折叠问题2026年中考数学第二轮专题（全国通用）

2026中考数学第二轮专题（全国通用） 折叠问题 ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题 1.如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，△DEF是由△DEA沿着DE折叠得到的，连接AF交DE于点G，则下列结论正确的是 (　　) A.CF=EF B.CE=FG C.∠BDF=2∠ADE D.AF⊥BC 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5， ，点D，E分别在AB，AC边上，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，A′E与AB相交于点F，A′D⊥AB．若△BEF与△BCE面积相等，AD的长为（      ） A． B． C． D． 3.如图，在平行四边形纸片ABCD中，  ，AD＝4，∠BCD＝45°．E是线段BC的中点，点F在CD边所在的直线上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，则AC′长度的最小值是（          ） A．2 B. 1 C. D. 4.如图，正方形ABCD的边长为10，E是CD边的中点，BE交对角线AC于点F，将△BCF沿BF折叠得到△BC′F，连接C′E，C′D．下列给出四个结论：①C′E＝DE，②BF＝2EF，③∠C′ED＝∠C′BC，④  ．其中正确的结论有（          ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边AB上一点，且AE＝2，点F是边BC上任一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，连接AC、CB′，则以下结论正确的是（          ） ①当△BEF与△ABC相似时，  ； ②CB′的最小值是  ； ③点B′到AC距离的最小值是  ； ④取CB′的中点P，连接BP，则BP的最大值是  ． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 6.如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B′处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB'＝EB'； 乙：当点B落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（          ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 7.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E，F分别在边AB，CD上．将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M，点C落在点N处，连接MB交EF于点P，连接BF．下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，  ；③△MPF面积的最小值是  ；④BP＝BC中，所有正确结论的序号是（          ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，E是AB的中点，F为边BC上的动点，将△BEF沿EF翻折得到△GEF，将△GEF沿FG翻折得到△GHF，连接AG．下列结论不正确的是（          ） A．EF∥AG B．当点F与点C重合时，AG的延长线经过CD的中点 C．DG长度的最小值为 D．当△BEF三边之比为1: :2时，点H落在AD上 9.正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在CD边上的A′处（点A'不与点C，点D重合），点B落在B′处，A'B′交BC于G．连接AA'，AG交对角线BD于P，Q点．现有以下结论：①A'A平分∠DA'G；②∠GAA'＝45°；③当点A'为CD中点时， ；④ ．上述结论正确的是（      ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，点D为AC的中点，点E为斜边AB上一个动点，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，连接A′A，A′B，下列结论错误的是（          ） A．若点A′与点C不重合时，△A′AD的面积最大值为4.5 B．若点A′不在斜边AB上时，△A′BE的周长最小值为 C．若A′E⊥AB时，A′A的长为 D．若A′D⊥AC时，A′A的长为 二、填空题 11.如图，矩形纸片ABCD，AB＝6，BC＝10，E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处． （1）DF的长为______； （2）过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN的长为______． 12.如图，在矩形ABCD中（BC＞AB），将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E． （1）若 ，则∠AEC′的度数是______； （2）若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为______． 13.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E，F分别是AB，BC上一点，将△ADE沿着直线DE对叠得到△HDE，再将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在线段EH上，落点为点G，连接DG． （1）∠DEF＝______°； （2）若 ，则tan∠GDH的值为______． 14.如图，在矩形ABCD中，AB  ，AD＝2，N为AD的中点，P为边CD上的一点，△NDP沿着NP翻折得到△NQP． （1）若∠DNP＝α，则∠QPC＝______；（用含α的式子表示） （2）若QB＝2，则QP＝______． 15.有一张矩形纸片ABCD，点E为边AD上一点，DE＝2AE，点F在边BC上．把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，B'F与AD相交于点G，且A'B'的延长线经过点D（如图所示）． （1）若∠BFE＝α，则∠A′DA＝______．（用含α的代数式表示） （2）若 ，则AD＝______． 16.在矩形ABCD(AB＜BC)的边上取一点E，将 BCE 沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处. (1)如图①，若  ，则                 ； (2)如图②，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，                 .     图①                  图② 17.如图，在矩形ABCD中， ＝ ，将矩形ABCD折叠，使点A落在BC边上的点E处，折痕为GF，EH交CD于点P，连接AE交GF于点O． （1） 的值是            ； （2）连接CH，若 ＝ ，GF＝2 ，则AF的长为            ． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝4  ，M是AC的中点，N是AB上任意一点，以MN为对称轴折叠△AMN，得到△DMN，点A的对应点为点D（点B，N，D在AC的同一侧）． （1）当MD⊥AB时，∠ANM＝______； （2）当DN⊥AB时，BN的长为______． 19.如图，现有三角形纸片ABC，∠C＝90°，折叠纸片ABC，使得点B与点C重合，得到折痕MN，然后还原；再次折叠纸片ABC，使得AB上的点P与BC上的点Q重合，得到折痕DE，然后还原，且MN，DE，PQ三条线段相交于同一点G． （1）若PQ＝PB，∠A＝α，则∠BDE＝______；（用含α的式子表示） （2）若BC＝3，AC＝2，CQ＝1，则PB的长为______． 20.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，AD上．将该正方形沿EF折叠，使点A落在CD边上的点M处，连接AM，与折痕EF交于点P． （1）若M是CD的中点，则AF的长为______； （2）若G为MN的中点，随着折痕EF位置的变化，PG＋PM的最小值为______． 21.如图，将一张矩形纸片ABCD先沿AF折叠，使点D落在BC上的点D′处，再将△ABE沿AE折叠，使点B落在AD′上的点B′处． （1）若AD＝10，AB＝8，则BE的长为______； （2）若BD＝1，AD′⊥BD于点G，则AB的长为______． 22.如图，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，P为边AD上一点，将矩形以PE所在直线为轴进行翻折，点A的对应为点A′，点B的对应点为点B′，直线A′B′与AD相交于点Q. (1)若E，B′，D三点在同一条直线上，AB= BC，则 的值为            ； (2)若AB=6，BC=12，QD-AP=1，则AP的长为            . 23.如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折到△FBE处，分别延长EF，BF，交BC，CD边于点G，H． （1）若∠ABE＝30°，则BG＝            ； （2）连接DG交BH于点M，若FH＝DH，则              ． 24.如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P.当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时,∠APB的度数可以是______. 25.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D，E分别是AC，BC上的点，DE∥AB,将△CDE沿DE折叠，使点C恰好落在AB上. （1）折痕DE的长为______； （2）将△DCE绕点C旋转至图②位置，使DE∥BC，连接AD，连接BE并延长交AD于点F.则线段AF的长为______. 26.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4 ,点E是BC边上的动点,将△ABE沿直线AE翻折得到△APE,过点P作PF⊥AD,垂足为F,点Q是线段AP上一点,且AQ= PF.当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是______. 27.如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平．点G是边AD上一点，将△ABG沿BG折叠，使点A的对应点A′恰好落在EF上．延长GA′交边CD于点P，交BC延长线于点H． （1）             °； （2）             ． 28.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，连接AD，AB′． （1）AB′的最小值是            ； （2）若△AB′F为直角三角形，则BE的长为            ． 29.如图，有一矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝4，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．点D关于点C的对称点为D′，连接AD′交BC于点O，连接AE并延长交DD′于点G． （1）若∠DAG＝28°，则∠GAD′＝______°； （2）点E到AD′的距离最小值为______． 30.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E,F为AD，BC上两动点，将四边形ABFE沿EF折叠后得到对应四边形A1B1FE，A1B1与AD交于点G，点B1落在CD边上. （1）△DGB1的周长是______； （2）如图②，将正方形展开后，再将△BCB1沿BB1折叠，C点的对应点为点C1，连接DC1，若DC1∥BB1，则DG的长为______. 31.如图，在菱形ABCD中，AB=6，cosB= ，M是AB边上的动点，N是BC边上的动点，将△BMN沿MN翻折得△B′MN，NB′的延长线与AD的延长线交于点E. (1)如图①，当点B′落在CD上时，恰好有B′M⊥AB，此时AM=______； (2)如图②，当AM=2时，移动点N，使点E与点D重合，此时NC=______. 32.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，连接AB′． （1）AB′的最小值是______； （2）若△AB′F为直角三角形，则BE的长为______． 33.如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿BD折叠，点C落在C′处． （1）如图①，若BC′恰好过边AD的一个三等分点(靠近点A)，则 ______； （2）如图②，点E在边BC′上，将△C′DE沿DE折叠，点C′恰好落在线段BD上的点C''处，若EC''＝ DC''，则 ______． 34.如图，在矩形ABCD中，AD＝a，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在边CD上的点F处． （1）若AD＝DF，则 ______； （2）若  ，P为线段AF上的动点，连接BP，EP，则BP+EP的最小值为______（用含a的式子表示）． 35.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为边AD上一个动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∠A′ED的平分线分别交BD，CD于点G，F， （1）当G为EF中点时，AE的长为______； （2）当点E从A运动到D的过程中，DG的最大值为______． $ 2026中考数学第二轮专题（全国通用） 折叠问题 详解详析 一、选择题 1.D　 【解析】由折叠的性质可得△DEA≌△DEF，∴AE=FE，∠ADE=∠FDE，∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∴CE=EF，若CF=EF，则△CEF为等边三角形，∠C=60°，∵△ABC中∠C不一定等于60°，∴CF不一定等于EF，∴A选项结论不一定正确；由折叠的性质可得A，F关于DE对称，∴AF⊥DE，在Rt△EFG中，EF＞FG，∴CE＞FG，∴B选项结论错误；∵∠BDF+∠ADE+∠EDF=180°，∴∠BDF+2∠ADE=180°，若∠BDF=2∠ADE，则∠ADE=45°，∵D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠B=45°，∵△ABC中∠B不一定等于45°，∴∠BDF不一定等于2∠ADE，∴C选项结论不一定正确；由折叠性质可得AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∴D选项结论正确． 2.B 【解析】如答案图，过点E作EH⊥AB于点H，∵A′D⊥AB，可得∠A'DA＝90°，再由折叠性质可得∠ADE＝∠A'DE 135°，AD＝A'D，故∠EDH＝45°，从而△EDH为等腰直角三角形，∴EH＝DH，在Rt△ABC中， ，BC＝5，故可得AB＝10，同理可得AH＝2EH，设AD＝DH＝EH＝A'D＝x，在△DFA'和△HFE中， ，∴△DFA'≌△HFE（AAS），∴DF＝FH ，从而BF＝AB－AD－DF ，∴S△BEF ，S△BCE 25－5x，∵△BEF与△BCE面积相等，∴ 25－5x，解得x （舍去），∴AD ． 答案图 3.C 【解析】如答案图，过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB∥CD，∵∠BCD＝45°，点E是线段BC的中点，∴∠ABG＝∠BCD＝45°，  ，根据折叠的性质得C′E＝CE＝2,根据三角形三边之间的关系，可得AC′≤AE-C′E，当点A，C′，E共线时，AC′最小，∵∠ABG＝45°，∠AGB＝90°，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝BG，根据勾股定理，得  ，解得AG＝BG＝2（负值已舍去），∴EG＝4，∴  ，∴将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，即AC′最小值是  ． 答案图 4.A 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∵点E是CD中点，∴CE＝DE，∵将△BCF沿BF折叠得到△B  F，∴△BCF≌△B  F，∴BC＝B  ，∠CBF＝∠C′BF，在△BCE和△BC′E中，  ，∴△BCE≌△BC′E（SAS），∴CE＝C′E，∴C′E＝DE，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴  2，∴BF＝2EF，故②正确；由①得∠CEB＝∠C′EB，∠BC′E＝∠BCE＝90°，∴∠C′ED＝180°-∠CEB-∠C′EB，∠C′BC＝360°-∠BC′E-∠BCE-∠CEB-∠C′EB＝180°-∠CEB-∠C′EB，∴∠C′ED＝∠C′BC，故③正确；由①得C′E＝DE，∴∠DC′E＝∠C′DE，∵∠CEB＝∠C′EB，∴∠DC′E＝∠CEB，∵CE＝C′E＝DE＝5，DC＝BC＝10，∴tan∠EDC′＝tan∠BEC＝  ＝2，如答案图，过点E作EH⊥C′D，∵C′E＝DE，∴EH＝2DH，DC′＝2DH，∵DE＝5，DE2＝DH2+EH2，∴DH  （负值已舍去），∴C′D＝2  ，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④，共4个，故选A． 答案图 5.B 【解析】∵AB＝3，AE＝2，∴BE＝AB-AE＝1，当△ABC∽△EBF时，  ，∴  ，∴BF  ；当△ABC∽△FBE时，  ，∴  ，∴BF  ；∴BF  或  ，故①错误；∵点B'在以E为圆心，BE为半径的圆上运动，∴当E，B'，C三点共线时，CB'取得最小值，∴CB'最小值＝CE-1  ，故②正确；如答案图，过点E作EH⊥AC于点H，交圆于点G，点B′到AC距离的最小值是HG，∵△AEH∽△ACB，∴  ，∴  ，∴EH  ，∴HG＝EH-1  ，故③正确；取CE的中点Q，连接PQ，BQ，∴PQ是△EB'C的中位线，∴PQ  ，∵BP≤BQ+PQ，BQ  ，∴BP的最大值为  ，故④正确，故选B． 答案图 6.C 【解析】甲：如答案图①，当AB′⊥AB时，∵AB'⊥AB，∴∠BAB'＝90°，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∴∠B'AD＝∠BAD-∠BAB'＝120°-90°＝30°，∴∠AEB'＝∠AB'P-∠B'AD＝60°-30°＝30°，∴∠B'AD＝∠AEB'，∴AB'＝EB'，故甲正确；乙：如答案图②，当B'落在AD上时，点E和B'重合，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，∴△ABP是等边三角形，∴AB＝BP＝B'P＝AB'，∴四边形ABPB′是菱形，故乙正确；丙：如答案图③，当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，∴AE＜AB′＝2，故丙错误，故选C． 答案图①                                    答案图②                                   答案图③  7.A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BMF＝∠EBM，∠EFM＝∠FEB，由折叠的性质得ME＝BE，MF＝BE，EF⊥BM，BP＝MP，在△MFP和△BEP中，  ，∴△MFP≌△BEP（AAS），∴四边形MFBE是平行四边形，∵ME＝BE，∴MF＝BE，∴四边形MFBE是菱形，故①正确；如答案图①，点M与点D重合时，设AE＝x，则DE＝BE＝9-x，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2，∴32+x2＝（9-x）2，解得x＝4，∴BE＝5，∵  ，四边形MFBE是菱形，∴  ，∴  ，∴  ，故②正确；如答案图②，当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形，此时  ，故③正确；在△BCF和△BPF中，∠C＝∠BPF＝90°，BF＝BF，根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断△BCF和△BPF全故无法判断BP与BC相等，所以④错误．                    答案图①                                               答案图②                    8.D 【解析】∵E是AB的中点，∴AE＝BE，由翻折可知BE＝EG，  ，∴AE＝BE＝EG，∴∠EAG＝∠EGA，∵∠BEG＝∠EAG＋∠EGA，∴  ，又∵  ，∴∠EGA＝∠GEF，∴EF∥AG，故A选项不符合题意；当点F与点C重合时，如答案图①，延长AG交CD于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又∵EF∥AG，∴四边形AECM为平行四边形，∴  ，∴M是CD的中点，故B选项不符合题意；如答案图②，连接DE，DG，则DG≥DE－EG，∴当点E，G，D三点共线时，DG的长度最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵  ，AD＝9，在Rt△ADE中，  ，∵EG＝AE＝3，∴DG长度的最小值为  ，故C选项不符合题意；当△BEF三边之比为  时，∵∠B＝90°，∴当BE:  时，即  ，∴∠BFE＝30°，∴EF＝2BE＝FH＝AB，由翻折可知，∠BFE＝∠EFG＝∠GFH＝30°，∴∠BFH＝90°，∴点H落在AD上；当BF:  时，即  ，∴∠BFE＝60°，同理，由翻折可知，∠BFE＝∠EFG＝∠GFH＝60°，∴∠BFH＝180°，∴点H落在BC上，故D选项符合题意． 答案图①                    答案图② 9.D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD＝AB，∠ADA′＝∠ABG＝∠DAB＝90°，∴∠AA′D＝∠A′AB，由翻折的性质可知∠AA′B′＝∠A′AB，∴∠AA′D＝∠AA′B′，∴AA′平分∠DA′G，故①正确；如答案图，过点A作AH⊥A′B′于点H，连接QA′．∵AD⊥DA′，AH⊥A′G，∴AD＝AH＝AB，∵AA′＝AA′，AG＝AG，∴Rt△AA′D≌Rt△AA′H(HL)，Rt△AGH≌Rt△AGB(HL)，∴∠DAA′＝∠HAA′，∠HAG＝∠BAH，∴∠A′AG＝∠A′AH+∠GAH ∠DAB＝45°，故②正确；∵EF垂直平分线段AA′，∴QA＝QA′，∴∠QAA′＝∠QA′A＝45°，∴△AA′Q是等腰直角三角形，∴AA′  AQ，故④正确；∵A′为CD中点，正方形ABCD的边长为4，∴A'D CD＝2，∵正方形沿EF折叠，∴A'E＝AE，∴设A'E＝AE＝x，则DE＝4－x，∵在Rt△A'DE中，A'D2+DE2＝A'E2，∴22+(4－x)2＝x2，解得x＝2.5，∴AE＝2.5，DE＝1.5，∴tan∠DA'E ，∵∠EA′G＝∠EAG＝90°，∴∠DA′E+∠CA′G＝90°，∵∠A′GC+∠CA′G＝90°，∴∠A′GC＝∠DA'E，∴tan∠A′GC ，故③正确． 答案图 10.C 【解析】若点A'与点C不重合时，A'在以点D为圆心的圆上，则当A'D⊥AC时△A'AD的面积最大，则  ，∴  ，故A选项正确，不符合题意；在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，∴  ，由折叠性质得A'E＝AE，A'D＝AD＝3，∴C△A'BE＝A'B＋BE＋A'E＝A'B＋BE＋AE＝A'B＋AB，由于  ，如答案图①，连接BD，∵  ，当A'在BD上时取等号，  ，故B选项正确，不符合题意；①当A'落在AB下方时，如答案图②，过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，AB  ，D为AC的中点，AD＝3，cos∠BAC  ，  ，当A'E⊥AB时，由折叠对称性得∠A'ED＝∠AED＝45°，在Rt△ADF中，  ，DF＝AD  ，  ，A'A  ；②当A'落在AB上方时，如答案图③，过点D作DF⊥AB于点F，同理可得  ，cos∠BAC  ，  ，DF  ，∵∠A'ED＝  ＝135°，∴∠DEF＝135°－90°＝45°，在Rt△DFE中，DF＝EF＝  ，AE＝  －EF＝  ，∴A'A＝  ·  ＝  ，综上所述，A'A＝  或  ，故C选项不正确，符合题意；如答案图④，若A'D⊥AC时，则AD＝A'D  ，在Rt△A'AD中，A'A  ，故D选项正确，不符合题意． 答案图 二、填空题 11.（1）2； （2） ． 【解析】（1）由折叠的性质可得BF＝BC＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，∵AB＝6，∴ ，∴DF＝AD－AF＝10－8＝2； （2）如答案图，连接AC，FC，由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∴CF⊥BE，又∵FM⊥BE，∴F，M，C三点共线，∴FM＝MC，∵∠ABC＝90°，∴ ，∵MN是△ACF的中位线，∴ ． 答案图 12.（1）120°; （2） ． 【解析】（1）如答案图，连接AC，且交BD于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴ ，AD∥BC，∵ ，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，由折叠的性质可得∠C′BD＝∠CBD＝30°，即∠C′BC＝60°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠C′BC＝60°，∴∠AEC′＝120°； 答案图 （2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，由（1）得∠C′BD＝∠CBD＝30°，∠CBD＝∠ADB＝30°，即∠C′BD＝∠ADB，∴BE＝ED，∵BE2＝AB2+AE2，∴ED2＝AB2+（AD－ED）2＝16+（6－ED）2，解得 ，∴S阴影 ． 13.（1）90； （2） ． 【解析】（1）由翻折变换的性质可知∠DEA＝∠DEH，∠FEB＝∠FEG，∴2∠DEH+2∠FEG＝180°，∴∠DEH+∠FEG＝90°，∴∠DEF＝90°； （2）设AE＝EH＝x，则BE＝5－x．∵∠A＝∠B＝∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵∠AED+∠FEB＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，∴△DAE∽△EBF，∴ ，∴ ，解得x＝2或3．经检验x＝2不符合题意舍去，x＝3是分式方程的解，∴AE＝EH＝3，BE＝EG＝2，∴GH＝EH－EG＝3－2＝1，∴tan∠GDH ． 14.（1）2α； (2)  ． 【解析】（1）如答案图，连接BN，延长PN交BA的延长线于点H，∵矩形ABCD中  ，AD＝2，N为边AD的中点，∴AN＝DN＝1，∠BAN＝∠D＝90°，∵△NDP沿着NP翻折得到△NQP，∴∠DNP＝∠QNP，∠DPN＝∠QPN，∵∠DNP＝α，∴∠DPN＝∠QPN＝90°－α，∴∠QPC＝180°－∠DPN－∠QPN＝2α； 答案图 (2)∵△NDP沿着NP翻折得到△NQP，∴NQ＝DN＝1，∠NQP＝∠D＝90°，∵∠DNP＝∠HNA，∴Rt△HAN≌Rt△PND（ASA），∴DP＝AH，  ，∵QB＝2，∴  ，即BN2+NQ2＝BQ2，∴△BNQ为直角三角形，根据题意得∠ANH＝∠DNP，∠DNQ＝2∠ANH，∴∠ANB＝90°－2∠ANH，∠AHN＝90°－∠ANH，∴∠BNH＝90°－∠ANH，∴∠HNB＝∠AHN＝90°－∠ANH，∴△BHN为等腰三角形，∴BH＝BN  ，∴AH＝BH－AB  ，∴PQ＝AH  ． 15.(1）2α－90°； （2）  ． 【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠BFE＝α，∴∠AEF＝180°－α，∠DEF＝∠BFE＝α，根据折叠的性质可得：∠A′＝∠A＝90°，∠A′EF＝∠AEF＝180°－α，∴∠A′ED＝∠A′EF－∠DEF＝180°－2α，∴∠A′DA＝90°－∠A′ED＝2α－90°； （2）∵DE＝2AE，∴设AE＝x，则DE＝2x，∴AD＝3x，∵ ，∴ ，∵把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，∴AB＝A′B′＝4，∠A＝∠A'＝90°，A′E＝AE＝x，∠A′B′F＝∠B＝90°，∴∠DB′G＝90°＝∠A′，∵∠B′DG＝∠A′DE，∴△B′DG∽△A′DE，∴ ，即 ，∴DB′＝2，∴A′D＝6，∵A′E2+A′D2＝DE2，∴x2+62＝4x2，解得： （负值舍去），∴ ． 16.(1)   ； (2)  【解析】(1)根据折叠的性质，得  ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥ ∵  ∴  ，∴  ，  ； (2)如答案图，过N作NG⊥BF 于点G，BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF，∴AN=GN，∵BN=BN，∴Rt△ABN≌Rt△GBN(HL)，∴BG=AB， ∠NFG=∠BFA，  FD，∴AD=BC=2NF，∴AB=2GN.设AN=GN=a，FD=b，则NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b，∴FG=BF－BG=2b，在Rt△NFG 中，由勾股定理得  ，即  ，即    答案图 17.（1）  ； （2）5 【解析】（1）如答案图，作GK⊥AB于点K，易证△AEB∽△GFK，四边形GKBC为矩形，∴  ＝  ，GK＝BC，∴  ＝  ＝   ； 答案图 （2）∵△AEB∽△GFK，GF＝2  ，∴AE＝3  ，又易得∠BEF＝∠CPE＝∠HPG，∴tan∠BEF＝tan∠HPG＝  ，设BE＝a，则BF＝  a，AF＝EF＝  a，∴AB＝3a，则在Rt△AEB中，AB2＋BE2＝AE2，即(3a)2＋a2＝(3  )2，得a＝3，∴AF＝  a＝5(负值已舍去)． 18.（1）120°； （2）  ． 【解析】（1）如答案图①，∵MD⊥AB，MD与AB相交于点O，∴∠AOM＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AMO＝90°－∠A＝60°，由折叠的性质可得 ，∴∠ANM＝180°－∠A－∠AMN＝120°； （2）如答案图②，过点M作ME⊥AB 于点E，∵DN⊥AB，∴∠AND＝∠END＝90°，根据折叠的性质可知 ，∴∠MNE＝45°，∴∠MNE＝∠NME＝45°，.∴ME＝NE，∵M是AC的中点， ，∴ ，∵∠A＝30°，∴ ，∴ ，∴  ，∵ ，∴AB＝2BC，∴AB2－BC2＝3BC2＝AC2＝48，∴BC＝4，∴AB＝8，∴ . 19.（1）2α－90°； (2) ． 【解析】（1）根据题意得DE垂直平分PQ，∴∠QGE＝90°，∴∠QEG＝90°－∠PQB，∵∠ACB＝90°，∠A＝α，∴∠B＝90°－α，∵PQ＝PB，∴∠B＝∠PQB，∵∠QEG＝∠BDE+∠B，∴∠BDE＝∠QEG－∠B，∴∠BDE＝（90°－∠PQB）－∠B＝（90°－∠B）－∠B＝90°－2（90°－α）＝2α－90°； （2）如答案图，作PF⊥BC于点F，∵∠ACB＝90°，∴AC∥PF， ，∵BC＝3，CQ＝1，∴BQ＝BC－CQ＝3－1＝2，∵PQ＝PB，∴ ，∵PF∥AC，∴ ，∴ . 答案图 20.（1） ； （2）3 【解析】（1）根据折叠的性质可得EF是AM的垂直平分线，∴AF＝MF，设AF＝MF＝x，则DF＝6－x．∵M是CD的中点，∴DM CD＝3，在Rt△DFM中，DF2＋DM2＝FM2，即(6－x)2＋32＝x2，解得x ，即AF的长为 ； （2）如答案图，取AB的中点Q，连接QP，PG，PD，AM，由折叠的对称性可知PQ＝PG．∵G为MN的中点，△ADM为直角三角形，∴PD AM＝PM，∴PG＋PM＝PQ＋DP≥DQ，当且仅当D，P，Q三点共线时PG＋PM最小，最小值 3  ． 答案图 21.（1） ； （2） ． 【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由折叠的性质得AD′＝AD＝10，AB′＝AB＝8，B′E＝BE，∠AB′E＝∠ABE＝90°，∴B′D′＝AD′－AB′＝10－8＝2，∠EB′D′＝90°，∵BD′ 6，∴D′E＝6－BE，∵B′E2+B′D′2＝D′E2，∴BE2+22＝（6－BE）2，解得BE ； （2）∵AD′⊥BD于点G，∴∠AGB＝∠AGD＝∠D′BA＝∠BAD＝90°，∴∠ADG＝∠D′AB＝90°－∠DAD′，在△ADG和△D′AB中， ，∴△ADG≌△D′AB（AAS），∴DG＝AB，∵BD＝1，∴BG＝1－DG＝1－AB，∵cos∠ABD ，∴AB2＝BD•BG，∴AB2＝1－AB，解得AB 或AB （不符合题意，舍去）. 22.(1) ； (2)3 【解析】(1)当E，B′，D在同一条直线上时，如答案图①，连接DB′，∵AB= BC，E是BC的中点，∴CE=CD，∴∠DEC=45°，∴∠QDB′=∠DEC=45°，∵∠A′B′E=∠B=90°，∴∠A′QP=∠DQB′=45°.又∵∠A′=∠A=90°，∴ = ； 答案图① (2)如答案图②，连接AE，ED，A′D，A′E.∵E为BC边的中点，∴EA=EA′=ED，∴∠EA′D=∠EDA′.易证∠EA′B′=∠EDA=45°，∴∠QA′D=∠QDA′，∴A′Q=QD.设AP=x，则A′P=x，QA′=QD=x+1，PQ=AD-AP-QD=11-2x.在Rt△A′PQ中，由勾股定理得x2+(x+1)2=(11-2x)2，解得x1=3，x2=20(舍去)，即AP=3. 答案图② 23.（1）  ； （2）  【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠A＝90°，△ABE沿BE翻折到△FBE，∴∠ABE＝∠FBE＝30°，∠BFE＝∠A＝90°，FB＝AB＝3，∴∠BFG＝180°－∠BFE＝90°，∠FBG＝90°－∠ABE－∠FBE＝30°，∴  ； （2）如答案图，过点G作GQ∥CD交BH于点Q，连接GH，由（1）得BF＝AB＝3，∠BFG＝∠HFG＝90°，在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，BC＝4，∴BC2＋CH2＝BH2，∵FH＝DH，BH＝BF＋FH，∴42＋(3－DH)2＝(3＋DH)2，解得  ，∴  ，∵∠BCD＝90°，∴GC2＋CH2＝GH2，即  ，∵∠BFG＝∠HFG＝90°，∴FG2＝BG2－BF2，GH2－FH2＝FG2，∴BG2－BF2＝GH2－FH2，∴(4－GC)2－32＝GC2  ，解得GC  ，∴BG＝BC－GC  ，∵GQ∥CD，∴△BGQ∽△BCH，△GMQ∽△DMH，∴  ，即  ，  ，∴QG  ，∴  ． 答案图 24.82.5°或52.5°或37.5° 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，由折叠的性质得∠PAB′=∠PAB=  ∠BAB′，如答案图①，∠BAB′=15°，∵∠PAB= ×15°=7.5°，∴∠APB=90°-∠PAB=82.5°；如答案图图②，∠DAB′=15°，且点B′在边AD下方，∵∠BAB′=∠BAD-∠DAB′=75°，∴∠PAB= ×75°=37.5°，∴∠APB=90°-∠PAB=52.5°；如答案图③，∠DAB′=15°，且点B′在边AD上方，∵∠BAB′=∠BAD+∠DAB′=105°，∴∠PAB= ×105°=52.5°，∴∠APB=90°-∠PAB=37.5°，综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°. 答案图 25.（1）5； （2） 【解析】（1）∵AC=6，BC=8，DE∥AB,且将△CDE沿DE折叠，使点C恰好落在AB上，∴D，E分别为AC，BC的中点，∴CD=3，CE=4，∴DE=5； （2）如答案图，设DE交AC于点M，∵DE∥BC，∠ACB=90°，∴CM⊥DE，由题意得CD⊥CE，且点D，E分别为AC，BC的中点，∴CD·CE=DE·CM.由（1）得DE=5，∴CM= ，∴DM= ，∴AM=6- = .令AC与BF交于点H，延长AD，BC交于点G，∵DE∥BC，∴∠AMD=∠ACG，∠DAM=∠GAC，∴△ADM∽△AGC ，∴ = ，∴ = ，解得CG=3，易证△BCE∽△ACD,∴tan∠GAC= = =tan∠CBH= = ，∴CH=4，AH=2.设FH=x，则AF=2x，∴x2+(2x)2=22，解得x= (负值已舍去)，∴AF= . 答案图 26. 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠B=90°，由翻折可得，AP=AB=4，如答案图①，当点P在矩形内部时，过点Q作HQ⊥AP，交AB于点H，则∠AQH=90°=∠BAD，∴∠AHQ=∠PAF=90°-∠HAQ，∵PF⊥AD，∴∠PFA=90°=∠AQH，∴△AQH∽△PFA，∴ = ，∵AQ= PF，∴ = = ，∴AH= AP=2，∴点Q在以AH为直径的⊙G上运动，∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH(半圆在矩形内)，∴点Q运动的路径长为 ×2π=π；如答案图②，当点P在矩形ABCD的外部时，过点Q作KQ⊥AP，交BA的延长线于点K，同理可得∠AKQ=∠PAF，△AKQ∽△PAF，AK= AP=2，∴点Q在以AK为直径的⊙O上运动，连接OQ，当点E运动到点C时，∵AB=4,BC=4  ，∠B=90°，∴tan∠BAC= = ，∴∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，∠PAC=∠BAC=60°，∴∠PAF=∠PAC-∠CAD=30°，∴∠AKQ=∠PAF=30°，∴∠AOQ=2∠AKQ=60°，∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ，路径长为 = ，∴点Q运动的路径长为π+ = . 答案图 27.（1）60； （2）  28.（1） ； （2）1/  【解析】（1）由题意可得，CD＝BD＝B′D，∴B′在以D为圆心，CD为半径的圆上，如答案图①所示，在点B′运动过程中，在△ADB′中，由三角形三边关系得，AB′≥AD－B′D，在变化过程中，AD和B′D保持不变，故AB′的最小值为AD－B′D，即如答案图②所示，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，∴  ，AB＝2AC＝4，∴  ，在Rt△ACD中，AC＝2，  ，∴  ，故AB′的最小值为  ； 答案图①                答案图② （2）△AB′F为直角三角形，分两种情况：情况一：当∠AFB′＝90°时，如答案图③，在Rt△BDF中，  ，∠B＝30°，∴  ，设BE＝x，  ，在Rt△B′EF中，∠EB′F＝∠B＝30°，  ，B′E＝BE＝x，∴B′E＝EFsin∠EBʹF，即  ，解得x＝1，即BE＝x＝1．情况二：当∠AB′D＝90°时，过点E作EH⊥AH交AB′的延长线于H点，如答案图④，由折叠的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝30°，∵∠AB′D＝90°，∴∠AB′E＝∠ABD＋∠DBʹE＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，设BE＝B′E＝x，∴在Rt△B′EH中，  ，  ，在Rt△ACD和Rt△AB′D中，  ，∴Rt△ACD≌Rt△AB′D(HL)，∴AB′＝AC＝2，在Rt△AHE中，  ，  ，AE＝4－x，∴  ，解得  ．综上所述，BE的长是1或  ． 答案图③                                                 答案图④ 29.（1）17°， （2） 【解析】（1）在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，由对称的性质可得D′C＝DC＝AB，∠BCD′＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∵∠AOB＝∠D′OC，∴△ABO≌△D′CO，∴ ，∴∠BAO＝∠BOA＝45°，∴∠GAD′＝∠BAD－∠DAG－∠BAO＝90°－28°－45°＝17°； （2）如答案图，连接OD，由（1）得 ，∴AD＝D′D，又由△ABO≌△D′CO可知AO＝D′O，∴DO⊥AD′，∴在Rt△ADD′中， ，∴  ，由折叠得性质可知DE＝DC＝2，∴点E在以点D为圆心，DC为半径的弧上运动，∴点E到AD′的距离最小值为 ． 答案图 30.（1）8； （2） 　 【解析】（1）如答案图①，连接BG,BB1,过点B作BH⊥A1B1于点H，∵FB=FB1，∴∠FBB1=∠FB1B，由折叠可知∠ABF=∠A1B1F，∴∠ABB1=∠A1B1B，∵AB∥DC，∴∠ABB1=∠BB1C，∴∠A1B1B=∠BB1C，又∵BH⊥A1B1,B1C⊥BC，∴∠BHB1=∠BCB1，又∵BB1=BB1，∴△HBB1≌△CBB1（AAS），∴BC=BH=BA，B1H=B1C，∴△ABG≌△HBG(HL），∴GA=GH，∴△DGB1的周长为DG+GH+HB1+DB1=DA+DC=8； （2）如答案图②，∵DC1∥BB1，∴∠B1C1D=∠C1B1B，∠BB1C=∠B1DC1，由折叠性质知，∠C1B1B=∠BB1C,∴∠B1C1D=∠B1DC1，∴B1C1=B1D=B1C，∴B1为CD的中点，∴B1D=2，设DG=x，由（1）知△DGB1的周长为8，则B1G=8-2-x=6-x，在Rt△B1GD中，x2+22=(6-x)2,解得x= . 答案图 31.（1）6-3 ； （2）4 -10　 【解析】(1)当点B′落在CD上时，恰好有B′M⊥AB,如答案图①，过点C作CK⊥AB于点K，易得四边形KMB′C是矩形，∴MB′=CK,在Rt△CKB中，BC=AB=6，cosB= ,可得BK=3,CK=3 ,∴MB′=3 ,∴BM=3 ，AM=6-BM=6-3 ； （2）如答案图②，设NM与DA的延长线交于点P，过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q，由翻折可知∠BNM=∠B′NM，∵AD∥BC，∴∠DPN=∠BNM，∴∠DPN=∠DNM，∴△DPN为等腰三角形.∵AM∶BM=2∶4=1∶2,∴易得△APM与△BNM的相似比为1∶2，设AP=x，则PD=DN=6+x，BN=2x，∴CN=6-2x,在Rt△CDQ中，易得∠DCQ＝∠B,∴cos∠DCQ=cosB= ,CD=6,∴CQ=3,∴DQ= =3 ，在Rt△NDQ中,NQ2+DQ2=ND2,即（6-2x+3）2+(3 )2=(6+x)2，解得x1=2 +8(舍去）,x2=-2 +8，∴NC=6-2x=4 -10. 答案图 32.（1） ； （2）1或 【解析】（1）由题意可得，CD＝BD＝B′D，如答案图①，点B′在以点D为圆心，CD为半径的圆上，在点B′运动过程中，在△ADB′中，由三边关系得，AB′≥AD－B′D，在变化过程中，AD和B′D保持不变，故AB′的最小值为AD－B′D，如答案图②，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，∴ ，AB＝2AC＝4，∴ ，在Rt△ACD中，AC＝2， ，∴ ，故AB′的最小值为 ； （2）△AB′F为直角三角形，分两种情况：①如答案图③，∠AFB′＝90°，在Rt△BDF中， ，∠B＝30°，∴ ，设BE＝x，则 ，在Rt△B′EF中，∠EB′F＝30°， ，B′E＝x，∴B′E＝2EF，即 ，解得x＝1，即BE＝1．②如答案图④，∠AB′D＝90°，过点E作EH⊥AH交AB′的延长线于点H，由折叠的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝30°，∵∠AB′D＝90°，∴∠AB′E＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，设BE＝B′E＝x，∴在Rt△B′EH中，  ，  ，在Rt△ACD和Rt△AB′D中， ，∴Rt△ACD≌Rt△AB′D(HL)，∴AB′＝AC＝2，在Rt△AHE中，AH2＋HE2＝AE2，  ， ，AE＝AB－BE＝4－x，∴ ，解得 ．综上所述，BE的长为1或 ． 33.（1） ； （2） 【解析】（1）如答案图，设BC'交AD于点M，则MD＝2MA，由折叠的性质可得∠DBM＝∠DBC，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDB＝∠DBC，∴∠MDB＝∠DBM，∴MD＝BM，∴BM＝2AM，∴AB AM，∴ ； 答案图 （2）设AD＝BC＝x，AB＝CD＝2y，由折叠的性质可得C'D＝C''D＝CD＝2y，C''E＝C'E，∵EC'' DC''，∴C''E＝C''E＝y，∴BE＝x－y，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD ，在Rt△BC'D和Rt△BC''E中，sin∠DBE ，∴ ，∴ 2(x－y)，∴x2＋4y2＝4x2－8xy＋4y2，∴x(3x－8y)＝0，∵x≠0，解得x y(不合题意的已舍去)，∴ ． 34.（1） ； （2） 【解析】（1）由题可知，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°，EF＝BE，∠AFE＝∠ABE＝90°，∵AD＝DF，∴∠AFD＝∠FAD＝45°，∴∠CFE＝180°-∠AFD-∠AFE＝45°，∴ ，∴ ，∴ ； （2）如答案图，作点E关于直线AF的对称点E′，过点E′作E′Q⊥BC交BC延长线于点Q，∵ ，∴ ，∴∠DAF＝30°，∴∠DFA＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2CE，设CE＝x，则BE＝EF＝2EC＝2x，则 ，∵EE′＝2EF，PE＝PE′，∵∠E′QE＝∠FCE＝90°，∠E′EQ＝∠FEC，∴△E′EQ∽△FEC，∴ ，∴ ，EQ＝2x，BQ＝4x，∴    ，∵BP+PE＝BP+PE′，∴当B，P，E′三点共线时，BP+PE′有最小值，即此时BP+PE有最小值，最小值为BE′的长，∵BC＝AD＝BE+CE＝3x＝a，∴ ．   答案图 35.（1） （2） 【解析】（1）∵将△ABE沿AE折叠得到△A′BE，∠A′ED的平分线分别交BD，CD于点G，F，∴∠A′EB＝∠AEB，∠A′EF＝∠DEF，∴  ，∴∠ABE＝∠DEF＝90°﹣∠AEB，∵G为EF中点时，∴DG＝EG＝FG．∴∠DEF＝∠GDE．∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠DBC．∴∠ABE＝∠DBC．∴△ABE∽△CBD．∴ ，即 ，∴ ； （2）如答案图①，由折叠的性质可得，BE＝AB＝6，∴点A′在以B为圆心，AB为半径的圆上运动，连接 G， G+ B≥BG，如答案图②，当点  ，G，B，三点共线时，  G最小，即DG最大，此时 ⊥BD，∵矩形 ，∴ ．∵ ， ， ，∴ ．∵将  沿  翻折得 ，∴ ， ， ．∴ ．∵ ，∴  ．∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．∴ ．∴ ．∵ ，∴  ．∴ ．∴ 的最大值为 ． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学第二轮专题（全国通用） 折叠问题 一、选择题 1.如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，△DEF是由△DEA沿着DE折叠得到的，连接AF交DE于点G，则下列结论正确的是 (　　) A.CF=EF B.CE=FG C.∠BDF=2∠ADE D.AF⊥BC 1.D　 【解析】由折叠的性质可得△DEA≌△DEF，∴AE=FE，∠ADE=∠FDE，∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∴CE=EF，若CF=EF，则△CEF为等边三角形，∠C=60°，∵△ABC中∠C不一定等于60°，∴CF不一定等于EF，∴A选项结论不一定正确；由折叠的性质可得A，F关于DE对称，∴AF⊥DE，在Rt△EFG中，EF＞FG，∴CE＞FG，∴B选项结论错误；∵∠BDF+∠ADE+∠EDF=180°，∴∠BDF+2∠ADE=180°，若∠BDF=2∠ADE，则∠ADE=45°，∵D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠B=45°，∵△ABC中∠B不一定等于45°，∴∠BDF不一定等于2∠ADE，∴C选项结论不一定正确；由折叠性质可得AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∴D选项结论正确． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5， ，点D，E分别在AB，AC边上，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，A′E与AB相交于点F，A′D⊥AB．若△BEF与△BCE面积相等，AD的长为（      ） A． B． C． D． 2.B 【解析】如答案图，过点E作EH⊥AB于点H，∵A′D⊥AB，可得∠A'DA＝90°，再由折叠性质可得∠ADE＝∠A'DE 135°，AD＝A'D，故∠EDH＝45°，从而△EDH为等腰直角三角形，∴EH＝DH，在Rt△ABC中， ，BC＝5，故可得AB＝10，同理可得AH＝2EH，设AD＝DH＝EH＝A'D＝x，在△DFA'和△HFE中， ，∴△DFA'≌△HFE（AAS），∴DF＝FH ，从而BF＝AB－AD－DF ，∴S△BEF ，S△BCE 25－5x，∵△BEF与△BCE面积相等，∴ 25－5x，解得x （舍去），∴AD ． 答案图 3.如图，在平行四边形纸片ABCD中，  ，AD＝4，∠BCD＝45°．E是线段BC的中点，点F在CD边所在的直线上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，则AC′长度的最小值是（          ） A．2 B. 1 C. D. 3.C 【解析】如答案图，过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB∥CD，∵∠BCD＝45°，点E是线段BC的中点，∴∠ABG＝∠BCD＝45°，  ，根据折叠的性质得C′E＝CE＝2,根据三角形三边之间的关系，可得AC′≤AE-C′E，当点A，C′，E共线时，AC′最小，∵∠ABG＝45°，∠AGB＝90°，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝BG，根据勾股定理，得  ，解得AG＝BG＝2（负值已舍去），∴EG＝4，∴  ，∴将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，即AC′最小值是  ． 答案图 4.如图，正方形ABCD的边长为10，E是CD边的中点，BE交对角线AC于点F，将△BCF沿BF折叠得到△BC′F，连接C′E，C′D．下列给出四个结论：①C′E＝DE，②BF＝2EF，③∠C′ED＝∠C′BC，④  ．其中正确的结论有（          ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.A 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∵点E是CD中点，∴CE＝DE，∵将△BCF沿BF折叠得到△B  F，∴△BCF≌△B  F，∴BC＝B  ，∠CBF＝∠C′BF，在△BCE和△BC′E中，  ，∴△BCE≌△BC′E（SAS），∴CE＝C′E，∴C′E＝DE，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴  2，∴BF＝2EF，故②正确；由①得∠CEB＝∠C′EB，∠BC′E＝∠BCE＝90°，∴∠C′ED＝180°-∠CEB-∠C′EB，∠C′BC＝360°-∠BC′E-∠BCE-∠CEB-∠C′EB＝180°-∠CEB-∠C′EB，∴∠C′ED＝∠C′BC，故③正确；由①得C′E＝DE，∴∠DC′E＝∠C′DE，∵∠CEB＝∠C′EB，∴∠DC′E＝∠CEB，∵CE＝C′E＝DE＝5，DC＝BC＝10，∴tan∠EDC′＝tan∠BEC＝  ＝2，如答案图，过点E作EH⊥C′D，∵C′E＝DE，∴EH＝2DH，DC′＝2DH，∵DE＝5，DE2＝DH2+EH2，∴DH  （负值已舍去），∴C′D＝2  ，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④，共4个，故选A． 答案图 5.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边AB上一点，且AE＝2，点F是边BC上任一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，连接AC、CB′，则以下结论正确的是（          ） ①当△BEF与△ABC相似时，  ； ②CB′的最小值是  ； ③点B′到AC距离的最小值是  ； ④取CB′的中点P，连接BP，则BP的最大值是  ． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 5.B 【解析】∵AB＝3，AE＝2，∴BE＝AB-AE＝1，当△ABC∽△EBF时，  ，∴  ，∴BF  ；当△ABC∽△FBE时，  ，∴  ，∴BF  ；∴BF  或  ，故①错误；∵点B'在以E为圆心，BE为半径的圆上运动，∴当E，B'，C三点共线时，CB'取得最小值，∴CB'最小值＝CE-1  ，故②正确；如答案图，过点E作EH⊥AC于点H，交圆于点G，点B′到AC距离的最小值是HG，∵△AEH∽△ACB，∴  ，∴  ，∴EH  ，∴HG＝EH-1  ，故③正确；取CE的中点Q，连接PQ，BQ，∴PQ是△EB'C的中位线，∴PQ  ，∵BP≤BQ+PQ，BQ  ，∴BP的最大值为  ，故④正确，故选B． 答案图 6.如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上B′处，射线PB′与射线AD交于点E． 甲：当AB′⊥AB时，AB'＝EB'； 乙：当点B落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（          ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 6.C 【解析】甲：如答案图①，当AB′⊥AB时，∵AB'⊥AB，∴∠BAB'＝90°，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∴∠B'AD＝∠BAD-∠BAB'＝120°-90°＝30°，∴∠AEB'＝∠AB'P-∠B'AD＝60°-30°＝30°，∴∠B'AD＝∠AEB'，∴AB'＝EB'，故甲正确；乙：如答案图②，当B'落在AD上时，点E和B'重合，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，∴△ABP是等边三角形，∴AB＝BP＝B'P＝AB'，∴四边形ABPB′是菱形，故乙正确；丙：如答案图③，当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，∴AE＜AB′＝2，故丙错误，故选C． 答案图①                                    答案图②                                   答案图③  7.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E，F分别在边AB，CD上．将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M，点C落在点N处，连接MB交EF于点P，连接BF．下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，  ；③△MPF面积的最小值是  ；④BP＝BC中，所有正确结论的序号是（          ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7.A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BMF＝∠EBM，∠EFM＝∠FEB，由折叠的性质得ME＝BE，MF＝BE，EF⊥BM，BP＝MP，在△MFP和△BEP中，  ，∴△MFP≌△BEP（AAS），∴四边形MFBE是平行四边形，∵ME＝BE，∴MF＝BE，∴四边形MFBE是菱形，故①正确；如答案图①，点M与点D重合时，设AE＝x，则DE＝BE＝9-x，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2，∴32+x2＝（9-x）2，解得x＝4，∴BE＝5，∵  ，四边形MFBE是菱形，∴  ，∴  ，∴  ，故②正确；如答案图②，当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形，此时  ，故③正确；在△BCF和△BPF中，∠C＝∠BPF＝90°，BF＝BF，根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断△BCF和△BPF全故无法判断BP与BC相等，所以④错误．                    答案图①                                               答案图②                    8.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，E是AB的中点，F为边BC上的动点，将△BEF沿EF翻折得到△GEF，将△GEF沿FG翻折得到△GHF，连接AG．下列结论不正确的是（          ） A．EF∥AG B．当点F与点C重合时，AG的延长线经过CD的中点 C．DG长度的最小值为 D．当△BEF三边之比为1: :2时，点H落在AD上 8.D 【解析】∵E是AB的中点，∴AE＝BE，由翻折可知BE＝EG，  ，∴AE＝BE＝EG，∴∠EAG＝∠EGA，∵∠BEG＝∠EAG＋∠EGA，∴  ，又∵  ，∴∠EGA＝∠GEF，∴EF∥AG，故A选项不符合题意；当点F与点C重合时，如答案图①，延长AG交CD于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又∵EF∥AG，∴四边形AECM为平行四边形，∴  ，∴M是CD的中点，故B选项不符合题意；如答案图②，连接DE，DG，则DG≥DE－EG，∴当点E，G，D三点共线时，DG的长度最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵  ，AD＝9，在Rt△ADE中，  ，∵EG＝AE＝3，∴DG长度的最小值为  ，故C选项不符合题意；当△BEF三边之比为  时，∵∠B＝90°，∴当BE:  时，即  ，∴∠BFE＝30°，∴EF＝2BE＝FH＝AB，由翻折可知，∠BFE＝∠EFG＝∠GFH＝30°，∴∠BFH＝90°，∴点H落在AD上；当BF:  时，即  ，∴∠BFE＝60°，同理，由翻折可知，∠BFE＝∠EFG＝∠GFH＝60°，∴∠BFH＝180°，∴点H落在BC上，故D选项符合题意． 答案图①                    答案图② 9.正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在CD边上的A′处（点A'不与点C，点D重合），点B落在B′处，A'B′交BC于G．连接AA'，AG交对角线BD于P，Q点．现有以下结论：①A'A平分∠DA'G；②∠GAA'＝45°；③当点A'为CD中点时， ；④ ．上述结论正确的是（      ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9.D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD＝AB，∠ADA′＝∠ABG＝∠DAB＝90°，∴∠AA′D＝∠A′AB，由翻折的性质可知∠AA′B′＝∠A′AB，∴∠AA′D＝∠AA′B′，∴AA′平分∠DA′G，故①正确；如答案图，过点A作AH⊥A′B′于点H，连接QA′．∵AD⊥DA′，AH⊥A′G，∴AD＝AH＝AB，∵AA′＝AA′，AG＝AG，∴Rt△AA′D≌Rt△AA′H(HL)，Rt△AGH≌Rt△AGB(HL)，∴∠DAA′＝∠HAA′，∠HAG＝∠BAH，∴∠A′AG＝∠A′AH+∠GAH ∠DAB＝45°，故②正确；∵EF垂直平分线段AA′，∴QA＝QA′，∴∠QAA′＝∠QA′A＝45°，∴△AA′Q是等腰直角三角形，∴AA′  AQ，故④正确；∵A′为CD中点，正方形ABCD的边长为4，∴A'D CD＝2，∵正方形沿EF折叠，∴A'E＝AE，∴设A'E＝AE＝x，则DE＝4－x，∵在Rt△A'DE中，A'D2+DE2＝A'E2，∴22+(4－x)2＝x2，解得x＝2.5，∴AE＝2.5，DE＝1.5，∴tan∠DA'E ，∵∠EA′G＝∠EAG＝90°，∴∠DA′E+∠CA′G＝90°，∵∠A′GC+∠CA′G＝90°，∴∠A′GC＝∠DA'E，∴tan∠A′GC ，故③正确． 答案图 10.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，点D为AC的中点，点E为斜边AB上一个动点，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，连接A′A，A′B，下列结论错误的是（          ） A．若点A′与点C不重合时，△A′AD的面积最大值为4.5 B．若点A′不在斜边AB上时，△A′BE的周长最小值为 C．若A′E⊥AB时，A′A的长为 D．若A′D⊥AC时，A′A的长为 10.C 【解析】若点A'与点C不重合时，A'在以点D为圆心的圆上，则当A'D⊥AC时△A'AD的面积最大，则  ，∴  ，故A选项正确，不符合题意；在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，∴  ，由折叠性质得A'E＝AE，A'D＝AD＝3，∴C△A'BE＝A'B＋BE＋A'E＝A'B＋BE＋AE＝A'B＋AB，由于  ，如答案图①，连接BD，∵  ，当A'在BD上时取等号，  ，故B选项正确，不符合题意；①当A'落在AB下方时，如答案图②，过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，AB  ，D为AC的中点，AD＝3，cos∠BAC  ，  ，当A'E⊥AB时，由折叠对称性得∠A'ED＝∠AED＝45°，在Rt△ADF中，  ，DF＝AD  ，  ，A'A  ；②当A'落在AB上方时，如答案图③，过点D作DF⊥AB于点F，同理可得  ，cos∠BAC  ，  ，DF  ，∵∠A'ED＝  ＝135°，∴∠DEF＝135°－90°＝45°，在Rt△DFE中，DF＝EF＝  ，AE＝  －EF＝  ，∴A'A＝  ·  ＝  ，综上所述，A'A＝  或  ，故C选项不正确，符合题意；如答案图④，若A'D⊥AC时，则AD＝A'D  ，在Rt△A'AD中，A'A  ，故D选项正确，不符合题意． 答案图 二、填空题 11.如图，矩形纸片ABCD，AB＝6，BC＝10，E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处． （1）DF的长为______； （2）过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN的长为______． 11.（1）2； （2） ． 【解析】（1）由折叠的性质可得BF＝BC＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，∵AB＝6，∴ ，∴DF＝AD－AF＝10－8＝2； （2）如答案图，连接AC，FC，由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∴CF⊥BE，又∵FM⊥BE，∴F，M，C三点共线，∴FM＝MC，∵∠ABC＝90°，∴ ，∵MN是△ACF的中位线，∴ ． 答案图 12.如图，在矩形ABCD中（BC＞AB），将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E． （1）若 ，则∠AEC′的度数是______； （2）若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为______． 12.（1）120°; （2） ． 【解析】（1）如答案图，连接AC，且交BD于点O，∵四边形ABCD是矩形，∴ ，AD∥BC，∵ ，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，由折叠的性质可得∠C′BD＝∠CBD＝30°，即∠C′BC＝60°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠C′BC＝60°，∴∠AEC′＝120°； 答案图 （2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，由（1）得∠C′BD＝∠CBD＝30°，∠CBD＝∠ADB＝30°，即∠C′BD＝∠ADB，∴BE＝ED，∵BE2＝AB2+AE2，∴ED2＝AB2+（AD－ED）2＝16+（6－ED）2，解得 ，∴S阴影 ． 13.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E，F分别是AB，BC上一点，将△ADE沿着直线DE对叠得到△HDE，再将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在线段EH上，落点为点G，连接DG． （1）∠DEF＝______°； （2）若 ，则tan∠GDH的值为______． 13.（1）90； （2） ． 【解析】（1）由翻折变换的性质可知∠DEA＝∠DEH，∠FEB＝∠FEG，∴2∠DEH+2∠FEG＝180°，∴∠DEH+∠FEG＝90°，∴∠DEF＝90°； （2）设AE＝EH＝x，则BE＝5－x．∵∠A＝∠B＝∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵∠AED+∠FEB＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，∴△DAE∽△EBF，∴ ，∴ ，解得x＝2或3．经检验x＝2不符合题意舍去，x＝3是分式方程的解，∴AE＝EH＝3，BE＝EG＝2，∴GH＝EH－EG＝3－2＝1，∴tan∠GDH ． 14.如图，在矩形ABCD中，AB  ，AD＝2，N为AD的中点，P为边CD上的一点，△NDP沿着NP翻折得到△NQP． （1）若∠DNP＝α，则∠QPC＝______；（用含α的式子表示） （2）若QB＝2，则QP＝______． 14.（1）2α； (2)  ． 【解析】（1）如答案图，连接BN，延长PN交BA的延长线于点H，∵矩形ABCD中  ，AD＝2，N为边AD的中点，∴AN＝DN＝1，∠BAN＝∠D＝90°，∵△NDP沿着NP翻折得到△NQP，∴∠DNP＝∠QNP，∠DPN＝∠QPN，∵∠DNP＝α，∴∠DPN＝∠QPN＝90°－α，∴∠QPC＝180°－∠DPN－∠QPN＝2α； 答案图 (2)∵△NDP沿着NP翻折得到△NQP，∴NQ＝DN＝1，∠NQP＝∠D＝90°，∵∠DNP＝∠HNA，∴Rt△HAN≌Rt△PND（ASA），∴DP＝AH，  ，∵QB＝2，∴  ，即BN2+NQ2＝BQ2，∴△BNQ为直角三角形，根据题意得∠ANH＝∠DNP，∠DNQ＝2∠ANH，∴∠ANB＝90°－2∠ANH，∠AHN＝90°－∠ANH，∴∠BNH＝90°－∠ANH，∴∠HNB＝∠AHN＝90°－∠ANH，∴△BHN为等腰三角形，∴BH＝BN  ，∴AH＝BH－AB  ，∴PQ＝AH  ． 15.有一张矩形纸片ABCD，点E为边AD上一点，DE＝2AE，点F在边BC上．把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，B'F与AD相交于点G，且A'B'的延长线经过点D（如图所示）． （1）若∠BFE＝α，则∠A′DA＝______．（用含α的代数式表示） （2）若 ，则AD＝______． 15.(1）2α－90°； （2）  ． 【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠BFE＝α，∴∠AEF＝180°－α，∠DEF＝∠BFE＝α，根据折叠的性质可得：∠A′＝∠A＝90°，∠A′EF＝∠AEF＝180°－α，∴∠A′ED＝∠A′EF－∠DEF＝180°－2α，∴∠A′DA＝90°－∠A′ED＝2α－90°； （2）∵DE＝2AE，∴设AE＝x，则DE＝2x，∴AD＝3x，∵ ，∴ ，∵把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，∴AB＝A′B′＝4，∠A＝∠A'＝90°，A′E＝AE＝x，∠A′B′F＝∠B＝90°，∴∠DB′G＝90°＝∠A′，∵∠B′DG＝∠A′DE，∴△B′DG∽△A′DE，∴ ，即 ，∴DB′＝2，∴A′D＝6，∵A′E2+A′D2＝DE2，∴x2+62＝4x2，解得： （负值舍去），∴ ． 16.在矩形ABCD(AB＜BC)的边上取一点E，将 BCE 沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处. (1)如图①，若  ，则                 ； (2)如图②，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，                 .     图①                  图② 16.(1)   ； (2)  【解析】(1)根据折叠的性质，得  ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥ ∵  ∴  ，∴  ，  ； (2)如答案图，过N作NG⊥BF 于点G，BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF，∴AN=GN，∵BN=BN，∴Rt△ABN≌Rt△GBN(HL)，∴BG=AB， ∠NFG=∠BFA，  FD，∴AD=BC=2NF，∴AB=2GN.设AN=GN=a，FD=b，则NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b，∴FG=BF－BG=2b，在Rt△NFG 中，由勾股定理得  ，即  ，即    答案图 17.如图，在矩形ABCD中， ＝ ，将矩形ABCD折叠，使点A落在BC边上的点E处，折痕为GF，EH交CD于点P，连接AE交GF于点O． （1） 的值是            ； （2）连接CH，若 ＝ ，GF＝2 ，则AF的长为            ． 17.（1）  ； （2）5 【解析】（1）如答案图，作GK⊥AB于点K，易证△AEB∽△GFK，四边形GKBC为矩形，∴  ＝  ，GK＝BC，∴  ＝  ＝   ； 答案图 （2）∵△AEB∽△GFK，GF＝2  ，∴AE＝3  ，又易得∠BEF＝∠CPE＝∠HPG，∴tan∠BEF＝tan∠HPG＝  ，设BE＝a，则BF＝  a，AF＝EF＝  a，∴AB＝3a，则在Rt△AEB中，AB2＋BE2＝AE2，即(3a)2＋a2＝(3  )2，得a＝3，∴AF＝  a＝5(负值已舍去)． 18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝4  ，M是AC的中点，N是AB上任意一点，以MN为对称轴折叠△AMN，得到△DMN，点A的对应点为点D（点B，N，D在AC的同一侧）． （1）当MD⊥AB时，∠ANM＝______； （2）当DN⊥AB时，BN的长为______． 18.（1）120°； （2）  ． 【解析】（1）如答案图①，∵MD⊥AB，MD与AB相交于点O，∴∠AOM＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AMO＝90°－∠A＝60°，由折叠的性质可得 ，∴∠ANM＝180°－∠A－∠AMN＝120°； （2）如答案图②，过点M作ME⊥AB 于点E，∵DN⊥AB，∴∠AND＝∠END＝90°，根据折叠的性质可知 ，∴∠MNE＝45°，∴∠MNE＝∠NME＝45°，.∴ME＝NE，∵M是AC的中点， ，∴ ，∵∠A＝30°，∴ ，∴ ，∴  ，∵ ，∴AB＝2BC，∴AB2－BC2＝3BC2＝AC2＝48，∴BC＝4，∴AB＝8，∴ . 19.如图，现有三角形纸片ABC，∠C＝90°，折叠纸片ABC，使得点B与点C重合，得到折痕MN，然后还原；再次折叠纸片ABC，使得AB上的点P与BC上的点Q重合，得到折痕DE，然后还原，且MN，DE，PQ三条线段相交于同一点G． （1）若PQ＝PB，∠A＝α，则∠BDE＝______；（用含α的式子表示） （2）若BC＝3，AC＝2，CQ＝1，则PB的长为______． 19.（1）2α－90°； (2) ． 【解析】（1）根据题意得DE垂直平分PQ，∴∠QGE＝90°，∴∠QEG＝90°－∠PQB，∵∠ACB＝90°，∠A＝α，∴∠B＝90°－α，∵PQ＝PB，∴∠B＝∠PQB，∵∠QEG＝∠BDE+∠B，∴∠BDE＝∠QEG－∠B，∴∠BDE＝（90°－∠PQB）－∠B＝（90°－∠B）－∠B＝90°－2（90°－α）＝2α－90°； （2）如答案图，作PF⊥BC于点F，∵∠ACB＝90°，∴AC∥PF， ，∵BC＝3，CQ＝1，∴BQ＝BC－CQ＝3－1＝2，∵PQ＝PB，∴ ，∵PF∥AC，∴ ，∴ . 答案图 20.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，AD上．将该正方形沿EF折叠，使点A落在CD边上的点M处，连接AM，与折痕EF交于点P． （1）若M是CD的中点，则AF的长为______； （2）若G为MN的中点，随着折痕EF位置的变化，PG＋PM的最小值为______． 20.（1） ； （2）3 【解析】（1）根据折叠的性质可得EF是AM的垂直平分线，∴AF＝MF，设AF＝MF＝x，则DF＝6－x．∵M是CD的中点，∴DM CD＝3，在Rt△DFM中，DF2＋DM2＝FM2，即(6－x)2＋32＝x2，解得x ，即AF的长为 ； （2）如答案图，取AB的中点Q，连接QP，PG，PD，AM，由折叠的对称性可知PQ＝PG．∵G为MN的中点，△ADM为直角三角形，∴PD AM＝PM，∴PG＋PM＝PQ＋DP≥DQ，当且仅当D，P，Q三点共线时PG＋PM最小，最小值 3  ． 答案图 21.如图，将一张矩形纸片ABCD先沿AF折叠，使点D落在BC上的点D′处，再将△ABE沿AE折叠，使点B落在AD′上的点B′处． （1）若AD＝10，AB＝8，则BE的长为______； （2）若BD＝1，AD′⊥BD于点G，则AB的长为______． 21.（1） ； （2） ． 【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由折叠的性质得AD′＝AD＝10，AB′＝AB＝8，B′E＝BE，∠AB′E＝∠ABE＝90°，∴B′D′＝AD′－AB′＝10－8＝2，∠EB′D′＝90°，∵BD′ 6，∴D′E＝6－BE，∵B′E2+B′D′2＝D′E2，∴BE2+22＝（6－BE）2，解得BE ； （2）∵AD′⊥BD于点G，∴∠AGB＝∠AGD＝∠D′BA＝∠BAD＝90°，∴∠ADG＝∠D′AB＝90°－∠DAD′，在△ADG和△D′AB中， ，∴△ADG≌△D′AB（AAS），∴DG＝AB，∵BD＝1，∴BG＝1－DG＝1－AB，∵cos∠ABD ，∴AB2＝BD•BG，∴AB2＝1－AB，解得AB 或AB （不符合题意，舍去）. 22.如图，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，P为边AD上一点，将矩形以PE所在直线为轴进行翻折，点A的对应为点A′，点B的对应点为点B′，直线A′B′与AD相交于点Q. (1)若E，B′，D三点在同一条直线上，AB= BC，则 的值为            ； (2)若AB=6，BC=12，QD-AP=1，则AP的长为            . 22.(1) ； (2)3 【解析】(1)当E，B′，D在同一条直线上时，如答案图①，连接DB′，∵AB= BC，E是BC的中点，∴CE=CD，∴∠DEC=45°，∴∠QDB′=∠DEC=45°，∵∠A′B′E=∠B=90°，∴∠A′QP=∠DQB′=45°.又∵∠A′=∠A=90°，∴ = ； 答案图① (2)如答案图②，连接AE，ED，A′D，A′E.∵E为BC边的中点，∴EA=EA′=ED，∴∠EA′D=∠EDA′.易证∠EA′B′=∠EDA=45°，∴∠QA′D=∠QDA′，∴A′Q=QD.设AP=x，则A′P=x，QA′=QD=x+1，PQ=AD-AP-QD=11-2x.在Rt△A′PQ中，由勾股定理得x2+(x+1)2=(11-2x)2，解得x1=3，x2=20(舍去)，即AP=3. 答案图② 23.如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折到△FBE处，分别延长EF，BF，交BC，CD边于点G，H． （1）若∠ABE＝30°，则BG＝            ； （2）连接DG交BH于点M，若FH＝DH，则              ． 23.（1）  ； （2）  【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠A＝90°，△ABE沿BE翻折到△FBE，∴∠ABE＝∠FBE＝30°，∠BFE＝∠A＝90°，FB＝AB＝3，∴∠BFG＝180°－∠BFE＝90°，∠FBG＝90°－∠ABE－∠FBE＝30°，∴  ； （2）如答案图，过点G作GQ∥CD交BH于点Q，连接GH，由（1）得BF＝AB＝3，∠BFG＝∠HFG＝90°，在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，BC＝4，∴BC2＋CH2＝BH2，∵FH＝DH，BH＝BF＋FH，∴42＋(3－DH)2＝(3＋DH)2，解得  ，∴  ，∵∠BCD＝90°，∴GC2＋CH2＝GH2，即  ，∵∠BFG＝∠HFG＝90°，∴FG2＝BG2－BF2，GH2－FH2＝FG2，∴BG2－BF2＝GH2－FH2，∴(4－GC)2－32＝GC2  ，解得GC  ，∴BG＝BC－GC  ，∵GQ∥CD，∴△BGQ∽△BCH，△GMQ∽△DMH，∴  ，即  ，  ，∴QG  ，∴  ． 答案图 24.如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P.当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时,∠APB的度数可以是______. 24.82.5°或52.5°或37.5° 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，由折叠的性质得∠PAB′=∠PAB=  ∠BAB′，如答案图①，∠BAB′=15°，∵∠PAB= ×15°=7.5°，∴∠APB=90°-∠PAB=82.5°；如答案图图②，∠DAB′=15°，且点B′在边AD下方，∵∠BAB′=∠BAD-∠DAB′=75°，∴∠PAB= ×75°=37.5°，∴∠APB=90°-∠PAB=52.5°；如答案图③，∠DAB′=15°，且点B′在边AD上方，∵∠BAB′=∠BAD+∠DAB′=105°，∴∠PAB= ×105°=52.5°，∴∠APB=90°-∠PAB=37.5°，综上所述，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°. 答案图 25.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D，E分别是AC，BC上的点，DE∥AB,将△CDE沿DE折叠，使点C恰好落在AB上. （1）折痕DE的长为______； （2）将△DCE绕点C旋转至图②位置，使DE∥BC，连接AD，连接BE并延长交AD于点F.则线段AF的长为______. 25.（1）5； （2） 【解析】（1）∵AC=6，BC=8，DE∥AB,且将△CDE沿DE折叠，使点C恰好落在AB上，∴D，E分别为AC，BC的中点，∴CD=3，CE=4，∴DE=5； （2）如答案图，设DE交AC于点M，∵DE∥BC，∠ACB=90°，∴CM⊥DE，由题意得CD⊥CE，且点D，E分别为AC，BC的中点，∴CD·CE=DE·CM.由（1）得DE=5，∴CM= ，∴DM= ，∴AM=6- = .令AC与BF交于点H，延长AD，BC交于点G，∵DE∥BC，∴∠AMD=∠ACG，∠DAM=∠GAC，∴△ADM∽△AGC ，∴ = ，∴ = ，解得CG=3，易证△BCE∽△ACD,∴tan∠GAC= = =tan∠CBH= = ，∴CH=4，AH=2.设FH=x，则AF=2x，∴x2+(2x)2=22，解得x= (负值已舍去)，∴AF= . 答案图 26.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4 ,点E是BC边上的动点,将△ABE沿直线AE翻折得到△APE,过点P作PF⊥AD,垂足为F,点Q是线段AP上一点,且AQ= PF.当点E从点B运动到点C时，点Q运动的路径长是______. 26. 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠B=90°，由翻折可得，AP=AB=4，如答案图①，当点P在矩形内部时，过点Q作HQ⊥AP，交AB于点H，则∠AQH=90°=∠BAD，∴∠AHQ=∠PAF=90°-∠HAQ，∵PF⊥AD，∴∠PFA=90°=∠AQH，∴△AQH∽△PFA，∴ = ，∵AQ= PF，∴ = = ，∴AH= AP=2，∴点Q在以AH为直径的⊙G上运动，∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH(半圆在矩形内)，∴点Q运动的路径长为 ×2π=π；如答案图②，当点P在矩形ABCD的外部时，过点Q作KQ⊥AP，交BA的延长线于点K，同理可得∠AKQ=∠PAF，△AKQ∽△PAF，AK= AP=2，∴点Q在以AK为直径的⊙O上运动，连接OQ，当点E运动到点C时，∵AB=4,BC=4  ，∠B=90°，∴tan∠BAC= = ，∴∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，∠PAC=∠BAC=60°，∴∠PAF=∠PAC-∠CAD=30°，∴∠AKQ=∠PAF=30°，∴∠AOQ=2∠AKQ=60°，∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ，路径长为 = ，∴点Q运动的路径长为π+ = . 答案图 27.如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平．点G是边AD上一点，将△ABG沿BG折叠，使点A的对应点A′恰好落在EF上．延长GA′交边CD于点P，交BC延长线于点H． （1）             °； （2）             ． 27.（1）60； （2）  28.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，连接AD，AB′． （1）AB′的最小值是            ； （2）若△AB′F为直角三角形，则BE的长为            ． 28.（1） ； （2）1/  【解析】（1）由题意可得，CD＝BD＝B′D，∴B′在以D为圆心，CD为半径的圆上，如答案图①所示，在点B′运动过程中，在△ADB′中，由三角形三边关系得，AB′≥AD－B′D，在变化过程中，AD和B′D保持不变，故AB′的最小值为AD－B′D，即如答案图②所示，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，∴  ，AB＝2AC＝4，∴  ，在Rt△ACD中，AC＝2，  ，∴  ，故AB′的最小值为  ； 答案图①                答案图② （2）△AB′F为直角三角形，分两种情况：情况一：当∠AFB′＝90°时，如答案图③，在Rt△BDF中，  ，∠B＝30°，∴  ，设BE＝x，  ，在Rt△B′EF中，∠EB′F＝∠B＝30°，  ，B′E＝BE＝x，∴B′E＝EFsin∠EBʹF，即  ，解得x＝1，即BE＝x＝1．情况二：当∠AB′D＝90°时，过点E作EH⊥AH交AB′的延长线于H点，如答案图④，由折叠的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝30°，∵∠AB′D＝90°，∴∠AB′E＝∠ABD＋∠DBʹE＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，设BE＝B′E＝x，∴在Rt△B′EH中，  ，  ，在Rt△ACD和Rt△AB′D中，  ，∴Rt△ACD≌Rt△AB′D(HL)，∴AB′＝AC＝2，在Rt△AHE中，  ，  ，AE＝4－x，∴  ，解得  ．综上所述，BE的长是1或  ． 答案图③                                                 答案图④ 29.如图，有一矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝4，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．点D关于点C的对称点为D′，连接AD′交BC于点O，连接AE并延长交DD′于点G． （1）若∠DAG＝28°，则∠GAD′＝______°； （2）点E到AD′的距离最小值为______． 29.（1）17°， （2） 【解析】（1）在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，由对称的性质可得D′C＝DC＝AB，∠BCD′＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∵∠AOB＝∠D′OC，∴△ABO≌△D′CO，∴ ，∴∠BAO＝∠BOA＝45°，∴∠GAD′＝∠BAD－∠DAG－∠BAO＝90°－28°－45°＝17°； （2）如答案图，连接OD，由（1）得 ，∴AD＝D′D，又由△ABO≌△D′CO可知AO＝D′O，∴DO⊥AD′，∴在Rt△ADD′中， ，∴  ，由折叠得性质可知DE＝DC＝2，∴点E在以点D为圆心，DC为半径的弧上运动，∴点E到AD′的距离最小值为 ． 答案图 30.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E,F为AD，BC上两动点，将四边形ABFE沿EF折叠后得到对应四边形A1B1FE，A1B1与AD交于点G，点B1落在CD边上. （1）△DGB1的周长是______； （2）如图②，将正方形展开后，再将△BCB1沿BB1折叠，C点的对应点为点C1，连接DC1，若DC1∥BB1，则DG的长为______. 30.（1）8； （2） 　 【解析】（1）如答案图①，连接BG,BB1,过点B作BH⊥A1B1于点H，∵FB=FB1，∴∠FBB1=∠FB1B，由折叠可知∠ABF=∠A1B1F，∴∠ABB1=∠A1B1B，∵AB∥DC，∴∠ABB1=∠BB1C，∴∠A1B1B=∠BB1C，又∵BH⊥A1B1,B1C⊥BC，∴∠BHB1=∠BCB1，又∵BB1=BB1，∴△HBB1≌△CBB1（AAS），∴BC=BH=BA，B1H=B1C，∴△ABG≌△HBG(HL），∴GA=GH，∴△DGB1的周长为DG+GH+HB1+DB1=DA+DC=8； （2）如答案图②，∵DC1∥BB1，∴∠B1C1D=∠C1B1B，∠BB1C=∠B1DC1，由折叠性质知，∠C1B1B=∠BB1C,∴∠B1C1D=∠B1DC1，∴B1C1=B1D=B1C，∴B1为CD的中点，∴B1D=2，设DG=x，由（1）知△DGB1的周长为8，则B1G=8-2-x=6-x，在Rt△B1GD中，x2+22=(6-x)2,解得x= . 答案图 31.如图，在菱形ABCD中，AB=6，cosB= ，M是AB边上的动点，N是BC边上的动点，将△BMN沿MN翻折得△B′MN，NB′的延长线与AD的延长线交于点E. (1)如图①，当点B′落在CD上时，恰好有B′M⊥AB，此时AM=______； (2)如图②，当AM=2时，移动点N，使点E与点D重合，此时NC=______. 31.（1）6-3 ； （2）4 -10　 【解析】(1)当点B′落在CD上时，恰好有B′M⊥AB,如答案图①，过点C作CK⊥AB于点K，易得四边形KMB′C是矩形，∴MB′=CK,在Rt△CKB中，BC=AB=6，cosB= ,可得BK=3,CK=3 ,∴MB′=3 ,∴BM=3 ，AM=6-BM=6-3 ； （2）如答案图②，设NM与DA的延长线交于点P，过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q，由翻折可知∠BNM=∠B′NM，∵AD∥BC，∴∠DPN=∠BNM，∴∠DPN=∠DNM，∴△DPN为等腰三角形.∵AM∶BM=2∶4=1∶2,∴易得△APM与△BNM的相似比为1∶2，设AP=x，则PD=DN=6+x，BN=2x，∴CN=6-2x,在Rt△CDQ中，易得∠DCQ＝∠B,∴cos∠DCQ=cosB= ,CD=6,∴CQ=3,∴DQ= =3 ，在Rt△NDQ中,NQ2+DQ2=ND2,即（6-2x+3）2+(3 )2=(6+x)2，解得x1=2 +8(舍去）,x2=-2 +8，∴NC=6-2x=4 -10. 答案图 32.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，连接AB′． （1）AB′的最小值是______； （2）若△AB′F为直角三角形，则BE的长为______． 32.（1） ； （2）1或 【解析】（1）由题意可得，CD＝BD＝B′D，如答案图①，点B′在以点D为圆心，CD为半径的圆上，在点B′运动过程中，在△ADB′中，由三边关系得，AB′≥AD－B′D，在变化过程中，AD和B′D保持不变，故AB′的最小值为AD－B′D，如答案图②，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，∴ ，AB＝2AC＝4，∴ ，在Rt△ACD中，AC＝2， ，∴ ，故AB′的最小值为 ； （2）△AB′F为直角三角形，分两种情况：①如答案图③，∠AFB′＝90°，在Rt△BDF中， ，∠B＝30°，∴ ，设BE＝x，则 ，在Rt△B′EF中，∠EB′F＝30°， ，B′E＝x，∴B′E＝2EF，即 ，解得x＝1，即BE＝1．②如答案图④，∠AB′D＝90°，过点E作EH⊥AH交AB′的延长线于点H，由折叠的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝30°，∵∠AB′D＝90°，∴∠AB′E＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，设BE＝B′E＝x，∴在Rt△B′EH中，  ，  ，在Rt△ACD和Rt△AB′D中， ，∴Rt△ACD≌Rt△AB′D(HL)，∴AB′＝AC＝2，在Rt△AHE中，AH2＋HE2＝AE2，  ， ，AE＝AB－BE＝4－x，∴ ，解得 ．综上所述，BE的长为1或 ． 33.如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿BD折叠，点C落在C′处． （1）如图①，若BC′恰好过边AD的一个三等分点(靠近点A)，则 ______； （2）如图②，点E在边BC′上，将△C′DE沿DE折叠，点C′恰好落在线段BD上的点C''处，若EC''＝ DC''，则 ______． 33.（1） ； （2） 【解析】（1）如答案图，设BC'交AD于点M，则MD＝2MA，由折叠的性质可得∠DBM＝∠DBC，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDB＝∠DBC，∴∠MDB＝∠DBM，∴MD＝BM，∴BM＝2AM，∴AB AM，∴ ； 答案图 （2）设AD＝BC＝x，AB＝CD＝2y，由折叠的性质可得C'D＝C''D＝CD＝2y，C''E＝C'E，∵EC'' DC''，∴C''E＝C''E＝y，∴BE＝x－y，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD ，在Rt△BC'D和Rt△BC''E中，sin∠DBE ，∴ ，∴ 2(x－y)，∴x2＋4y2＝4x2－8xy＋4y2，∴x(3x－8y)＝0，∵x≠0，解得x y(不合题意的已舍去)，∴ ． 34.如图，在矩形ABCD中，AD＝a，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在边CD上的点F处． （1）若AD＝DF，则 ______； （2）若  ，P为线段AF上的动点，连接BP，EP，则BP+EP的最小值为______（用含a的式子表示）． 34.（1） ； （2） 【解析】（1）由题可知，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°，EF＝BE，∠AFE＝∠ABE＝90°，∵AD＝DF，∴∠AFD＝∠FAD＝45°，∴∠CFE＝180°-∠AFD-∠AFE＝45°，∴ ，∴ ，∴ ； （2）如答案图，作点E关于直线AF的对称点E′，过点E′作E′Q⊥BC交BC延长线于点Q，∵ ，∴ ，∴∠DAF＝30°，∴∠DFA＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2CE，设CE＝x，则BE＝EF＝2EC＝2x，则 ，∵EE′＝2EF，PE＝PE′，∵∠E′QE＝∠FCE＝90°，∠E′EQ＝∠FEC，∴△E′EQ∽△FEC，∴ ，∴ ，EQ＝2x，BQ＝4x，∴    ，∵BP+PE＝BP+PE′，∴当B，P，E′三点共线时，BP+PE′有最小值，即此时BP+PE有最小值，最小值为BE′的长，∵BC＝AD＝BE+CE＝3x＝a，∴ ．   答案图 35.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为边AD上一个动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∠A′ED的平分线分别交BD，CD于点G，F， （1）当G为EF中点时，AE的长为______； （2）当点E从A运动到D的过程中，DG的最大值为______． 35.（1） （2） 【解析】（1）∵将△ABE沿AE折叠得到△A′BE，∠A′ED的平分线分别交BD，CD于点G，F，∴∠A′EB＝∠AEB，∠A′EF＝∠DEF，∴  ，∴∠ABE＝∠DEF＝90°﹣∠AEB，∵G为EF中点时，∴DG＝EG＝FG．∴∠DEF＝∠GDE．∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠DBC．∴∠ABE＝∠DBC．∴△ABE∽△CBD．∴ ，即 ，∴ ； （2）如答案图①，由折叠的性质可得，BE＝AB＝6，∴点A′在以B为圆心，AB为半径的圆上运动，连接 G， G+ B≥BG，如答案图②，当点  ，G，B，三点共线时，  G最小，即DG最大，此时 ⊥BD，∵矩形 ，∴ ．∵ ， ， ，∴ ．∵将  沿  翻折得 ，∴ ， ， ．∴ ．∵ ，∴  ．∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．∴ ．∴ ．∵ ，∴  ．∴ ．∴ 的最大值为 ． ( 第 1 页 共 33 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $