第2章 1 第1课时 对顶角、补角和余角-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

第二章 相交线与平行线 拍照批改 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角和余角 P“答案与解析”见P8 白基础进阶 幻素能攀升 1.下列说法中，正确的是 ( 6.如图，将一副三角尺按不同的方式摆放，下列 A.同一平面内，没有公共点的两条线段是平 摆放方式中，∠α与∠3一定相等的是( 行线 B.同一平面内，两条平行线只有一个公共点 C.同一平面内，没有公共点的两条直线是平 (第6题) 行线 A.①②B.①③C.②③D.②④ D.两条不相交的直线叫作平行线 7.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 2.如图，∠1和∠2是对顶角的图形有 边AB上的一个动点（不与点A,B重合），过 点D,C作射线DE,则∠1与∠2满足的数 量关系为 () 2 (第2题) A.∠2=2∠1 B.∠2+∠1=1809 A.1个 B.2个 C.∠2+2∠1=180°D.∠2-∠1=90° C.3个 D.4个 3.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向 发生了改变，这就是折射现象.如图，若∠1= HD 47°，∠2=30°，则光的传播方向改变的度数为 2h1 (第7题) (第8题) A.13° B.15 8.如图，∠EOC是平角，OD平分∠BOC,在平 C.17° D.19° 面上画射线OA,使∠AOC和∠COD互余. 若∠BOC=56°，则∠AOB的度数为() A.118 B.34° 0 C.90°或34° D.118°或6 (第3题) (第5题) 9.如图，直线AB,CD,EF相交于点O,∠1 4.若∠1=∠2，且∠1与∠2互余，则∠1的补 94.3°，∠2=3124'，则∠BOE的余角的度数 角的度数为 为 5.如图，O是直线AB上的一点，∠AOE= ∠FOD=90°. (1)图中与∠DOE互余的角有 D (2)图中与∠DOE互补的角是 (第9题) 26 第二章相交线与平行线 10.若∠B是∠a的补角，∠y是∠a的余角，且的思维拓展 ∠A与∠y的和是平角的倍，则∠9是∠a 13.*(1)平面内3条直线相交于一点，共有多 少对对顶角？4条直线呢？10条直线呢？ 的 倍. n条直线呢？ 11.如图，直线CD与直线EF相交于点O,OB, (2)若(1)中的直线两两相交，且不一定交 OA为射线，∠BOE=∠AOD=90°. 于一点，(1)中的结论仍然成立吗？ ∠EOD>∠EOC. (1)找出图中相等的锐角. (2)找出∠DOF的补角. (第11题) 14.三角尺中的数学问题. (1)如图①，将一副三角尺的直角 顶点C叠放在一起，∠ACB=答案讲解 ∠DCH=90°. ①若∠BCH=36°，则∠ACD= 若∠ACD=130°，则∠BCH= 12.方程思想如图，直线AB,CD相交 ②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关 于点O,OE平分∠BOD,且 系，并说明理由、 ∠AOC:∠AOD=3:7. 答案讲解 (2)如图②，有两把同样的三角尺，将它们 (1)直接写出与∠AOC互补的角. 60°角的顶点A叠放在一起，∠ACB= (2)求∠DOE的度数， ∠AEF=90°，探究∠CAF与∠EAB之间 (3)若∠EOF=90°，求∠COF的度数 的数量关系 0 (第12题) (第14题) 273+2x(-2=-1-4=-5 (3)原式=4a2-4a+1+6a2+6a 9a2+4=a2+2a+5. 因为a2+2a-2025=0, 所以a2+2a=2025. 所以原式=2025+5=2030. (4)原式=[4x2-4xy+y2-(4x2- 9y2)-xy]÷5y=(10y2-5.xy)÷ 5y=2y-x. 因为x=一2=一 2’y=π”+ 1=2, 所以原式=2×2-(（）号 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1由题意，得4”=2咖=5,8”= 23m=3,3m=4. (1)22m+3m=22m·2=5X3=15. (2)2m-6m=2m÷26m=(22m)2÷ (2*)2=5÷32=25÷9=25 91 (3)122m=(3×4)2m=3m×42m= (3m)2X(4m)2=42×52=16×25= 400. [变式](1)ax=a2÷a'=12÷ (-3)=-4. (2)因为2x+5y-3=0, 所以2.x+5y=3. 所以4·32=22r·2y=22r+5y= 23=8. 典例2原式=(4x+2y)(4x 2y)-(x2-4xy+4y2)-4.xy+1= 16.x2-4y2-x2+4xy-4y2-4xy+ 1=15.x2-8y2+1. 因为x-1|+(y+2)2=0, 所以x-1=0,y十2=0，解得x=1, y=-2. 所以原式=15×12-8×(-2)2+1= 15-32+1=-16. [变式](1)S1=(m+2)(m+4)= m2+6m+8,S2=m(m+6)= m2+6m. 因为S1-S2=(m2+6m+8)一 (m2+6m)=8>0, 所以S1>S2. (2)由题意，得正方形的边长是 }[2(m+4+m+2)+2(m+m十 6)]=2m+6. 所以S3=(2m+6)2=4m2+ 24m+36. 因为S3-2(S1+S2)=4m2+24m+ 36-2(m2+6m+8+m2+6m)= 4m2+24m+36-2m2-12m-16 2m2-12m=20, 所以代数式S?-2(S1+S2)的值是 一个常数 典例3(1)4ab=(a+b)2-(a-b)2. (2)由(1)，得4m=(m十n)2-(0m-n)2. 9 因为m十=5，m= 4 所以4X是-=子-(m- 所以(m-n)2=16. 所以m一1=士4. [变式](1)8. (2)因为(4一x)十x=4, 所以[(4-x)+x]2=42,即(4 x)2+2x(4-x)+x2=16. 又因为(4-x)2+x2=8, 所以8+2x(4-x)=16. 所以x(4一x)=4. [综合素能提升] 1.C 2.A解析：因为(2x十b)2=4x2+ 4bx+b2=4x2+20x+a,所以4b 20,a=b2.所以a=25,b=5.所以 a+b=30. 3.1×10-4 4.3解析：原式=x2-2x3-m.x+ 2m.x2+3x-6x2=-2x3+（2m 5)x2+(3-m)x.因为(x2-m.x+ 3.x)(1一2x)的展开式中不含x的一 次项，所以3一m=0,解得m=3. 5.2a3+9a2十5解析：由题意，得这 个多项式为(a2+4a-3)(2a+1)+ 2a+8=2a3+a2+8a2+4a-6a- 3+2a+8=2a3+9a2+5. 6.5解析：在题图②中，涂色部分的 8 面积=(2b一a)2:在题图③中，涂色部 分的面积=a(a一b)一b(a一b)= (a-b)2.根据题意，得(a-b)2- (2b-a)2=2ab-15.整理，得b2=5. 7.(1)原式=-8xy3·9x2y4+ 60x8y2=-72.x8y2+60x8y7= -12x8y2. (2)原式=[x+(2y一3)][x一(2y一 3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2 12y+9)=x2-4y2+12y-9. (3)原式=[2(x2+2x+1)-(x- 2x2+2-4]÷(是x）=(4r2+ )÷()=-4 8.(1)原式=4x2-1-(4x2-12.x十 9)=4.x2-1-4.x2+12x-9= 12x-10. 当x=一1时，原式=12×（一1） 10=-22. (2)原式=[a2-4ab+462-(4b2- a2)-4a2+2ab]÷2a=(-2a2 2ab)÷2a=-a-b. 因为a+b=-2, 所以原式=-(a十b)=2. 9.(1）a2-b2:a3-b3:a4-b4. (2)a”-b”. (3)因为[2-(-1)]×(2-28十 22-.+23-22+2-1)=210-10, 所以2°-28+2-…+23-22+2 1=(210-110)÷3=341. 所以29-28+22-…+23-22+2= 341+1=342. 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角和余角 1.C2.C3.A4.135 5.(1)∠EOF,∠DOB(2)∠BOF 6.C 7.D解析：由题图，可知∠2与 ∠ACD互补，∠1与∠ACD互余.所 以∠2=180°-∠ACD,∠1=90°- ∠ACD.所以∠2-∠1=90°. 8.D解析：因为OD平分∠BOC, ∠BOC=56°，所以∠COD 名∠0C=古×56=28，因为 ∠AOC和∠COD互余，所以 ∠AOC=90°-28°=62°.①当OA, OB在OC的异侧时，如图①， ∠AOB=∠AOC+∠BOC=62°+ 56°=118°.②当OA,OB在OC的同 侧时，如图②，∠AOB=∠AOC一 ∠BOC=62°-56=6°.综上所述， ∠AOB的度数为118°或6°. 0 E ① ② (第8题) 9.35.7°解析：因为∠COE与∠2 是对顶角，∠2=31°24'，所以 ∠COE=∠2=31°24'=31.4°.因为 ∠AOB是平角，所以∠1+∠COE+ ∠BOE=180°.因为∠1=94.3°，所以 ∠BOE=180°-∠1-∠COE= 54.3°.所以∠BOE的余角的度数为 90°-54.3°=35.7° 10.11解析：由题意，得∠3+∠a 180°，∠y+∠a=90°，∠3+∠y= 专×180=240所以∠49=180- ∠a,∠y=90°-∠a.所以180° ∠a+90°-∠a=240°.所以∠a= 15.所以∠3=165.因为165÷15= 11,所以∠3是∠a的11倍. 11.(1)∠EOC=∠DOF,∠BOD= ∠FOA. (2)∠DOF的补角有∠DOE,∠FOC, ∠AOB. 12.(1)∠AOD,∠BOC. (2)因为∠AOC:∠AOD=3:7, 所以设∠AOC=3.x,∠AOD=7.x. 由题意，得∠AOC+∠AOD=180°， 即3.x+7x=180°，解得x=18. 所以∠AOC=3.x=54° 因为∠BOD与∠AOC互为对顶角， 所以∠BOD=∠AOC=54. 因为OE平分∠BOD. 所以∠0E=号∠0D-=2r (3)由(2)，知∠DOE=27°， 因为∠EOF=90°， 所以∠DOF=∠EOF一∠DOE= 90°-27°=63 所以∠COF=180°-∠DOF=180° 63°=117 13.(1)平面内3条直线相交于一点， 共有3×2=6（对）对顶角：平面内 4条直线相交于一点，共有4×3= 12(对)对顶角：平面内10条直线相交 于一点，共有10×9=90（对）对顶角： 平面内n条直线相交于一点，共有 n(1一1)对对顶角. (2)若(1)中的直线两两相交，且不一 定交于一点，(1)中的结论仍然成立. 一方法归纳 对顶角的计数方法 两条直线相交是对顶角存在 的前提，或者说，对顶角存在的基 本图形是两条相交的直线.两条直 线相交形成2对对顶角，3条直线 两两相交，不管交点是1个还是 3个，都形成6对对顶角…条 直线两两相交，形成n(n一1)对 对顶角. 14.(1)①144°：50°. ②∠ACD+∠BCH=180. 理由：因为∠ACB=∠DCH=90°， 所以∠ACH+∠BCH+∠DCB+ ∠BCH=180°. 所以∠ACD+∠BCH=180°. (2)因为∠CAB=∠EAF=60°， 所以∠CAB+∠EAF=120. 所以∠CAE+∠EAB+∠BAF+ ∠EAB=120. 所以∠CAF+∠EAB=120°. 9 第2课时垂直 1.C2.B3.答案不唯一，如4 直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短 4.(1)如图所示. (2)如图所示. (3)OA;PC. (4)PH<PC<OC. B A (第4题) 5.D 6.C解析：由题意，可知∠BOF= 乞∠DOF=45,故选项D错误.因为 3 OE⊥CD,所以∠DOE=90°.所以 ∠AOE=180°-∠DOE-∠DOF- ∠BOF=15°，故选项A错误.所以 ∠AOC=180°-∠DOE-∠AOE= 75°，故选项B错误.所以∠BOC 180°-∠A0C=105°，故选项C正确. 7.同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直 8.75°解析：因为OE⊥OF,所以 ∠EOF=90°.因为∠BOF= 2∠BOE,∠BOF+∠BOE=∠EOF, 所以3∠BOE=90°.所以∠BOE= 30°.所以∠AOE=180°一∠BOE= 180°一30°=150°.因为0℃平分 ∠AOE所以∠AOC=2∠AOE= 号×15w=5.因为∠0D与 ∠AO℃互为对顶角，所以∠BOD= ∠A0C=75°. 9.(1)上. (2)CD>OD 理由：因为OD⊥OC, 所以点D与OC上各点连接的所有 线段中，垂线段OD最短. 所以CD>OD. 10.(1)3. (2)OF⊥CD.