精品解析：2025年广东省梅州市兴宁市宋声学校中考一模数学试题

广东省初中学业水平考试 数学模拟卷（一） 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（　　） A. 2025 B. 1 C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为__________． 12. 不等式组，的解集是_______． 13. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 14. 计算：________． 15. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分． （2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高？请说明理由． 18. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在等腰三角形中，，． （1）在上作一点，使平分；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）求证：是等腰三角形． 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 21. 综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】（1）如图1，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 23. 【问题背景】 正方形与正方形相邻，点O，C，F在同一条直线上．以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．若过A，B，E三点（圆心P在x轴上），抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为G，M是的中点，正方形的面积为1． 【构建联系】 （1）求抛物线的解析式． （2）求证：是的切线． 【深入探究】 （3）设是抛物线上的一个动点（不与点C，G重合）．当时，请求出点N的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省初中学业水平考试 数学模拟卷（一） 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 3. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 6. 象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的求法，让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率． 【详解】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”； 故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是． 故选：C． 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 8. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 9. 已知，则（　　） A. 2025 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，几个非负数的和的结果为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据众数的定义可得的值，再依据中位数的定义即可得答案． 【详解】解：∵，，，，，的众数为， ∴， 把这组数据从小到大排列为：，，，，，， 则中位数为． 故答案为：． 12. 不等式组，的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，据此再求不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以不等式的解集为：； 故答案为： 13. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】 ． 故答案为：． 15. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于的面积，因为的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【详解】解：设与相交于点． 四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． 则，，， ∴， ∴， 阴影部分的面积等于的面积． 的面积等于菱形的面积的一半， 菱形的面积， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. 已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分． （2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高？请说明理由． 【答案】（1）86分 （2） 解：不能判断地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高．理由如下： 地甲、乙两类学校考生人数未知，若地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为85（分）． ∵， ∴不能判断地考生的数学平均分一定比地考生的数学平均分高．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，熟知求平均数的方法是解题的关键． （1）计算出A地考生甲、乙两类学校所有考生的总得分，再除以A地考生的人数即可得到答案； （2）地甲、乙两类学校考生人数未知，则B地的平均分一定大于82分，小于94分，那么B地考生的数学平均分可能比A地考生的数学平均分低，例如地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人可得到B地考生的数学平均分可能比A地考生的数学平均分低，据此可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意，得A地考生的数学平均分为86（分）． 【小问2详解】 略 18. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在等腰三角形中，，． （1）在上作一点，使平分；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 点D即为所求 （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握尺规作角平分线的方法，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据可求出，根据角平分线的性质，三角形内角和定理可得，由此即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】（1）猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 （2）或，当时，取得最大值为1000元 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． 【小问2详解】 解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 21. 综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】（1）如图1，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 【答案】 （1）证明：为的中线， ． 在和中， ． ． ． ． （2）证明：如答题图，延长至点，使得，连接． 由旋转的性质可知，． ， ． 由（1）得， ． 在和中， ． ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，最后根据平行线的性质即可得出． （2）延长至点，使得，连接．由旋转的性质可知，．证明，由全等三角形的性质进一步即可证明． （3）延长至点，使，连接．先证明，再证明，根据得出点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时．然后利用勾股定理以及直角三角形斜线的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如答题图，延长至点，使，连接． 在和中， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． ． ． 点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时． 为的中点，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，为斜边的中点， ． 的长度的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 【问题背景】 正方形与正方形相邻，点O，C，F在同一条直线上．以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．若过A，B，E三点（圆心P在x轴上），抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为G，M是的中点，正方形的面积为1． 【构建联系】 （1）求抛物线的解析式． （2）求证：是的切线． 【深入探究】 （3）设是抛物线上的一个动点（不与点C，G重合）．当时，请求出点N的横坐标的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明：正方形的面积为1， ． 抛物线与轴交于点 ， ， ． ． ， . 在和中， ， ，且． ． . ． 是的切线； （3）或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的应用，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，，，根据正方形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，设，由圆和正方形的轴对称性可知利用勾股定理确定，，得出，确定点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据正方形的性质及抛物线与坐标轴交点得出，确定，利用相似三角形的判定和性质即可得出结果； （3）以为边在轴上方作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，当点在点左侧时，．连接，交于点，连接，利用圆周角定理及三角形外角的性质即可得出结果；当当在点右侧时，，同理可得即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，． 正方形的面积为1， ． ∵过A，B，E三点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则 . ， ， ， 解得或（舍去）. ． . 点在抛物线上， 解得 抛物线的解析式为. （2）略 （3）解：如图，以为边在轴上方作等边三角形，以为圆心，为半径作圆． 当点在点左侧时，． 连接，交于点，连接． ， 当点在点右侧时，． 同理可得， 当时，点的横坐标的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $