精品解析：新疆乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期第一次质量诊断初三年级数学试卷(问卷)

乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期第一次质量诊断 初三年级 数学试卷（问卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 5. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 7. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线，且在对称轴左侧，随的增大而增大，再根据与与对称轴的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数的值随的增大而增大， ∵点，都在二次函数的图象上， ∴， 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 9. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一元二次方程的一个根为 1，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为 1， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图象平移对解析式的影响，图象左右平移影响“x”，作用效果是“左加右减”，图象上下平移影响整体函数值，作用效果是“上加下减”，据此即可求出新的函数解析式． 【详解】解：二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是： ， 故答案为：． 12. 某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：____（结果化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设共有支队伍参加初赛，利用初赛的总场数参赛球队数量（参赛球队数量），即可得出关于x的一元二次方程，再整理成一般式即可． 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 故答案为：． 13. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立直角坐标系， 由题意得点，点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 由题意得线段上离中心M处1米的地方， 将代入得， ∴在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是米． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 先求出抛物线对称轴为直线，根据开口向上可知：时， y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 15. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，； 【小问3详解】 解： ，， 解得，． 17. 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 18. 如图，一块长，宽的矩形草地，现要在它的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地作走道，走道的宽度相等，且喷水池的面积是矩形草地面积的一半，求周围走道的宽度． 【答案】走道的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设走道的宽度为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设走道的宽度为，根据题意得， 解得（不合题意，舍去）， ∴走道的宽度为． 19. 关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； 根据根与系数的关系，得到，，先展开，再代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，是方程的根， ，， ， ∵， ∴， 解得． 20. 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． （1）这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】（1）；4 （2）不能，前进或后退 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）对于出手高度，令代入函数求值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定． （2）先求时的值，与比较判断能否接到；若不能，令，解出的值，再与比较确定前进或后退的距离． 【小问1详解】 解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． 【小问2详解】 解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 21. 如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． （1）求出抛物线的解析式； （2）当时，求函数y的取值范围 （3）设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）写出两点式即可得出结果； （2）根据增减性，进行求解即可； （3）直接根据图象法确定范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点和， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知，时，或． 22. 某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1），x为整数 （2）当销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润3150元 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）设利润为w元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列w关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得， 销售单价不低于成本，销售利润率不高于， ， ，x为整数 y与x的函数关系式为，x为整数； 【小问2详解】 解：设利润为w元， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值为， 即当销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润3150元． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式； （2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入，即可确定“三倍点”坐标； ②由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于-6，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得：， 解得， ∴“三倍点”坐标为； ②由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或 ∵， ∴； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 综上，的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期第一次质量诊断 初三年级 数学试卷（问卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 5. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 7. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一元二次方程的一个根为 1，则 ________． 11. 二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是______． 12. 某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：____（结果化为一般式） 13. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是________． 15. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 17. 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 18. 如图，一块长，宽的矩形草地，现要在它的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地作走道，走道的宽度相等，且喷水池的面积是矩形草地面积的一半，求周围走道的宽度． 19. 关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 20. 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． （1）这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 21. 如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C． （1）求出抛物线的解析式； （2）当时，求函数y的取值范围 （3）设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围． 22. 某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示 （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $