第1章 3 第4课时 完全平方公式的应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第4课时完全 自基础进阶 1.利用乘法公式计算2982，下列方法中，正确 的是 ( A.2982=3002-300×2+22 B.2982=3002-2×300×2+22 C.2982=3002-22 D.2982=3002+2×300×2+2 2.计算(-x一2y)2一（x一2y)2的结果是 3.化简：(m-n)(m十n)(m2-n2)= 4.运用完全平方公式计算： (1)2012. (2)9.82. (3)19.92+19.9×0.2+0.12. 5.计算： (1)(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n). (2)2(x-y)2-(2x+6y)(x-3y). (3)(3x-2y+5)(3x-2y-5). 16 拍照批改 平方公式的应用 ◆“答案与解析”见P5 幻素能攀升 6.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它 的面积，可以得到一个数学等式，例如：利用 如图①所示的图形可以得到(a+b)=a2+ 2ab十b,那么利用如图②所示的图形所得到 的数学等式为 ( ) ② (第6题) A.(a+b+c)2=a2+b2+c2 B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc C.(a+b+c)2=a2+62+c2+ab+ac+bc D.(a+b+c)2=2a+2b+2c 7.已知(x-2024)2+(x一2026)2=100，则 (x-2025)2= 8.新考向·数学文化我国古代数学家 杨辉在其著作《详解九章算法》中提 到了如图①所示的数表，人们将这答案讲解 个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与 图②中的等式图，可知(a十b)?展开的多项 式中各项系数之和为 1 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641 (a+b)=a+4a3b+6ab2+4ab3+b1 ① ② (第8题) 9.运用乘法公式计算： (1)(2a-b-3c)2. (2)(2x-y+1)(y-1+2x). 10.如图（单位：米），某市修建了一个大正方形 休闲场所，在其内规划了一个小正方形活动 区，小正方形到大正方形的四边分别有4条 笔直小路.已知大正方形休闲场所的边长为 6a米，4条小路的长与宽都分别为b米和 ?米，涂色区域铺设草坪，草坪的造价为每 平方米30元. (1)用含a,b的代数式表示草坪的面积并 化简. (2)若a=10,b=5,计算草坪的造价. +b 6a (第10题) 11.新考法·新定义题对于依次排列的多项式 x十a,x十b,x十c,a,b,c是常数，当它们满 足(x+b)2-(x+a)(x+c)=M,且M为 常数时，称a,b,c是一组完美数，M是该组 完美数的完美因子 (1)已知2,4,6是一组完美数，求该组完美 数的完美因子M. (2)当a,b,c之间满足什么数量关系时，它 们是一组完美数？请说明理由 第一章整式的乘除 的思维拓展 12.(2024·菏泽郓城期中)如图①所 示为一个长为2a、宽为2b的长方 形，沿图中虚线用剪刀均分成四个答案讲解 小长方形，然后按如图②所示的方式拼成一 个正方形 (1)图②中涂色部分为正方形，其边长为 ,面积为 (用含a,b的代 数式表示) (2)由图②，可知代数式(a+b),(a一b), ab之间的等量关系为 (3)若m,n为有理数，且mm=5,m一n 4,求m十n的值 (4)如图③，正方形ABCD和正方形DEFG 的边长分别为a,b,且a+b=5,ab=5,求 图中涂色部分的面积. ② (第12题) 17b+号)a-b)-b3=(a+b)(a b)-b2=a2-262.因为a>0,b>0, 所以a2-b2>a2-262.所以S1>S2. 7.B解析：因为(m3+2n）· (仔m3-2m)+(2a-4)4+2) 1 6m-4n2+4n2-16=6m3-16, 所以其值与的值无关. 8.6解析：因为(a2+b2+1)· (a2+b2-1)=35,所以[(a2+b2)+ 1][(a2+b2)-1]=35,即(a2+ b2)2-1=35.所以(a2+b2)2=36.因 为a2+b2≥0，所以a2十b2=6. 9.小明解析：设三种木棒的长度分 别为x一1，x和x十1，则小明所摆的 正方形的面积为x2,小刚所摆的长方 形的面积为(x十1)(x一1).因为 x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2 1)=x2一x2+1=1>0,所以x2 (x十1)(x一1).所以小明摆的图形的 面积较大， 10.(1)原式=x一4. 当x=6时，原式=6-4=2. (2)原式=4m2-49n2-(m2- 25n2)=3m2-24n2. 当m=-3,n=2时，原式=3× (-3)9-24×()月 =27-6=21. 11.(1)B. (2)①4. ②原式=(242-232)+(222-21)+ (202-192)+…+(22-1)=(24+ 23)X(24-23)+(22+21)×(22 21)+(20+19)×(20-19)+·+ (2+1)×(2-1)=24+23+22+21+ 20+19+.+2+1= 24×(24+D=300. 2 12.因为大正方形的边长为a,小正 方形的边长为b, 所以大正方形的面积为a,小正方形 的面积为b2. 由题意，得a2一b2=10. 由题图，可知涂色部分的面积= 2DE·c+DE·CG=2× 1 (a-b)Xa+2X(a-b)Xb- 2a-b)(a+b)=2(a2-b)= 合×10=5 1B.D原式=2×(8-1)×(3+ 1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)× 35+1)-2×g-1)x(3+1D× (3+1)×(3+1)×(36+1)=2× (34一1)×(3+1)×(38+1)×(316+ 1D=2×(3-1)X(3+1DX3+ 1D=7×(3-1DX(3+1)=号× (32-1)=32-1 2 (2)原式=是×6-1D×(5+1)× (52+1)X(54+1)X.X(52048+ 1)-5=上×6s-1)- = 4 4 54096 1 4 4 第3课时完全平方公式的认识 1.C2.(a-b)2=a2-2ab+b2 3.25解析：因为m=5一21，所以 m十21=5.所以(m+2)2=m2+ 4mm+4n2=52=25. 4.(1)原式=16a2+8a+1. (2)原式=4u-2ab+b. (3)原式=(0.2.x2+0.1)2= 0.04x4+0.04x2+0.01. (4)原式=4a2-12ab+9b2-9a2+ 12ab-4b2=-5a2+5b2. 5.B解析：因为(2x+m)2=4x2+ 4m.x+m2=4x2+2x+9,所以4m= n,m2=9.由m=9,解得m=士3.当 m=3时，n=12;:当m=一3时，n= 一12.综上所述，n的值为士12. 5 6.C解析：因为该正方形的周长为 8a十4b,所以边长为2a十b.所以面积 为(2a+b)2=4a2+4ab+b2. 7.C解析：因为u+b=2,ab=3 4 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=22 4×3=1,所以a-b=±1. 4 一方法归纳 完全平方公式的变形技巧 将完全平方公式(a十b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2 2ab+b2进行变形，得到a2+b2 (a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab= 2[(a+b)2+(a-b)2]:b 2[a+6-a-]=- 1 [a-6)2-a2-b]=子[a+ b)2-(a-b)2];(a+b)2 (a-b)2+4ab=2(a2+b2)- (a-b)2:(a-b)2=(a+b)2 4ab=2(a2+b2)一(a+b)2.根据 这些变形，分别将a十b,a一b, a2十b2,ab看成一个整体，则知道 其中任意两个的值即可求得另外 两个的值 8.士12解析：因为4x2+m.xy+ 9y2是完全平方式，所以mxy=士2× (士2x)×(士3y)=±12.xy.所以m= ±12. 923解：因为(a+) =a2+ 1 1 2+专=5，所以a+京=25 2=23, 10.由题意，得(m+n)2十(m一n)2= m2+2mm+n2+m2-2n+n2= 2m2+2n2=2(m2+n2). 所以“发现规律”中的结论正确。 第4课时完全平方公式的应用 1.B2.8xy3.m4-2m2n2+n 4.(1)原式=(200+1)2=40000+ 400+1=40401. (2)原式=(10-0.2)2=100-4+ 0.04=96.04. (3)原式=(19.9+0.1)2=202= 400. 5.(1)原式=4m2+122+9n2 (4m2-n2)=4m2+12m1+9n2- 4m2+n2=12m+10m2. (2)原式=2(x2一2xy+y2)2(x+ 3y)(x-3y)=2x2-4.xy+2y2 2.x2+18y2=-4xy+20y2. (3)原式=[(3.x-2y)+5][(3.x 2y)-5]=(3.x-2y)2-5=9.x2- 12.xy+4y2-25. 6.B 7.49解析：设x一2025=t,则x 2024=t+1,x一2026=t-1.因为 (x-2024)2+(.x-2026)2=100,所 以(t+1)2+(t一1)2=100.所以 212+2=100.所以t2=49,即(x 2025)2=49. 8.128解析：(a十b)”=1,系数之和 是1=2；(a十b)'=a十b,系数之和 是2=2'：(a+b)2=a2+2ab+b2,系 数之和是4=22…由此可得，(a十 b)”展开后，各项系数之和是2”.所以 (a十b)?展开的多项式中各项系数之 和为2=128. 9.(1)原式=[(2a-b)-3c]2= (2a-b)2-2(2a-b)·3c+(3c)2= 4a2-4ab+b2-12ac+6bc+9c2. (2)原式=[2x-(y-1)][2x+(y 1)]=(2.x)2-(y-1)2=4x2-(y2 2y+1)=4x2-y2+2y-1. 10.(1)由题图，可知大正方形休闲场 所的面积为(6a)2平方米，小正方形 活动区的面积为(6a一2b)2平方米， 4条小路的面积为(4仙·女)平方米。 所以草坪的面积为(6a)2一4地·？- (6a-2b)2=36a2-262-(36a2 24ab+4b2)=(24ab-6b2)平方米， (2)当a=10,b=5时，24ab-6b2= 24×10×5-6×52=1050. 1050×30=31500(元). 所以草坪的造价为31500元， 11.(1)根据题意，得M=(.x+4)2 (x+2)(x+6)=x2+8x+16 (x2+8.x+12)=4. (2)2b-a-c=0. 理由：假设a,b,c是一组完美数，则(x十 b)2-(x十a)(x十c)的结果为常数. 因为原式=x2+2bx+b2-[x2+ (a+c)x+ac=(26-a-c)x+ b2-ac, 所以当a,b,c之间满足2b-a-c=0 时，它们是一组完美数 12.(1)a-b:(a-b)2. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab. (3)因为(m+n)2=(m一n)2+ 4mm=42+4×5=36, 所以m+n=士6. (4)S涂色部分=S梯形AD十S三角形DG一 Za(a+b)+2=2(a2+ab+ 6)=2ta+b2-b]=×(5 5)=10. 专题特训二乘法公式的 巧妙应用 1.原式=a2-2ab+2(a-b)(a+ b)-2(4d2-4ah+62)=a2-2ab+ 2a3-6)-2a2+2h-26=e2 2ab+2x-2水-2a+2b-262= 当a=一2，b=一1时，原式= (-2-号×-=48- 2.原式=[(m-2n)(m+2)]2- (m2-4m+4n2-m2-4mm 4n2）=(m2-4n2)2-(-8m)= m4-8m2n2+16n+8m. 当m=2,n=1时，原式=2一8× 22×12+16×14+8×2×1=16. 3.325解析：a-b=12+32+ 52+…+252-(22+42+62+…+ 242)=12-22+32-42+52 6 62+…-242+252=1+(32-22)十 (52-42)+…+(252-242)=1+ (3+2)+(5+4)+·+(25+24)= 1+2+3+4+5+…+24+25= 25×(25+1)_25×26 2 2 =325. 4.(1)原式=(100-1)×(100+1)× (10000+1)=(10000-1)× (10000+1)=108-1=99999999. (2)原式=(1000+5)×(1000- 5)-(1000-2)2=10002-52 10002+2×1000×2-22=-25+ 4000-4=3971. (3)原式=2034一2×2034× 2033+20332=(2034-2033)2=1. 5.因为3a+b=7,ab=2, 所以(3a-b)2=(3a+b)2-12ab= 72-12×2=49-24=25. 所以3a-b=±5. 6.(1)因为21-192=(21+19)× (21-19)=40×2=80=10×8, 所以21-192能被8整除. 所以212一192为“如意式” (2)设两个连续奇数为21十1， 2-1. 因为(2n+1)2-(2n-1)2=[(2+ 1)+(2m-1)][(21+1)-(2 1)]=4nX2=8, 所以任意两个连续奇数的平方差都能 被8整除，这些算式都为“如意式” 7.)原式=(gx2-y)(日2+ (2)原式=[(2.x-4y)+3z][(2.x 4y)-3x]=(2.x-4y)2-(3x)2= 4x2-16.xy+16y2-9x2. (3)原式=[(a-2b)-3c]= (a-2b)2-2(a-2b)·3c+9c2= a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2. 8.B 9.(1)因为(x十y)2=x2+2xy+ y2,x+y=6,x2+y2=30, 所以62=30+2.xy. 所以xy=3.