8.2 立体图形的直观图 讲义（知识梳理+4题型突破）- 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.2 立体图形的直观图 讲义 【题型一：棱柱、棱锥、棱台的识别与分析】 3 【题型二：旋转体的识别与分析】 4 【题型三：由斜二测直观图还原图形】 5 【题型四：直观图与原图的有关计算】 5 1. 理解直观图的概念 了解直观图是平行投影下得到的平面图形，知道其与真实立体图形的区别与联系，能解释 “直观图为何与原图形形状不完全一致”。 2. 掌握斜二测画法的核心规则 ①能复述斜二测画法画平面图形的三大步骤：建轴（夹角为45∘或135∘）、平行性不变、长度规则（横不变、纵减半）。 ②能完整说出画空间几何体直观图的补充规则：增加z轴、竖线长度不变、遮挡线段用虚线表示。 3. 掌握平面图形与直观图的面积关系 理解并能推导公式：（适用于多边形），并能进行原图与直观图的面积互算。 4. 能独立完成两类绘图任务 ①会用斜二测画法画水平放置的常见平面图形（如三角形、四边形）的直观图。 ②会画简单空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥及组合体）的直观图，能规范区分实线与虚线。 【知识点一：空间几何体的直观图】 1．直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 2．斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段． ③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 3．斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、轴都垂直的轴，步骤如下： ①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的轴与轴，作出水平平面上图形的直观图（保留轴与轴）； ②在立体图形中，过轴与轴的交点作轴，并使轴垂直于轴与轴．过轴与轴的交点作与轴对应的轴，且轴垂直于轴。需注意，图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变，并连接有关线段。 ③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线或擦除。 总结：平行不变垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚。 注：①画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取。用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感； ②根据斜二测画法的步骤，在使用斜二测画法作图时，平行线段的长度比例与原图形保持一致； ③为了使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上，在建立坐标系时一般选择图形的对称中心为坐标原点建系。 【知识点二：平面图形与其直观图的面积关系】 我们以三角形为例来分析，的平面图形如图1， 由图1可知，。 的斜二测直观图如图2，作轴于点， 则。 由斜二测画法规则可知是等腰直角三角形， 所以， 又，所以 。 这说明对于三角形，其斜二测直观图的面积是原平面三角形面积的倍。事实上，对于任意的平面多边形，我们总可以将其划分为若干个三角形，每个三角形都满足其斜二测直观图的面积是原平面三角形面积的倍，所以该平面多边形的斜二测直观图面积也是原多边形面积的倍，即，也即。 【易错提醒】对于圆等平面图形，我们不用斜二测画法画其直观图，所以圆的面积与其直观图的面积不满足上述关系。 【题型一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图】 【例1】下面的说法正确吗？ （1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形； （2）两条相交直线的直观图可能平行； （3）互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直． 【例2】画出水平放置的四边形OBCD（如图）的直观图． 【变式1】已知△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，直角边长为3cm，分别画出水平放置的△ABC的直观图． 【题型二：画简单几何体的直观图】 【例3】画长、宽、高分别等于4cm，3cm，2cm的长方体的直观图． 【变式1】画出底面是边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图． 【变式2】如图，将△ABC绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？画出这个几何体的直观图． 【题型三：由斜二测直观图还原图形】 【例4】如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC＝2a，求直观图中AB和AC的长度． 【变式1】如图，四边形A′B′C′D′是直角梯形，它是四边形ABCD水平放置时的直观图，下底A′B′＝20，上底C′D′＝10，垂直于底的腰B′C′＝10，求B′C′在原平面图形ABCD中的对应线段BC的长度． 【题型四：直观图与原图的有关计算】 【例5】如图所示，梯形A′B′C′D′是水平放置的四边形ABCD根据斜二测画法得到的直观图，其中A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1． （1）画出原四边形ABCD； （2）分别求出原四边形ABCD与梯形A′B′C′D′的面积． 【变式1】如图，△O'A'B'是△OAB水平放置的直观图，求△OAB的面积． 【变式2】已知水平放置的△ABC是正三角形，其直观图的面积是，试求△ABC的周长． 一、判断题 1．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√“．错误的画“×” （1）角的水平放置的直观图一定是角．　 　 （2）相等的角在直观图中仍然相等．　 　 （3）相等的线段在直观图中仍然相等．　 　 （4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行，　 　 2. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假． （1）三角形的直观图还是三角形. 　 　 （2）平行四边形的直观图还是平行四边形. 　 　 （3）正方形的直观图还是正方形. 　 （4）菱形的直观图还是菱形．　 　 二、解答题 3．画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图． 4．画一个正六棱柱的直观图． 5．如图是底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图，请指出底面ABCDEF、对角面SFC、侧面SFE的真实形状，并画出相应的图形． 6．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，AD＝3，AA1＝4． （1）画出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的直观图； （2）将四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称． 7．如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积． 8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积． 9．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，求AB边上的中线的实际长度为多少． 10．如图为一几何体的展开图．若沿图中虚线将它们折叠起来，试探究是哪种几何体？画出其直观图． 11．如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，点B'在x′轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'＝2，则△AOB的边OB上的高为多少？ 12．如图1，梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知O′A′∥B′C′，O′A′＝2，O′B′＝B′C′＝3． （1）在图2给定的表格中画出四边形OABC； （2）若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征． 13．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S．求梯形OABC的面积． 14．如图所示，在△ABC中，AC＝12cm，AC边上的高BD＝12cm． （1）画出水平放置的△ABC的直观图； （2）求直观图的面积． 15．如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图． （1）画出它的原图形； （2）若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积． 16．如图，A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 立体图形的直观图 讲义 【题型一：棱柱、棱锥、棱台的识别与分析】 3 【题型二：旋转体的识别与分析】 5 【题型三：由斜二测直观图还原图形】 7 【题型四：直观图与原图的有关计算】 8 1. 理解直观图的概念 了解直观图是平行投影下得到的平面图形，知道其与真实立体图形的区别与联系，能解释 “直观图为何与原图形形状不完全一致”。 2. 掌握斜二测画法的核心规则 ①能复述斜二测画法画平面图形的三大步骤：建轴（夹角为45∘或135∘）、平行性不变、长度规则（横不变、纵减半）。 ②能完整说出画空间几何体直观图的补充规则：增加z轴、竖线长度不变、遮挡线段用虚线表示。 3. 掌握平面图形与直观图的面积关系 理解并能推导公式：（适用于多边形），并能进行原图与直观图的面积互算。 4. 能独立完成两类绘图任务 ①会用斜二测画法画水平放置的常见平面图形（如三角形、四边形）的直观图。 ②会画简单空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥及组合体）的直观图，能规范区分实线与虚线。 【知识点一：空间几何体的直观图】 1．直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 2．斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段． ③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 3．斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、轴都垂直的轴，步骤如下： ①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的轴与轴，作出水平平面上图形的直观图（保留轴与轴）； ②在立体图形中，过轴与轴的交点作轴，并使轴垂直于轴与轴．过轴与轴的交点作与轴对应的轴，且轴垂直于轴。需注意，图形中与轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变，并连接有关线段。 ③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线或擦除。 总结：平行不变垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚。 注：①画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取。用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感； ②根据斜二测画法的步骤，在使用斜二测画法作图时，平行线段的长度比例与原图形保持一致； ③为了使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上，在建立坐标系时一般选择图形的对称中心为坐标原点建系。 【知识点二：平面图形与其直观图的面积关系】 我们以三角形为例来分析，的平面图形如图1， 由图1可知，。 的斜二测直观图如图2，作轴于点， 则。 由斜二测画法规则可知是等腰直角三角形， 所以， 又，所以 。 这说明对于三角形，其斜二测直观图的面积是原平面三角形面积的倍。事实上，对于任意的平面多边形，我们总可以将其划分为若干个三角形，每个三角形都满足其斜二测直观图的面积是原平面三角形面积的倍，所以该平面多边形的斜二测直观图面积也是原多边形面积的倍，即，也即。 【易错提醒】对于圆等平面图形，我们不用斜二测画法画其直观图，所以圆的面积与其直观图的面积不满足上述关系。 【题型一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图】 【例1】下面的说法正确吗？ （1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形； （2）两条相交直线的直观图可能平行； （3）互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直． 【分析】根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变，原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45度，根据做法，得到三个说法的正误． 【解答】解：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变， 原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半， 且新的坐标轴之间的夹角是45度， ∴原来垂直的画出直观图不一定垂直， 原来是对边平行的仍然平行， 故（1）（2）（3）均是错的． 【例2】画出水平放置的四边形OBCD（如图）的直观图． 【分析】根据题意，由斜二测画法步骤，逐步画出图形可得答案． 【解答】解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示； （2）画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示； 在x′轴上取点B′、E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE， 在y′轴上取点D′，使得O′D′OD； 过点E作E′C′∥y′轴，使得E′C′EC； （3）连接B′C′、C′D′，擦去x′轴与y′轴及其其他一些辅助线，如图③所示； 所以四边形O′B′C′D′就是所求的直观图． 【变式1】已知△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，直角边长为3cm，分别画出水平放置的△ABC的直观图． 【分析】水平边不变，竖直边倾斜45°，且大小变为原来的一半，由此能画出水平放置的△ABC的直观图． 【解答】解：水平边不变，竖直边倾斜45°，且大小变为原来的一半， 分别画出水平放置的△ABC的直观图，如图： 【题型二：画简单几何体的直观图】 【例3】画长、宽、高分别等于4cm，3cm，2cm的长方体的直观图． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据斜二测画法的规则，画出底面长方形的直观图，然后作O′z′⊥底面A′O′C′，在O′z′轴上截取O′E＝2，过C′作C′B′∥O′x′，使C′B′＝4，过A′、B′、C′分别作A′F、B′G、C′H平行于O′E且等于O′E，连接EF，FG，EH，HG得答案． 【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形， 其中O'A'＝OA＝4，O'C'OC，∠A'O'C'＝45°， 作O′z′⊥底面A′O′C′，在O′z′轴上截取O′E＝2， 过C′作C′B′∥O′x′，使C′B′＝4，过A′、B′、C′分别作A′F、B′G、C′H平行于O′E且等于O′E， 连接EF，FG，EH，HG，可得长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体的直观图． 【变式1】画出底面是边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图． 【分析】根据斜二测法建立平面直角坐标系，分别画出底面与上顶点即可． 【解答】解：作出x轴，y轴，z轴，其交点为O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°， 以O为中心，在xOy平面内画出边长为1.2cm的正方形水平放置的直观图ABCD，如图， 在Oz上截取OP，使OP＝1.5cm， 连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线， 得到四棱锥的直观图，如图： 【变式2】如图，将△ABC绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？画出这个几何体的直观图． 【分析】该几何体由两个底面相同的圆锥构成． 【解答】解：该几何体由两个底面相同的圆锥构成． 这个几何体的直观图如下所示． 【题型三：由斜二测直观图还原图形】 【例4】如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC＝2a，求直观图中AB和AC的长度． 【分析】由题意，OB＝OC＝a，OAa，∠AOC＝45°，∠AOB＝135°，利用余弦定理，求出直观图中AB和AC的长度． 【解答】解：由题意，OB＝OC＝a，OAa，∠AOC＝45°，∠AOB＝135°， ∴ACaa， ABa． 【变式1】如图，四边形A′B′C′D′是直角梯形，它是四边形ABCD水平放置时的直观图，下底A′B′＝20，上底C′D′＝10，垂直于底的腰B′C′＝10，求B′C′在原平面图形ABCD中的对应线段BC的长度． 【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中线段的长即可． 【解答】解：在直观图中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝20，D′C′＝10， B′C′＝10，且B′C′⊥A′B′， 如图1所示； 过点D′作D′E′⊥A′B′于点E′， ∴A′D′D′E′＝10， ∴画出原来的平面图形如图2所示； 则上底CD＝10，下底AB＝20，AD＝20， 过点C作CF⊥AB于点F，则CF＝20， ∴CB30． 【题型四：直观图与原图的有关计算】 【例5】如图所示，梯形A′B′C′D′是水平放置的四边形ABCD根据斜二测画法得到的直观图，其中A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1． （1）画出原四边形ABCD； （2）分别求出原四边形ABCD与梯形A′B′C′D′的面积． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形ABCD； （2）利用梯形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，直观图梯形A′B′C′D′中A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1． 则C′D′＝3， 如图，建立平面直角坐标系xOy， 在x轴上截取OD＝O′D′＝1，CD＝C′D′＝3，OC＝CD﹣OD＝2， 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D′A′＝2， 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A′B′＝2， 连接BC，即可得到原四边形ABCD． （2）由题意得，原四边形ABCD是直角梯形，且AB＝2，CD＝3，AD＝2， 故四边形ABCD的面积为， 又直观图中梯形的高为，A′B′＝2，C′D′＝3， 所以四边形A′B′C′D′的面积为． 【变式1】如图，△O'A'B'是△OAB水平放置的直观图，求△OAB的面积． 【答案】12． 【分析】把直观图还原为原平面图形，得△OAB是直角三角形，由此计算△OAB的面积． 【解答】解：把直观图还原为原平面图形，如图所示： 所以△OAB是直角三角形，且OA＝2O′A′＝8，OB＝O′B′＝3， 所以△OAB的面积为8×3＝12． 【变式2】已知水平放置的△ABC是正三角形，其直观图的面积是，试求△ABC的周长． 【答案】6a． 【分析】设出正三角形的边长，按照“斜二测画法”的规则，求出正三角形的面积，直观图△A′B′C′的面积，即可得到结果． 【解答】解：设△ABC的边长为x，则AB＝A'B'＝x，O′C′OCxx， 则高C′D＝O′C′sin45°xx， 则直观图的面积Sx•xa2， 解得x＝2a， 则△ABC的周长为6a， 故答案为：6a． 一、判断题 1．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√“．错误的画“×” （1）角的水平放置的直观图一定是角．　 　 （2）相等的角在直观图中仍然相等．　 　 （3）相等的线段在直观图中仍然相等．　 　 （4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行，　 　 【答案】见试题解答内容 【分析】在（1）中，水平放置的平面图形不会改变形状；在（2）中，利用斜二测画法画直观图，水平放置的90°的直观图仍然是90°，垂直放置的90°角的直观图是45°；在（3）中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半；在（4）中，由平行公理得平行性不会改变． 【解答】解：在（1）中，水平放置的平面图形不会改变形状， ∴角的水平放置的直观图一定是角，故（1）正确． 在（2）中，利用斜二测画法画直观图，水平放置的90°的直观图仍然是90°， 垂直放置的90°角的直观图是45°，故（2）错误， 在（3）中，因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，故（3）错误， 在（4）中，由平行公理得平行性不会改变，故（4）正确． 故答案为：√，×，×，√． 2. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假． （1）三角形的直观图还是三角形. 　 　 （2）平行四边形的直观图还是平行四边形. 　 　 （3）正方形的直观图还是正方形. 　 （4）菱形的直观图还是菱形．　 　 【答案】（1）√； （2）√； （3）×； （4）×． 【分析】根据斜二测画法的知识对4个结论进行判断． 【解答】解：根据斜二测画法的知识可知 （1）三角形的直观图是三角形，结论正确； （2）平行四边形的直观图是平行四边形，结论正确； （3）正方形的直观图是平行四边形，所以原结论错误； （4）正方形是菱形，由上图可知，其直观图不是菱形，所以原结论错误． 故答案为：√，√，×，×． 二、解答题 3．画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图． 【分析】根据平面直观图的画法规则即可画出直角梯形的直观图． 【解答】解：在平面内坐标系x′Oy′，使∠x′Oy′＝45°， 在x′轴上截取O′C′＝OC，在y′轴上截取O′A′OA， 过点A′作线段A′B′＝AB，且使A′B′∥x′轴，连接B′C′， 即得直角梯形OABC的直观图． 4．画一个正六棱柱的直观图． 【答案】正六棱柱的直观图见解析． 【分析】由斜二测法作正六棱柱的直观图即可． 【解答】解：（1）画轴，如图1画x轴，y轴，z轴，使得∠xOy＝45°，∠xOz＝90°； （2）画底面，画正六边形的直观图ABCDEF（保证O为正六边形的中心，CF在x轴上）； （3）画侧棱，过A、B、C、D、E、F各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′， 使得|AA′|＝|BB′|＝|CC′|＝|DD′|＝|EE′|＝|FF′|； （4）连线成图，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到了如图2的正六棱柱的直观图ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′． 5．如图是底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图，请指出底面ABCDEF、对角面SFC、侧面SFE的真实形状，并画出相应的图形． 【答案】底面ABCDEF、对角面SFC、侧面SFE的真实形状如图： 【分析】底面ABCDEF是边长为3cm的正六边形，设点O是底面ABCDEF的中点，在Rt△SOC中，OC＝3cm，SO＝6.5cm，则SC7.16（cm），侧面SFE是两腰长约为7.16cm，底边长为3cm的等腰三角形，由此能画出底面ABCDEF、对角面SFC、侧面SFE的真实形状． 【解答】解：底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图， 底面ABCDEF是边长为3cm的正六边形，设点O是底面ABCDEF的中点，如图， 在Rt△SOC中，OC＝3cm，SO＝6.5cm， 则SC7.16（cm）， ∴侧面SFE是两腰长约为7.16cm，底边长为3cm的等腰三角形， ∴底面ABCDEF、对角面SFC、侧面SFE的真实形状如图： 6．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，AD＝3，AA1＝4． （1）画出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的直观图； （2）将四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称． 【答案】（1）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的直观图，如图（1）， （2）补成的长方体，如图（2）， 补上的几何体是三棱柱BCE﹣B1C1E1． 【分析】（1）结合直观图的画法和棱柱的结构特征，即可得到四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的直观图； （2）结合长方体的几何特征，即可得到补成的长方体． 【解答】解：（1）由题意，结合直观图的画法，即可得到四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的直观图，如图（1）， （2）由题意，结合长方体的几何特征，可得到补成的长方体，如图（2）， ∴补上的几何体是三棱柱BCE﹣B1C1E1． 7．如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积． 【分析】判断水平放置的平面图形的直观图的原图形，求出边长即可求解周长和面积． 【解答】解：正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图是平行四边形，相邻边长为：1和3， 原图的周长是：8． 故周长为：8，面积为12； 故答案为：8cm，． 8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积． 【答案】4． 【分析】根据题意，求出直观图的面积，结合原图形和直观图面积之间的关系，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直观图ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC， 则BC＝ABcos45°+AD1，CD＝ABsin45°， 其面积S′（AD+BC）×DC， 则菜地的面积即原图的面积S＝2S′＝4． 9．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，求AB边上的中线的实际长度为多少． 【答案】． 【分析】根据△ABC的直观图可得△ABC的形状，然后可求得AB边上的中线的实际长度． 【解答】解：根据△ABC的直观图可得直角△ABC中BC＝6，AC＝3，得斜边AB＝3， 所以AB边上的中线的实际长度． 10．如图为一几何体的展开图．若沿图中虚线将它们折叠起来，试探究是哪种几何体？画出其直观图． 【分析】沿图中虚线将它们折叠起来，是底面边长为2的正方形的四棱柱，结合展开图能作出其直观图． 【解答】解：如图为一几何体的展开图． 若沿图中虚线将它们折叠起来，是底面边长为2的正方形的四棱锥， 其直观图如下： 11．如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，点B'在x′轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'＝2，则△AOB的边OB上的高为多少？ 【答案】4． 【分析】根据题意，在直观图中，作A′C′∥B′O′，与y′轴交于点C′，求出O′C′的长，分析原图中对应OC的长，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，在直观图中，作A′C′∥B′O′，与y′轴交于点C′， A'O'＝2，则O′C′＝2， 在原图中，OC的长等于边OB上的高，则OC＝2O′C′＝4， 故△AOB的边OB上的高为4． 12．如图1，梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知O′A′∥B′C′，O′A′＝2，O′B′＝B′C′＝3． （1）在图2给定的表格中画出四边形OABC； （2）若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征． 【答案】（1）图形见解析； （2）几何体的结构特征见解析． 【分析】（1）根据题意，由斜二测画法的步骤，还原四边形OABC，即可得答案； （2）根据题意，由旋转体的定义，分析所得的几何体结构特征，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，因为O′A′与x′轴重合，则OA与x轴重合，且OA＝O′A′＝2， B′C′与x′轴平行，则BC与x轴平行，且BC＝B′C′＝3， O′B′与y′轴重合，则OB与y轴重合，且OB＝2O′B′＝6， 连接AB，OC，即可得四边形OABC．如图所示： （2）根据题意，所得的几何体是一个组合体，由两部分组成， 第一部分是以OA为高，O为底面圆的圆心，OB底面半径的圆锥， 另一部分是以BC为高，OB为直径再挖去同底等高的圆锥所得的几何体． 13．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S．求梯形OABC的面积． 【分析】设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h； 求出梯形O′A′B′C′的体积，由此表示出原直角梯形OABC的面积． 【解答】解：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h； 过C′作C′D′⊥O′A′于D′， 如图所示， 则C′D′h； 由题意知C′D′（C′B′+O′A′）＝S， 即h（C′B′+O′A′）＝S； 又原直角梯形面积为S′•2h（C′B′+O′A′） ＝h（C′B′+O′A′）2S， 所以梯形OABC的面积为2S． 14．如图所示，在△ABC中，AC＝12cm，AC边上的高BD＝12cm． （1）画出水平放置的△ABC的直观图； （2）求直观图的面积． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作B′E⊥A′C′，E为垂足，求出即可求解． 【解答】解：（1）①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的x′，y′轴，使∠x′D′y′＝45°， 在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC， 在y′轴上取点B′，使， 连接A′B′，C′B′，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图②． （2）在图②中，作B′E⊥A′C′，E为垂足， ∵6cm，∠B′D′E＝45°， ∴， ∴． 15．如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图． （1）画出它的原图形； （2）若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积． 【答案】（1）原图见解析；（2）原图形中AC边上的高为，其面积为． 【分析】（1）根据题意，由斜二测画法分析可得原图， （2）根据题意，由三角形面积公式求出B'D'的长，结合斜二测画法可得原图中BD的长，计算其面积可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，直观图B′D′∥y′轴，则原图中，BD∥y轴，即BD与x轴垂直， 其原图如图： （2）由（1）的结论，BD与x轴垂直，原图中，AC边上的高为BD， 若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，则有A'C'×B'D'×sin45°，解可得B'D'， 故原图形中AC边上的高BD， 原图的面积SAC×BD． 16．如图，A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的作图步骤，由已知的直观图可得原图． 【解答】解：由已知中A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图， 可得该四边形的原图形，如下图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $