精品解析：2026年广东梅州市兴宁市实验学校、宁江中学 2025-2026学年第二学期第一次形成性评价(数学科)

2025-2026年学年第二学期第一次形成性评价（数学科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 4. 图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C、D在上，点A、C在直径同侧，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 年贵州省大力推动消费品以旧换新活动，成效显著，全年共使用政府补贴资金亿元，充分发挥了财政资金撬动市场活力的杠杆作用，将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. 的面积为定值 B. 的最小值为 C. 的最大值为5 D. 的最大值为 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 若，则_______． 13. 如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 14. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 15. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中 17. 某初级中学数学兴趣小组为了解本校学生的年龄情况，随机抽取了该校部分学生的年龄作为样本，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图．依据相关信息解答以下问题： （1）写出样本容量 ，并补全条形统计图： （2）该校被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁． （3）若该校一共有1000名学生．估计该校学生年龄在15岁及以上的人数． 18. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 20. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积； 21. 如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接． （1）求证：； （2）取边的中点，连接，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． （1）求该反比例函数的表达式； （2）点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； （3）连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图1，和是有公共顶点的两个三角形，在线段上，，． （1）【问题发现】如图2，若，，连接，则、的关系是 (请直接写出结果)． （2）【解决问题】如图3，如果，，，，且满足，连接，求的长．小明经过思考发现可以构造如图所示的图形解决问题，过点作，交的延长线于点，证明，从而求出的长．请你按照小明的思路求出长． （3）【拓展探究】如图4，在中，是直径，点为直径上方半圆上一点，，，若点也在上，且满足，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年学年第二学期第一次形成性评价（数学科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选C． 2. 若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，掌握好相关知识是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出的值，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于， ∴对各选项逐一验证： 对于A选项：，不在图象上， 对于B选项：，不在图象上， 对于C选项：，不在图象上， 对于D选项：，在图象上． 故选：D． 3. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 4. 图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，的度数，再根据角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 5. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 6. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据增长率定义，分别计算每天票房，再求和得累计票房，累计票房为三天总和，列方程即可． 【详解】解：由题意，得 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为亿元， ∴． 故选D． 7. 如图，点A、B、C、D在上，点A、C在直径同侧，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理的推论可得，，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 8. 年贵州省大力推动消费品以旧换新活动，成效显著，全年共使用政府补贴资金亿元，充分发挥了财政资金撬动市场活力的杠杆作用，将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿． 9. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正弦的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：是边上的中线，， ， 在中，， 在中，， 故， 故选C． 10. 如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. 的面积为定值 B. 的最小值为 C. 的最大值为5 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点N的运动轨迹是解题的关键． 根据三角形的面积公式判断选项A；根据折叠得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可得到当三点共线时，最小，根据勾股定理判断选项B；当与相切时，的值最大，即最大；先根据得到，即可得到，然后根据勾股定理计算判断选项C；点与点重合时，最大，求出值判断选项D解答即可． 【详解】解：，为定值，故选项A正确； 根据折叠的性质，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动． 当三点共线时，最小，此时， 的最小值为，故选项B正确； ， ∴当最大时，最大．如图， 当与相切时，的值最大，此时点重合， ∵是矩形， ∴，， ∴，， 根据折叠可知，， ∴，， ∴， ∴， 的最大值为， 的最大值为，故选项C错误； 当点与点重合时，最大，最大值为，故选项D正确， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点坐标的对称规律，掌握规律是解决问题的关键；两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于原点对称，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为，故对称点坐标为； 故答案为：． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 13. 如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，米，米，且， ∴， ∴， 设， ∴光源与手的距离增加1米，即（米），米， 如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 15. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用位似比求出点的坐标，进而确定反比例函数解析式，再求出点的坐标． 先根据矩形性质和位似比求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，再结合点的纵坐标特征求出其横坐标，确定点坐标． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，点的坐标为， ∴ ，． ∵ 矩形与矩形的位似比为，以为位似中心， ∴ 点的坐标为，即 ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ，即反比例函数解析式为． ∵ 点在边上，轴， ∴ 点的纵坐标为． 把代入，得， 解得． ∴ 点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分母有理数的计算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 某初级中学数学兴趣小组为了解本校学生的年龄情况，随机抽取了该校部分学生的年龄作为样本，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图．依据相关信息解答以下问题： （1）写出样本容量 ，并补全条形统计图： （2）该校被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁． （3）若该校一共有1000名学生．估计该校学生年龄在15岁及以上的人数． 【答案】（1）50，补充完整的条形统计图如图所示； （2）15，14 （3）该校学生年龄在15岁及以上的有400人 【解析】 【分析】（1）根据12岁的人数除以所占百分比可求样本容量，样本容量乘以14岁所占百分比可求14岁的人数，样本容量减去其它组人数可求16岁的人数； （2）出现次数最多的数据为众数，先排序，当总数为偶数时，排在中间两个数据的平均数为中位数，据此求解即可； （3）根据1000乘以学生年龄在15岁及以上所占百分比即可得解． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 14岁的有：（人）， 16岁的有：（人）， 补充完整的条形统计图略 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，众数是15岁， 把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则中位数是（岁）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生年龄在15岁及以上的有400人． 18. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：如图， ∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 （2）本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． 【小问2详解】 解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 20. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积； 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的半径，恰好经过点D，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，即可证明结论； （2）设的半径为R，易得，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为R， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴阴影部分的面积为． 21. 如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接． （1）求证：； （2）取边的中点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， 点是边的中点，即， ， 又∵， ； （2） 证明：如图2， 由（1）知：， ，， ， ， ， 又， ∵， ， 点是边的中点，点是边的中点， ， 在中，，即， ． 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，结合点是边的中点，得到，最后结合，即可得证； （2）由（1）可知，得到，，再证明，推出，然后证明，得到，最后利用，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角，解直角三角形，熟练掌握以上知识点灵活证明三角形相似是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． （1）求该反比例函数的表达式； （2）点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； （3）连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P坐标为 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； 【小问3详解】 解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 23. 如图1，和是有公共顶点的两个三角形，在线段上，，． （1）【问题发现】如图2，若，，连接，则、的关系是 (请直接写出结果)． （2）【解决问题】如图3，如果，，，，且满足，连接，求的长．小明经过思考发现可以构造如图所示的图形解决问题，过点作，交的延长线于点，证明，从而求出的长．请你按照小明的思路求出长． （3）【拓展探究】如图4，在中，是直径，点为直径上方半圆上一点，，，若点也在上，且满足，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，进而可得，即可得出结论； （2）过点作于，根据，得出，则，证明，进而得出，，根据勾股定理，即可求解； （3）分两种情况讨论，当点与点在同侧时，如图，过点作于，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质可得，即可求得；当点与点在的异侧时，如图4-1，过点作于，同理可求，，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，， 又，， ， ，， ， ， 综上所述，，； 【小问2详解】 如图，过点作于， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 【小问3详解】 当点与点在同侧时，如图，过点作于， 是直径， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 或不合题意舍去， ，， ， ∴ ， ， ， ， 当点与点在的异侧时，如图4-1，过点作于， 同理可求， ， ， ∴ ， ， ， ， 综上所述：为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $