精品解析：2026年广东东莞市厚街丰泰外国语学校九年级中考一模数学试卷

九年级数学 说明： 1．全卷共8页，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题必须用黑色字迹的水笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用修正带或涂改液． 3．请书写工整，保持卷面整洁． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与该数相乘等于的数，即可求解． 【详解】解：的倒数为， 故选：A． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ） A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 7. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 8. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2； 当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7； 所以. 故选A 【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 1 展开式系数和为1 1 1 展开式系数和为 1 2 1 展开式系数和为 1 3 3 1 展开式系数和为 　1 4 6 4 1 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，解题的关键是熟练掌握观察展开式中所有项的系数和．由“杨辉三角”得到是（n为非负整数）展开式的项系数和为，即可求解． 【详解】解：由系数和可得： 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ⋯， ∴（n为非负整数）展开式的项系数和为 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：C． 10. 如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 12. 若，则代数式的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】先将所求代数式配方变形，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：对配方得 ． ∵， ∴． 13. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 14. 如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示．当恰好平分时的值为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，关键是证明． 根据函数图象可得，作的平分线，由可得，进而得到，由相似三角形的性质求出的长，进而求解即可． 【详解】解：如图，作的平分线， 由图2可得， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， （负值舍去） ． 故答案为：． 15. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标； 用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第个中点纵坐标的表达式；将代入表达式，计算最终结果． 【详解】解： 设的直角顶点的坐标为，则的坐标为， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，即，解得， ． 的坐标为，设的直角顶点的坐标为， 是等腰直角三角形， ，则的坐标为， 是斜边的中点， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，解得， ． 同理，可求得第三个中点的纵坐标， 由此归纳得出第个中点的纵坐标为：． 当时，． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算： ． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 【答案】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集用数轴表示出来，如图： 【解析】 【详解】略 18. 万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处． 2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且． 3.在点处测得塔顶的俯角为． 4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 【答案】的高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．延长交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，求出，在中，根据三角函数求出结论即可． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由题意得：四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 解得：． 答：的高度为11.6米． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 20. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 21. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角． 【概念理解】 （1）根据概念，完成下列问题： ①如图1，是正度三角形，是正度角．若，则________； ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为________． 【性质探究】 （2）如图2，数学兴趣小组发现，当是正度三角形，是钝角，是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论； 【拓展应用】 （3）如图3，是的直径，点、是圆上的两点，弦与交于点．连接，，和都是正度三角形，且、分别为正度角时，求的度数． 【答案】（1）①；② （2） 证明：如图1，作交于D， ∴， ∵是正度三角形，是钝角，是正度角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义进行列式计算，即可作答． ②根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）作，根据新定义可得，再证明，利用相似三角形的性质和锐角的正切的比例关系证明即可； （3）设，结合、分别为正度角，得出，，运用三角形内角和性质，得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：①∵是正度三角形，是正度角，， ∴， 则， ②设正度角的度数为x． 根据题意可得：， 解得：， ∴正度角的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 设， ∵是正度角， 则 ∵是直径， ∴， 则， ∵是正度角， ∴在中，， ∵， ∴， 由内角和可得， 解得， ∴． 五、解答题（三）（共2小题，22题13分，23题14分，满分27分） 22. 为迎接春节的到来，某社区在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂了灯笼，营造喜庆的节日氛围．某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂灯笼 测量工具 皮尺等 采集数据 如图1是该社区大门及上方抛物线形框架结构平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度的长为； 3．大门上方抛物线形框架的顶点P到的距离； 4．大门B，C两点到地面的垂直距离均为 设计方案 现需在此抛物线形框架上的点M，N处各悬挂一个灯笼．已知点M，N关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为（M，N之间的距离为） 确定思路 如图2，小组成员经过讨论，确定以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 根据以上信息，解决下列问题： （1）求大门上方框架所在抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）若悬挂点到灯笼最底端的距离为，求灯笼最底端到地面的高度． （3）春节期间，该社区举行非遗盛大文化表演，表演时矩形彩车经过该社区大门时不能触碰灯笼．已知宽为、高度不等的矩形彩车车队居中行驶，且彩车的高度均为整数．在（2）的条件下，求该车队中彩车的最大高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得抛物线对称轴为，结合、顶点，设顶点式，代入点求得，进而即可得解； （2）分别过点M，N作的垂线，垂足为E，F，连接，、关于对称轴对称且水平距，得，代入抛物线得悬挂点的高度，再减去悬挂的距离，即可得到灯笼底端到地面高度； （3）根据彩车居中行驶，宽，可得，代入得抛物线高度约，再根据彩车高度为整数，即可得解． 【小问1详解】 解：∵，抛物线对称轴为；到地面高度为，， ∴的纵坐标为，即． ∵，是原点， ∴， 设大门上方抛物线的表达式为． 把代入中， 得， 解得， ∴大门上方抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，分别过点M，N作的垂线，垂足为E，F，连接，则四边形是矩形． 根据题意，得． ∴． ∵点M，N关于抛物线的对称轴对称，， ∴ ． 当时，． ∴． 答：灯笼最底端到地面的高度为； 【小问3详解】 解：∵彩车居中行驶， ∴当时，． ∵， ∴彩车经过灯笼的下方． 又∵，彩车的高度均为整数， ∴该车队中彩车的最大高度为． 【点睛】本题以社区大门抛物线框架为实际背景，通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为二次函数问题，结合函数表达式求解与实际应用，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 23. 综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 （1）在图①中，若，，则________． （2）如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河是多少米？ 【拓展规律】 （3）如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． （4）如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）米 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）仿照小吴同学方法，得出，把，代入计算即可； （2）根据圆周角定理得出，根据得出，利用勾股定理求出米，利用（1）中距离求出的长即可； （3）以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，根据圆周角定理得出点、在上，四边形是正方形，，，利用（1）中结论及勾股定理得出，，再利用勾股定理即可求出； （4）分点在直线的左侧和右侧两种情况，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理，结合（1）中结论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 如图，连接、、， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 由（1）可知，， ∴（米）． ∴小河最短是沿线段修建，距离为米． 【小问3详解】 解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、， ∵为的直径，， ∴点、点都在上，为的直径， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，，， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（1）可知， ∴， ∴； 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知，， 设，则， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 综上所述，线段与的数量关系是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $