+b2≥0，所以a2十b2=6. 9.小明解析：设三种木棒的长度分 别为x一1，x和x十1，则小明所摆的 正方形的面积为x2,小刚所摆的长方 形的面积为(x十1)(x一1).因为 x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2 1)=x2一x2+1=1>0,所以x2 (x十1)(x一1).所以小明摆的图形的 面积较大， 10.(1)原式=x一4. 当x=6时，原式=6-4=2. (2)原式=4m2-49n2-(m2- 25n2)=3m2-24n2. 当m=-3,n=2时，原式=3× (-3)9-24×()月 =27-6=21. 11.(1)B. (2)①4. ②原式=(242-232)+(222-21)+ (202-192)+…+(22-1)=(24+ 23)X(24-23)+(22+21)×(22 21)+(20+19)×(20-19)+·+ (2+1)×(2-1)=24+23+22+21+ 20+19+.+2+1= 24×(24+D=300. 2 12.因为大正方形的边长为a,小正 方形的边长为b, 所以大正方形的面积为a,小正方形 的面积为b2. 由题意，得a2一b2=10. 由题图，可知涂色部分的面积= 2DE·c+DE·CG=2× 1 (a-b)Xa+2X(a-b)Xb- 2a-b)(a+b)=2(a2-b)= 合×10=5 1B.D原式=2×(8-1)×(3+ 1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)× 35+1)-2×g-1)x(3+1D× (3+1)×(3+1)×(36+1)=2× (34一1)×(3+1)×(38+1)×(316+ 1D=2×(3-1)X(3+1DX3+ 1D=7×(3-1DX(3+1)=号× (32-1)=32-1 2 (2)原式=是×6-1D×(5+1)× (52+1)X(54+1)X.X(52048+ 1)-5=上×6s-1)- = 4 4 54096 1 4 4 第3课时完全平方公式的认识 1.C2.(a-b)2=a2-2ab+b2 3.25解析：因为m=5一21，所以 m十21=5.所以(m+2)2=m2+ 4mm+4n2=52=25. 4.(1)原式=16a2+8a+1. (2)原式=4u-2ab+b. (3)原式=(0.2.x2+0.1)2= 0.04x4+0.04x2+0.01. (4)原式=4a2-12ab+9b2-9a2+ 12ab-4b2=-5a2+5b2. 5.B解析：因为(2x+m)2=4x2+ 4m.x+m2=4x2+2x+9,所以4m= n,m2=9.由m=9,解得m=士3.当 m=3时，n=12;:当m=一3时，n= 一12.综上所述，n的值为士12. 5 6.C解析：因为该正方形的周长为 8a十4b,所以边长为2a十b.所以面积 为(2a+b)2=4a2+4ab+b2. 7.C解析：因为u+b=2,ab=3 4 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=22 4×3=1,所以a-b=±1. 4 一方法归纳 完全平方公式的变形技巧 将完全平方公式(a十b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2 2ab+b2进行变形，得到a2+b2 (a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab= 2[(a+b)2+(a-b)2]:b 2[a+6-a-]=- 1 [a-6)2-a2-b]=子[a+ b)2-(a-b)2];(a+b)2 (a-b)2+4ab=2(a2+b2)- (a-b)2:(a-b)2=(a+b)2 4ab=2(a2+b2)一(a+b)2.根据 这些变形，分别将a十b,a一b, a2十b2,ab看成一个整体，则知道 其中任意两个的值即可求得另外 两个的值 8.士12解析：因为4x2+m.xy+ 9y2是完全平方式，所以mxy=士2× (士2x)×(士3y)=±12.xy.所以m= ±12. 923解：因为(a+) =a2+ 1 1 2+专=5，所以a+京=25 2=23, 10.由题意，得(m+n)2十(m一n)2= m2+2mm+n2+m2-2n+n2= 2m2+2n2=2(m2+n2). 所以“发现规律”中的结论正确。 第4课时完全平方公式的应用 1.B2.8xy3.m4-2m2n2+n 4.(1)原式=(200+1)2=40000+ 400+1=40401.拍照批改 第2课时平) 自基础进阶 1求99号×10的值时，运用简便的计算方 法，可先变形为 A(99+3)100+3》 R(100-3(1o0+3》 c(oo号-号) n(9+10o)层+1 2.如图，根据从图①到图②的变化过程，可以发 现的代数结论是 (第2题) 3.如图所示为两个边长分别为m, n的正方形，涂色部分的面积分m 别为S1,S2.若m十n=8,m n=2,则S1一S2= (第3题) 4.用平方差公式计算： (1)99.8×100.2. (2)2025-2024×2026. 5.计算：(3a-b)(3a+b)-a(4a-1).小方的 解题过程如下：(3a-b)(3a+b)-a(4a 第一章 整式的乘除 差公式的应用 》“答案与解析”见P4 1)=3a2-b2-4a2-a=-a2-b2-a.请判 断其是否正确.如果有错误，请写出正确的解 题过程 幻素能攀升 6.某校计划在教学楼之间的广场上搭建舞台， 已知广场中心有一座边长为b的正方形花 坛.有以下两个方案：①如图①，绕花坛外围 搭建正方形的“回”字形舞台（涂色部分），面 积为S1;②如图②，在花坛的三面搭建“凹” 字形舞台（涂色部分），面积为S2,S1与 S,的大小关系为 () -0 ① ② (第6题) A.S=S2 B.S<S2 C.S>S2 D.无法确定 7.(经m2+2n)m3-2m)+(2m-40(4+2m) 的值 ( A.与m的值无关B.与n的值无关 C.与m,n的值无关D.与m,n的值有关 8.整体思想若(a2+b2+1)(a2十b2一1)=35， 则a2+b2的值为 9.有长度分别为三个连续整数的木棒若干根， 小明取4根中等长度的木棒摆出了一个正方 形，小刚用其余两种长度的木棒各2根摆出 了一个长方形，则 摆的图形的面积 较大（填“小明”或“小刚”）. 13 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 10.先化简，再求值： (1)(2025·湖南)(.x+2)(x-2)+x(1一 x),其中x=6 (2)(-2m-7n)(-2m+7n)-(-m+ 5n)(-5n-m),其中m=-3,n=2 11.数形结合思想如图①，边长为a的 大正方形中有一个边长为b的小 正方形，把图①中的涂色部分拼成答案讲解 一个平行四边形（如图②）. (1)上述操作能验证的公式为 A.a(a+b)=a2+ab B.(a-b)(a+b)=a2-b2 (2)请用上面的公式完成下列各题： ①若4a2-b2=24,2a+b=6,则2a-b= ②计算：24-232+22-212+202 192+…+22-1. ① ② (第11题) 14 12.如图，大正方形的边长为a,小正方形的边 长为b(a≠b).大正方形与小正方形的面积 之差是10，求涂色部分的面积 (第12题) 思维拓展 13.新考法·过程性学习小明计算(2十 1)×(2+1)×(24+1)×(28+ 1)×(216+1)的过程如下：原式=答案讲解 (2-1)×(2+1)×(22+1)×(2+1)× (28+1)×(216+1)=(22-1)×(22+1)× (24+1)X(28+1)×(216+1)=(24 1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)=(28 1)×(28+1)×(216+1)=(216-1)×(216十 1)=22一1.请按照小明的方法，计算下列 各题： (1)(3+1)×(3+1)×(34+1)×(38+ 1)×(316+1). (2)(5+1)×(5+1)×(54+1)×…× (528a48+1）-50 4·