第2章 2 第2课时 利用内错角、同旁内角判定 两直线平行-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

理由：因为OD平分∠BOE, 所以∠BOD=∠DOE. 因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=∠EOF. 因为∠BOD+∠DOE+∠AOF+ ∠EOF=180°， 所以∠DOE+∠EOF=90°，即 ∠DOF=90° 所以OF⊥CD. (3)因为OD平分∠BOE, ∠BOE=59°， 所以∠DOE=29.5. 因为∠DOE+∠EOF=90°， 所以∠E0F=90°-29.5°=60.5 11.65或115°解析：如图①，当OD 在直线AB上方时，因为OD⊥OC,所 以∠D0C=90°.因为∠COB=25,所 以∠AOD=180°-90°-25°=65°.如 图②，当OD在直线AB下方时，因为 OD⊥OC,所以∠DC=90°.因为 ∠COB=25°，所以∠BOD=90° 25°=65°.所以∠AOD=180°-65° 115.综上所述，∠AOD的度数为65 或115. D 0 D ② (第11题) 12.(1)因为CD⊥OF, 所以∠DOF=90° 因为∠BOD=∠AOC=72°，OE平 分∠BOD, 所以∠DOE=2∠BOD=36° 所以∠EOF=∠DOF一∠DOE= 90°-36°=54 (2)设∠BOF=x°，则∠DOE=(x十 24) 因为OE平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠DOE=2(x+24). 因为∠BOD+∠BOF=∠DOF= 90°， 所以2(x十24)°+x°=90°，解得 x=14. 所以∠BOF=14°. 所以∠AOF=180°-∠BOF=166. 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定 两直线平行及平行公理 L.C2.DE CF AB同位 DECF3.过直线外一点有且只 有一条直线与这条直线平行 4.(1)∠1与∠2，∠3与∠4 (2)如果∠1=∠2，那么ABCD. 如果∠3=∠4，那么CDEF】 (3)AB//EF 理由：平行于同一条直线的两条直线 平行. 5.B 6.C解析：因为同一平面内，过直线 外一点有且只有一条直线与这条直线 平行，所以过直线1外一点O的四条 直线中，最多只有一条直线与直线 平行.所以与直线（相交的直线至少 有3条. 7.C 8.50°解析：因为EF⊥MN,所以 ∠MFE=90.当∠2=50°时， ∠MFB=∠MFE+∠EFB=90°+ 50°=140°.所以∠AFN=140°.所以 ∠AFN=∠1.所以AB/CD. 9.(1)如图所示. (2)如图所示. (3)DE//MN. 理由：因为DEAB,MN∥AB, 所以DEMN. B /E C (第9题) 10.EC∥DF. 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 10 所以∠DBF=专∠ABC,∠CB= 1 ∠ACB, 因为∠ABC=∠ACB, 所以∠DBF=∠ECB 因为∠DBF=∠F, 所以∠ECB=∠F. 所以EC∥DF. 1L.C解析：直线AB,CD被直线 EF所截，形成4对同位角：射线GM 和直线CD被直线EF所截，形成2对 同位角；射线GM和射线HN被直线 EF所截，形成2对同位角；射线HN 和直线AB被直线EF所截，形成2对 同位角.所以题图中同位角共有4十 2+2+2=10(对). 12.因为∠CNF+∠BMN=180°， ∠CNF+∠DNF=180, 所以∠BMN=∠DNF. 所以ABCD 因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2， 所以∠BMN一∠1=∠DNF一∠2， 即∠PMN=∠QNF 所以MP∥NQ. 第2课时利用内错角、同旁 内角判定两直线平行 1.D 方法归纳 “三线八角”的识别技巧 判断同位角、内错角、同旁内 角的方法是找出每对角的四边所 在的三线，两边所在的公共线就是 截线，其他两边所在的直线就是被 截的两直线.再根据同位角、内错 角、同旁内角的概念分别判断各对 角的类型.若是较难判断，则可以 将图形分割，单独画出每对角的四 边所在的三线，再进行判断.同位 角的边构成“F”形，内错角的边构成 “Z”形，同旁内角的边构成“U”形. 2.B3.答案不唯一，如∠A十 ∠B=1801 4.AB//CD. 理由：因为∠BAF+∠BAC=180°， ∠BAF=46, 所以∠BAC=134°. 因为CE⊥CD, 所以∠DCE=90° 因为∠DCE+∠ACD+∠ACE= 360°，∠ACE=136, 所以∠ACD=134. 所以∠BAC=∠ACD. 所以ABCD 5.D6.C 7.C解析：选项A,因为OE平分 ∠BOD,∠BOE=55,所以∠BOD= 2∠BOE=110°.因为∠D=110°，所 以∠BOD=∠D.所以ABCD.选项 B,因为OF⊥OE,所以∠FOE=90°. 因为∠DOF=35°，所以∠DOE=55. 因为OE平分∠BOD,所以∠BOD= 2∠DOE=110°.因为∠D=110°，所 以∠BOD=∠D.所以ABCD.选项 C,因为∠BOE+∠AOF=90°，所以 ∠EOF=90°，不能判断AB∥CD.选 项C符合题意.选项D,因为OF⊥ OE,所以∠FOE=90°.因为 ∠AOF=35°，所以∠BOE=55°.因为 OE平分∠BOD,所以∠BOD= 2∠BOE=110°.因为∠D=110°，所 以∠BOD=∠D.所以ABCD. 8.140°或40°解析：若CB在AC的 右侧，则当∠ACB′=140°时，因为 ∠A=40°，所以∠ACB+∠A= 180°.所以CB'∥AB.若CB在AC的 左侧，则当∠ACB'=40°时， ∠ACB'=∠A.所以CB'∥AB. 9.③④⑤ 10.(1)因为EF LAB, 所以∠EFA=∠EFB=90°. 因为∠01=∠02， 所以∠a=∠3. (2)由(1)知∠1=∠2，∠3=∠4. 因为∠2=∠3，∠5=180°-∠1 ∠2，∠6=180°-∠3-∠4， 所以易得∠5=∠6. 所以mhm. 11.如图，在∠BCD的内部作 ∠BCM=25°，在∠CDE的内部作 ∠EDN=10°. 因为∠B=25°，∠E=10°， 所以∠B=∠BCM,∠E=∠EDN. 所以ABCM,EF∥DN. 因为∠BCD=45°， 所以∠MCD=∠BCD-∠BCM= 45°-25=20°. 因为∠CDE=30°， 所以∠CDN=∠CDE-∠EDN= 30°-10°=20°. 所以∠MCD=∠CDN 所以CM∥DN. 所以ABEF. A B C---M N----->D E (第11题) 一方法归纳 平行线的判定方法 要判断两直线是否平行，首先 要找到截两直线的截线（有时需要 构造截线)，若有多条，则逐条观 察，再寻找同位角或内错角或同旁 内角，然后根据平行线的判定进行 判断.平行线判定的实质是根据同 位角相等或内错角相等或同旁内 角互补这种角之间的数量关系，判 断两直线平行这种位置关系，是一 个由“数”到“形”的过程。 12.(1)①140° ②根据题意，得∠ACD=∠ECB=90, 因为∠ACB=128°， 所以∠ACE=∠ACB一∠ECB= 128°-90°=38° 所以∠DCE=∠ACD-∠ACE= 90°-38°=52 (2)存在 当∠ACE=30时，AD∥BC: 当∠ACE=45时，ACBE: 当∠ACE=120时，AD/CE; 当∠ACE=135时，CD∥BE; 11 当∠ACE=165时，AD∥BE. 专题特训四与平行线 有关的尺规作图 1.D2.内错角相等，两直线平行 3.如图，CD即为所求。 A D B (第3题) 4.(1)如图，CE即为所求. (2)当点E,A在直线BC的同侧时， 由作图，可得∠ECD=∠B=45 当点E,A在直线BC的异侧时， ∠ECD=180°-45°=135°. 综上所述，∠ECD的度数为45°或 135°. (第4题) 5如图，点D即为所求。 D C B (第5题)》 专题特训五两直线平行的 判定方法 1.AE//CD. 理由：因为AB⊥CD, 所以∠ABD=90° 因为∠ABG=30°， 所以∠DBG=90°-30°=60°. 所以∠DBG=∠FGE, 所以AECD. 2.因为AB⊥BC,DC⊥BC, 所以∠ABC=∠BCD=90°. 因为BE,CF分别平分∠ABC和 ∠BCD, 所以∠EBC=号∠ABC=45,拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第2课时利用内错角、同旁 自基础进阶 1.*如图，下列说法中，不正确的是 A.∠1与∠4是同位角 B.∠3与∠5是同旁内角 C.∠3与∠4是内错角 D.∠3与∠6是同位角 436 3 (第1题) (第2题) 2.如图，下列条件中，不能判断直线a仍的是 () A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180° 3.新考法·开放题如图，E是BC的延长线上 一点，请添加一个恰当的条件，如 使AD∥BC. (第3题) 4.如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥ CD,则AB与CD平行吗？请说明理由. D (第4题) 32 拍照批改 内角判定两直线平行。“答案与解析”见10 素能攀升 5.如图，有下列条件：①∠2=∠3；②∠1= ∠4；③∠1+∠2=∠6+∠7；④∠3+∠4+ ∠5=180°.其中，能判定AB/CD的是() A.①②B.③④C.①③D.②④ 、6 /E F N B D (第5题) (第7题) 6.在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂 线m,再过点P作m的垂线n,则直线l与n 的位置关系是 () A.相交 B.相交且垂直 C.平行 D.无法确定 7.如图，O是直线AB上一点，OE平分 ∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°.若添加一个 条件，仍不能判定ABCD,则添加的条件可 能是 () A.∠BOE=55 B.∠DOF=35° C.∠BOE+∠AOF=90° D.∠AOF=35 8.分类讨论思想如图，舞台上的灯光由 灯带上点A和点C处的两盏灯控 制.光线AB与灯带AC的夹角答案讲解 ∠A=40°.当光线CB'与灯带AC的夹角 ∠ACB'= 时，CB'∥AB B B (第8题) (第9题) 9.将三角尺ABC(∠BAC=90°，∠ABC=30) 按如图所示的方式放置，使A,B两点分别落 在直线m,n上.有下列条件：①∠2=2∠1； ②∠1+∠2=90°；③∠1=25°，∠2=55°： ④∠ABC=∠2-∠1；⑤∠ACB=∠1+ ∠3.其中，能判定直线m∥n的是 (填序号) 10.如图①，它展示了光的反射定律，EF是平面 镜的镜面AB的垂线，一束光线m射到平 面镜AB上，经AB反射后的光线为n,则入 射光线m,反射光线n与垂线EF所夹的锐 角∠01=∠02 (1)试说明：∠a=∠3. (2)如图②所示为潜望镜的工作原理示意 图，AB,CD是平行放置的两面平面镜， ∠2=∠3，请解释进入潜望镜的光线m为 什么和离开潜望镜的光线是平行的. (① (第10题) 第二章相交线与平行线 1.*如图，∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE= 30°，∠E=10°.试说明：AB∥EF. A C< (第11题) 思维拓展 2.将一副三角尺按如图所示的方式 叠放在一起，且∠A=60°，∠D= 30°，∠E=∠B=45°. 答案讲解 (1)①若∠DCE=40°，则∠ACB= ②若∠ACB=128°，求∠DCE的度数， (2)将三角尺ECB绕点C旋转.当 ∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方 时，这副三角尺是否存在一组边互相平行？ 若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度 数；若不存在，请说明理由、 (第12题) 33