第1章 专题特训2 乘法公式的巧妙应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 专题特训二乘法 类型一利用乘法公式化简求值 1.先化简，再求值：a(a一2b)+(2a-2b)(a+ b)-2(2a-b,其中a=-2.6=-l 2.当m=2,n=1时，求代数式(m一2m)2(m+ 2m)2-[(m-2n)2-(m+2m)2]的值. 类型二利用乘法公式简便运算 3.已知a=12+32+52++252,b=22+42+ 6+…+24,则a一b的值为 4.运用乘法公式计算： (1)99×101×10001. (2)1005×995-9982. (3)2034-4068×2033+20332. 18 拍照批改 公式的巧妙应用 。“答案与解析”见P6 类型三乘法公式的变形应用 5.若3a+b=7,ab=2,求3a-b的值. 6.新考法·过程性学习若两个数的平 方差能被8整除，则称这个算式为 “如意式”.例如：52一3=2×8；答案讲解 132-112=6×8. (1)验证：212-19为“如意式” (2)试说明：任意两个连续奇数的平方差都 能被8整除，这些算式都为“如意式”. 类型四乘法公式的连续应用 7.运用乘法公式计算： )(后+分-后2+y月 (2)(2x-4y+3x)(2x-4y-3x). (3)(a-2b-3c)2. 类型五乘法公式在几何图形中的应用 8.(2024·西安长安期中)已知a>0,b>0,a+ 2b=6,a2+4b=20,请借助如图所示的图形 进行直观分析，计算ab的值应为() (第8题) A.1 B.4 C.8 D.16 9.(2024·济南天桥期中)将完全平方 公式(a土b)2=a2±2ab十b2进行适 当变形，可以解决很多的数学问题.答案讲解 如a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a b)2+2ab. 【阅读材料】 已知(3-x)(x-1)=-5,求(3-x)2+(x 1)2的值. 解：设3-x=a,x-1=b,则(3-x)(x 1)=ab=-5,a+b=3-x+x-1=2. 因为a2+b2=(a+b)2-2ab, 所以(3-x)2+(x-1)2=a2+b2=22-2X (-5)=14. 第一章整式的乘除 【类比探究】 请仿照材料中的方法，解决下列问题： (1)若x+y=6,x2+y2=30,求xy的值 (2)已知(4一x)(5-x)=8,求(4-x)2十 (5-x)2的值， 【问题解决】 (3)如图，长方形APIE和长方形HQCF的 长和宽分别为a,b(a<6,b<6),将它们放置 在边长为6的正方形ABCD中.若长方形的 周长为16，面积为15.75，求图中涂色部分的 面积S1+S2+S3: a S (第9题) 19(2)原式=(10-0.2)2=100-4+ 0.04=96.04. (3)原式=(19.9+0.1)2=202= 400. 5.(1)原式=4m2+122+9n2 (4m2-n2)=4m2+12m1+9n2- 4m2+n2=12m+10m2. (2)原式=2(x2一2xy+y2)2(x+ 3y)(x-3y)=2x2-4.xy+2y2 2.x2+18y2=-4xy+20y2. (3)原式=[(3.x-2y)+5][(3.x 2y)-5]=(3.x-2y)2-5=9.x2- 12.xy+4y2-25. 6.B 7.49解析：设x一2025=t,则x 2024=t+1,x一2026=t-1.因为 (x-2024)2+(.x-2026)2=100,所 以(t+1)2+(t一1)2=100.所以 212+2=100.所以t2=49,即(x 2025)2=49. 8.128解析：(a十b)”=1,系数之和 是1=2；(a十b)'=a十b,系数之和 是2=2'：(a+b)2=a2+2ab+b2,系 数之和是4=22…由此可得，(a十 b)”展开后，各项系数之和是2”.所以 (a十b)?展开的多项式中各项系数之 和为2=128. 9.(1)原式=[(2a-b)-3c]2= (2a-b)2-2(2a-b)·3c+(3c)2= 4a2-4ab+b2-12ac+6bc+9c2. (2)原式=[2x-(y-1)][2x+(y 1)]=(2.x)2-(y-1)2=4x2-(y2 2y+1)=4x2-y2+2y-1. 10.(1)由题图，可知大正方形休闲场 所的面积为(6a)2平方米，小正方形 活动区的面积为(6a一2b)2平方米， 4条小路的面积为(4仙·女)平方米。 所以草坪的面积为(6a)2一4地·？- (6a-2b)2=36a2-262-(36a2 24ab+4b2)=(24ab-6b2)平方米， (2)当a=10,b=5时，24ab-6b2= 24×10×5-6×52=1050. 1050×30=31500(元). 所以草坪的造价为31500元， 11.(1)根据题意，得M=(.x+4)2 (x+2)(x+6)=x2+8x+16 (x2+8.x+12)=4. (2)2b-a-c=0. 理由：假设a,b,c是一组完美数，则(x十 b)2-(x十a)(x十c)的结果为常数. 因为原式=x2+2bx+b2-[x2+ (a+c)x+ac=(26-a-c)x+ b2-ac, 所以当a,b,c之间满足2b-a-c=0 时，它们是一组完美数 12.(1)a-b:(a-b)2. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab. (3)因为(m+n)2=(m一n)2+ 4mm=42+4×5=36, 所以m+n=士6. (4)S涂色部分=S梯形AD十S三角形DG一 Za(a+b)+2=2(a2+ab+ 6)=2ta+b2-b]=×(5 5)=10. 专题特训二乘法公式的 巧妙应用 1.原式=a2-2ab+2(a-b)(a+ b)-2(4d2-4ah+62)=a2-2ab+ 2a3-6)-2a2+2h-26=e2 2ab+2x-2水-2a+2b-262= 当a=一2，b=一1时，原式= (-2-号×-=48- 2.原式=[(m-2n)(m+2)]2- (m2-4m+4n2-m2-4mm 4n2）=(m2-4n2)2-(-8m)= m4-8m2n2+16n+8m. 当m=2,n=1时，原式=2一8× 22×12+16×14+8×2×1=16. 3.325解析：a-b=12+32+ 52+…+252-(22+42+62+…+ 242)=12-22+32-42+52 6 62+…-242+252=1+(32-22)十 (52-42)+…+(252-242)=1+ (3+2)+(5+4)+·+(25+24)= 1+2+3+4+5+…+24+25= 25×(25+1)_25×26 2 2 =325. 4.(1)原式=(100-1)×(100+1)× (10000+1)=(10000-1)× (10000+1)=108-1=99999999. (2)原式=(1000+5)×(1000- 5)-(1000-2)2=10002-52 10002+2×1000×2-22=-25+ 4000-4=3971. (3)原式=2034一2×2034× 2033+20332=(2034-2033)2=1. 5.因为3a+b=7,ab=2, 所以(3a-b)2=(3a+b)2-12ab= 72-12×2=49-24=25. 所以3a-b=±5. 6.(1)因为21-192=(21+19)× (21-19)=40×2=80=10×8, 所以21-192能被8整除. 所以212一192为“如意式” (2)设两个连续奇数为21十1， 2-1. 因为(2n+1)2-(2n-1)2=[(2+ 1)+(2m-1)][(21+1)-(2 1)]=4nX2=8, 所以任意两个连续奇数的平方差都能 被8整除，这些算式都为“如意式” 7.)原式=(gx2-y)(日2+ (2)原式=[(2.x-4y)+3z][(2.x 4y)-3x]=(2.x-4y)2-(3x)2= 4x2-16.xy+16y2-9x2. (3)原式=[(a-2b)-3c]= (a-2b)2-2(a-2b)·3c+9c2= a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2. 8.B 9.(1)因为(x十y)2=x2+2xy+ y2,x+y=6,x2+y2=30, 所以62=30+2.xy. 所以xy=3. (2)设4-x=a,5一x=b,则(4一 x)(5-x)=ab=8,a-b=4-x 5+x=-1. 因为a2+b2=(a-b)2+2ab, 所以(4-x)2+(5-x)2=a2十b2= (-1)2+2×8=17. (3)因为长方形的周长为16，面积为 15.75, 所以a+b=16÷2=8,ab=15.75. 所以易得S1十S2+S3=62一2ab+ 2(a+b-6)2=36-2×15.75+2× (8-6)2=36-31.5+8=12.5. 4整式的除法 1.B2.D3.-2x3y24.9x 4y+6 5.(1)原式=-27a2b2c8. (2)原式=-90m2+60m1-10m2. (3)原式=-5by. ④原式=-4-子心+动 6.(1)由题意，得小君报的整式为 (xy5-4x5y+16.x2y)÷4x2y= 4x3y-x3y3+4. (2)小君能报出一个整式 理由：因为[(-2x3y2)2+5x3y2]÷ 4.x2y=(4xy+5.x3y2)÷4x2y= xy+号w, 所以小君能报出一个整式 7.C解析：原式=[a2+b2+2ab- 2b2-(a2-2ab+b2)]÷4b=(a2+ b2+2ab-2b2-a2+2ab-b2)÷4b= (4ab-2b2)÷4h=a-2b.当2u b=5,即b=2a5时，原式=a 2a-50=a-u+-号 8.D解析：由题意，可得小明爬山的 总用时为1+令4，总路程为21十 之.所以小明爬山的平均速度为 (2u+ga)÷(+2+)=8t÷ 1 9.49 解析：因为4xy÷ (-2xy3)2=y,所以4xy÷ 4x20y5=y,即x4-0y-6=y.所以 4一2b=0,a一6=1，解得a=7,b=2. 所以a6=72= 49 10.5y2一3y+1解析：因为 (-25y3+15y2-5y)÷M=-5y,所 以M=(-25y3+15y2-5y)÷ (-5y)=5y2-3y+1. 解析：因为B十A= 2x2-x,A=2x,所以B=2x2-x 2x=2x2-3.x.所以B÷A=(2x2 3 3x)÷2x=x-21 12.2ab213.-5 4 14.(1)原式=-384a2bc3. 当a=-1,b=-2,c=1时，原式= -384×(-1)2×(-2)×13=768. (2)原式=4x+1. 当x=-2时，原式=4×(-2)+ 1=-8+1=-7. 15.由题意，得长方体容器的宽为 [x(）·号m]÷(2m2· 6m2n2）=24rm5n4÷12m3n= 2元m2. 165a2-a+1:-2a+5 (2)A=2x2·(3x+4)+x-1= 6.x3+8.x2+x-1. (3)由题意，得这个多项式为(2x一 6)(3x-1)+x+3=6.x2-2x- 18x+6+x+3=6.x2-19x十9. 17.(1)x3-x2-5.x-3能被x+1 整除. 理由： x2-2x-3 x+1yx-x2-5x-3 xtx -2x2-5x-3 -2x2-2x -3x-3 -3x-3 0 所以(x3一x2一5.x-3)÷(x+1)= x2-2x-3,即x3-x2-5x-3能被 7 x+1整除. (2)若多项式2x4-3x3+a.x2+7x十 b能被x2十x一2整除，则 2x2-5x-3 x+x22x-3x+ax +7x+b 2x'+2x3-4x2 -5x3+(a+4)x2+7x+b -5x3-5x2+10x (a+9)x2-3x+b -3x2-3x+6 0 所以a+9=-3,b=6. 所以a=-12. 所以号=-2 专题特训三整式乘除的 化简与求值问题 1.(1)原式=x3y2·x2y2÷ ()=y÷(号y) (2)原式=2x2-6xy-5.xy+2x2 4x2-11xy. (3)原式=-3x2+4x-3x+3x2- 2+2x=3x-2. (4)原式=9b2-4a2-(9a2+6ab+ b2)-2ab-8b2=9b2-4a2-9a2 6ab-b2-2ab-8b2=-13a2-8ab. (5)原式=(3.x-4x2+2.x3-2x2)÷ (-2.x)=(2x3-6.x2+3x)÷ 3 (-2x)=-x2+3.x-2: (6)原式=(6.xy一18y2)÷(一3y)= 6y-2x. 2.(1)原式=(9x2+6xy+y2+ xy-10y2-x2+9y2)÷2x=(8x2+ 7 7xy)÷2x=4x+2y, 当x=1,y=-2时，原式=4×1十 2×(-2)=-3. (2)原式=[9a2+6ab+b2-(9a2 b2)-6b2]÷(-2b)=(9a2+6ab+ b2-9a2+b2-6b2)÷(-2b)= (6ab-4b)÷(-2b)=-3a+2b. 当a=3,6=-2时，原式=-3×