专题05多边形.平行四边形与三角形中位线 (19大题型+题型突破+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册)

专题05多边形.平行四边形与三角形中位线 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形内角和、外角和公式，明确多边形相关概念； 2.熟记平行四边形边、角、对角线三大性质，牢记 5 种判定定理； 3.理解三角形中位线定义，掌握其平行于第三边且等于第三边一半的核心性质； 4.明晰判定与性质的区别，熟记各定理的适用条件。 1.能快速计算多边形内角和、外角和，解决边数与角度的互求问题； 2.会用平行四边形性质求边长、角度、对角线长度，能规范书写推理过程； 3.能根据已知条件，灵活选择判定定理证明一个四边形是平行四边形； 4.会用三角形中位线性质解决线段平行、长度计算及几何证明问题，能结合平行四边形知识综合解题。 1.秒杀多边形角度、边数计算，平行四边形性质直接应用类基础题，做到零失误； 2.攻克平行四边形判定证明、性质与判定综合应用的高频中档题； 3.突破三角形中位线与平行四边形结合的几何综合题，规范推理步骤； 4,掌握几何题 “由结论倒推条件” 的解题技巧，快速找到解题突破口。 题型01.多边形基础与对角线计算 题型02.多边形内角和计算 题型03.多边形内外角综合计算 题型04.多边形截角问题 题型05.多边形周长计算 题型06.平行四边形的性质 题型07.求平行线间的距离 题型08.平行线间距离的应用 题型09.平行四边形的判定与证明 题型10.添条件成为四边形 题型11.平行四边形构造与拼接问题 题型12.由平行四边形判定与性质求解 题型13.由平行四边形性质与判定证明 题型14.平行四边形性质与判定的应用 题型15.三角形中位线的计算与证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形动点问题 题型18.平行四边形最值问题 题型19.平行四边形折叠问题 解答题9题 知识点01.多边形 一、核心概念 1.多边形定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2.相关概念 边：组成多边形的线段。顶点：相邻边的公共端点。内角：多边形相邻两边组成的角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 3.凸多边形：多边形的所有内角都小于 180°，且任意一边所在直线，其余各边都在这条直线的同侧（初中阶段主要研究凸多边形）。 二、核心公式与定理 1.n 边形内角和公式：(n-2)×180°（n≥3，且 n 为整数） 推导：从 n 边形一个顶点出发，可引 (n-3)条对角线，将 n 边形分成(n-2)个三角形，内角和为 (n-2)×180°。 2.n 边形外角和定理：任意 n 边形的外角和都为 360°（与边数 n 无关）。 3.n 边形对角线总数公式：（n≥3，且 n 为整数） 推导：每个顶点连 (n-3) 条对角线，n 个顶点共 n (n-3) 条，每条对角线重复计算 2 次，故总数为。 知识点02.平行四边形的性质与判定 一、核心定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 “□ABCD 二.平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 三:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点03:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 题型01.多边形基础与对角线计算 【典例】下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是__________． 【跟踪专练2】已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为_______________． 【跟踪专练3】如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 题型02.多边形内角和计算. 【典例】一个边形的内角和为，则的值为（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练1】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 【跟踪专练3】如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 题型03.多边形内外角综合计算 【典例】已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【跟踪专练2】如果一个多边形的每个内角为160°，那么它的边数为_______． 【跟踪专练3】如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 题型04.多边形截角问题 【典例】若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【跟踪专练1】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【跟踪专练2】多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【跟踪专练3】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型05.多边形周长计算 【典例】小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【跟踪专练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【跟踪专练2】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 题型06.平行四边形的性质 【典例】中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为___________． 【跟踪专练2】在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【跟踪专练3】如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 【跟踪专练4】如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 题型07.求平行线间的距离 【典例】下列语句中，正确的是（    ） A．夹在两条平行线间的线段的长度是两条平行线间的距离 B．夹在两条平行线间的垂线的长度是两条平行线间的距离 C．夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离 D．过一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条直线间的距离 【跟踪专练1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【跟踪专练2】如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 题型08.平行线间距离的应用 【典例】如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ___． 【跟踪专练1】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为_______，点B的“距离坐标”为_______； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是_______； （3）平面上“距离坐标”为的点有_______个，“距离坐标”为的点有_______个． 题型09.平行四边形的判定与证明 【典例】小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【跟踪专练1】如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 题型10.添条件成为四边形 【典例】在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是_______________．（写出一种情况即可） 【跟踪专练1】在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 题型11.平行四边形构造与拼接问题. 【典例】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【跟踪专练1】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 题型12.由平行四边形判定与性质求解 【典例】如图，，，，，则四边形的周长为________． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，连接、，直线经过和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【跟踪专练2】如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 题型13.由平行四边形性质与判定证明 【典例】如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【跟踪专练1】如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【跟踪专练2】如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 .D．5 题型14.平行四边形性质与判定的应用 【典例】如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为_______． 【跟踪专练1】已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 【跟踪专练2】如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 题型15.三角形中位线的计算与证明 【典例】如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 【跟踪专练2】如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【跟踪专练3】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型16.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【跟踪专练1】如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，等腰中，，，，于点R，于点S，则下列结论： ①；②；③；④中一定正确的有_________．（填写所有正确序号） 题型17.平行四边形动点问题 【典例】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 题型18.平行四边形最值问题 【典例】如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【跟踪专练1】如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 题型19.平行四边形折叠问题 【典例】在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，延长交于点G，若，且，则的长是________． 【跟踪专练2】如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线EF翻折，点D落在边上的点G处，若 则 ___． 解答题 1．（1）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数； （2）如图，是线段的中点，，，求证：． 2．如图，四边形中，，平分，，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 3．如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． (1)求证：． (2)如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 4．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 5．如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 6．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 7．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 8．已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． ∵， ∴， ∵， ∴， 9．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形.平行四边形与三角形中位线 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形内角和、外角和公式，明确多边形相关概念； 2.熟记平行四边形边、角、对角线三大性质，牢记 5 种判定定理； 3.理解三角形中位线定义，掌握其平行于第三边且等于第三边一半的核心性质； 4.明晰判定与性质的区别，熟记各定理的适用条件。 1.能快速计算多边形内角和、外角和，解决边数与角度的互求问题； 2.会用平行四边形性质求边长、角度、对角线长度，能规范书写推理过程； 3.能根据已知条件，灵活选择判定定理证明一个四边形是平行四边形； 4.会用三角形中位线性质解决线段平行、长度计算及几何证明问题，能结合平行四边形知识综合解题。 1.秒杀多边形角度、边数计算，平行四边形性质直接应用类基础题，做到零失误； 2.攻克平行四边形判定证明、性质与判定综合应用的高频中档题； 3.突破三角形中位线与平行四边形结合的几何综合题，规范推理步骤； 4,掌握几何题 “由结论倒推条件” 的解题技巧，快速找到解题突破口。 题型01.多边形基础与对角线计算 题型02.多边形内角和计算 题型03.多边形内外角综合计算 题型04.多边形截角问题 题型05.多边形周长计算 题型06.平行四边形的性质 题型07.求平行线间的距离 题型08.平行线间距离的应用 题型09.平行四边形的判定与证明 题型10.添条件成为四边形 题型11.平行四边形构造与拼接问题 题型12.由平行四边形判定与性质求解 题型13.由平行四边形性质与判定证明 题型14.平行四边形性质与判定的应用 题型15.三角形中位线的计算与证明 题型16.三角形中位线的实际应用 题型17.平行四边形动点问题 题型18.平行四边形最值问题 题型19.平行四边形折叠问题 解答题9题 知识点01.多边形 一、核心概念 1.多边形定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2.相关概念 边：组成多边形的线段。顶点：相邻边的公共端点。内角：多边形相邻两边组成的角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 3.凸多边形：多边形的所有内角都小于 180°，且任意一边所在直线，其余各边都在这条直线的同侧（初中阶段主要研究凸多边形）。 二、核心公式与定理 1.n 边形内角和公式：(n-2)×180°（n≥3，且 n 为整数） 推导：从 n 边形一个顶点出发，可引 (n-3)条对角线，将 n 边形分成(n-2)个三角形，内角和为 (n-2)×180°。 2.n 边形外角和定理：任意 n 边形的外角和都为 360°（与边数 n 无关）。 3.n 边形对角线总数公式：（n≥3，且 n 为整数） 推导：每个顶点连 (n-3) 条对角线，n 个顶点共 n (n-3) 条，每条对角线重复计算 2 次，故总数为。 知识点02.平行四边形的性质与判定 一、核心定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作 “□ABCD 二.平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 三:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点03:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 题型01.多边形基础与对角线计算 【典例】下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 【跟踪专练1】过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是__________． 【答案】18 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为：18 【跟踪专练2】已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为_______________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．根据这些规律计算即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发共有6条对角线，则，解得； 从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形，，解得； 正边形的边长为7，周长为49，则，解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 题型02.多边形内角和计算. 【典例】一个边形的内角和为，则的值为（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和定理，利用边形内角和公式列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵边形的内角和公式为，已知该多边形内角和为， ∴列方程得， 方程两边同时除以得， 解得． 【跟踪专练1】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 【答案】/82度 【分析】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得． 【跟踪专练3】如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 题型03.多边形内外角综合计算 【典例】已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】牢记“任意多边形的外角和恒为”，直接利用该定理即可确定四边形的外角和度数． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，四边形是多边形， 四边形的外角和度数为， 故选：． 【跟踪专练1】一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 【跟踪专练2】如果一个多边形的每个内角为160°，那么它的边数为_______． 【答案】 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角即可得到边数 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于160° ∴ 多边形的每一个外角都等于180°-160°=20° ∴ 边数n=360°÷20°=18 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角关系，求出每一个外角的度数是解题关键． 【跟踪专练3】如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了多边形的内角和外角和，延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数，掌握相关定义是解题的关键． 解：如图，延长，交于点，   ， ， 正多边形的一个外角为， ， 故选：． 题型04.多边形截角问题 【典例】若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【跟踪专练1】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 【跟踪专练2】多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【答案】4或5或6 【分析】本题主要考查多边形的内角和问题，结合题意进行分类讨论是解题的关键． 设新多边形的边数为n，利用多边形内角和公式求得n的值，然后分三种情况分类讨论后即可解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n 则，解得：， ①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时， 此时原多边形的边数为； ②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时， 此时原多边形的边数为5； ③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时， 此时原多边形的边数为； 综上，原多边形边数为4或5或6． 故答案为：4或5或6． 【跟踪专练3】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 题型05.多边形周长计算 【典例】小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，长方形的周长，根据题意可得五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，进而可知大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和． 【详解】解：根据题意得：把五个小长方形的长和宽分别平移到大长方形的长和宽上，则五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和， 五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和， ∴大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和， ∵五个小长方形的周长之和为50， ∴大长方形的周长为50． 故选：B． 【跟踪专练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【跟踪专练2】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 题型06.平行四边形的性质 【典例】中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 【跟踪专练1】如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．根据题意的作图可得平分，则，由四边形是平行四边形，，可得，，，证明得，再证明即可求解． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为2． 【跟踪专练2】在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 【跟踪专练3】如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【跟踪专练4】如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 【跟踪专练5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【详解】解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 题型07.求平行线间的距离 【典例】下列语句中，正确的是（    ） A．夹在两条平行线间的线段的长度是两条平行线间的距离 B．夹在两条平行线间的垂线的长度是两条平行线间的距离 C．夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离 D．过一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条直线间的距离 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离定义解题即可． 【详解】解：A、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，原说法错误； B、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，原说法错误； C、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，说法正确； D、过平行线中一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条平行线间的距离，原说法错误； 故选：C． 【跟踪专练1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论直线的位置，分别计算得到与之间的距离. 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线在，的外侧时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 当直线在，之间时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 综上，与之间的距离是或. 【跟踪专练2】如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 题型08.平行线间距离的应用 【典例】如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ___． 【答案】3 【分析】根据平行可得：与高相等，即两个三角形的面积相等，根据图中三角形之间的关系即可得． 【详解】解：∵， ∴与高相等， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查平行线间的距离相等，三角形面积的计算等，理解题意，掌握平行线之间的距离相等是解题关键． 【跟踪专练1】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知，，且， 为的角平分线， 则， ， ， 则， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5， ，则， 故选：B． 【跟踪专练2】如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为_______，点B的“距离坐标”为_______； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是_______； （3）平面上“距离坐标”为的点有_______个，“距离坐标”为的点有_______个． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，要注意结合图形分析讨论问题． （1）根据“距离坐标”定义解答即可； （2）根据距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0解答即可； （3）根据代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，求解即可；通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上，解答即可． 【详解】解：（1）点到直线的距离分别是和，点到直线的距离分别是和． 故答案为： （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线的距离，所以，“距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点． 故答案为：． （3）代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个． 如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为四点的“距离坐标”． 故答案为：2，4． 题型09.平行四边形的判定与证明 【典例】小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意． 【跟踪专练2】如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 题型10.添条件成为四边形 【典例】在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是_______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法即可得结论． 【详解】解：添加， ∵， ∴四边形的一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形； 添加 ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形． 添加或， ∴， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形； 或， ∴， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 故答案为：或或或或或或或或或． 【跟踪专练1】在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵， ∴ A、若，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， C、由本身即可推出，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、无法推出或，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴无法得出四边形是平行四边形，故②不正确； ③∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． 题型11.平行四边形构造与拼接问题. 【典例】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【跟踪专练1】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 题型12.由平行四边形判定与性质求解 【典例】如图，，，，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的周长是16， 故答案为：16． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，连接、，直线经过和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】可以先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质逐个排查即可，熟练掌握平行四边形的判定和性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴①正确；， ②的周长的周长，正确； ③，正确； ④∵， ∴， ∵，， ∴， 同理图中全等的三角形有：，，； 共计10对全等的三角形，④错误． 综上所述，正确的结论是：①②③． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】易得四边形是平行四边形，由等腰三角形的判定得，从而，即可求得最后结果． 【详解】解：在中，， 即， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 题型13.由平行四边形性质与判定证明 【典例】如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握其判定方法是关键，甲方案：证明，得，证明，得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判定甲方案可行；乙方案：根据题意得到，证明，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 甲：点O是线段的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故甲的方案可行； 乙：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙的方案可行； 故选：C ． 【跟踪专练1】如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【跟踪专练2】如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 .D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 题型14.平行四边形性质与判定的应用 【典例】如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD， 由题意，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AE⊥BC，∠ABC=45°， ∴∠AEB=90°，∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 由题意，AE=AF=4， ∴AB=4， ∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键． 【跟踪专练1】已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图与平行四边形的判定和性质，掌握作已知线段的垂直平分线的基本作法和平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可． 【详解】解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行， 方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为______． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 【详解】∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点睛】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 题型15.三角形中位线的计算与证明 【典例】如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中位线的性质求解． 【详解】解：连结， ∵，分别是，的中点，， ∴， 即，两点之间的距离为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点D、E分别是的边、的中点，点F在的延长线上，且．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质求出的长，进而求出的长，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：在中，，E是的中点， ， ， 点D、E分别是的边、的中点， 是的中位线， ． 【跟踪专练3】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 题型16.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 【跟踪专练1】如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】解：、为，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选． 【跟踪专练2】如图，等腰中，，，，于点R，于点S，则下列结论： ①；②；③；④中一定正确的有_________．（填写所有正确序号） 【答案】①②④ 【分析】根据已知条件证得△PBR≌△PCS求得PB=PC，由等腰三角形三线合一的特征可得AP⊥BC，∠BAP=∠CAP；由∠PAR=∠APQ，可得结论②；由QP是△CAB的中位线，可得结论④；结论③仅一边一角对应相等，无法判定全等； 【详解】解：△PBR和△PCS中，AB=AC，则∠B=∠C，∠PRB=∠PSC=90°，PR=PS， ∴△PBR≌△PCS， ∴PB=PC， △ABC是等腰三角形， ∴AP⊥BC，结论①正确， ∴∠BAP=∠CAP， ∵QA=QP，则∠PAQ=∠APQ， ∴∠PAR=∠APQ， ∴QP∥AB，结论②正确， P为BC中点，则QP是△CAB的中位线， ∴AQ=CQ，结论④正确， △BPR和△QPS中仅有一边一角对应相等，不满足全等的判定条件，结论③判断错误， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的中位线；掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质是解题关键． 题型17.平行四边形动点问题 【典例】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，由，，求得，因为，所以，则，由平行四边形的性质得，，所以，当时，的值最小，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵，， ， ∵， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 如图，当时，的值最小，此时的值最小， ，， ， ， ∴长度的最小值为． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （2）可证明和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边；当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （3）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 题型18.平行四边形最值问题 【典例】如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】7 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为7． 【跟踪专练1】如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 【答案】 【分析】过点作于点，则．根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，在中，根据得，，进而得，，然后由三角形的面积公式得，由此可得出的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值． 由平行四边形的性质知，， ∴此时， ， 的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 题型19.平行四边形折叠问题 【典例】在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，再根据三角形外角的性质、邻补角互补、折叠的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠至处，与交于点F， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，延长交于点G，若，且，则的长是________． 【答案】/ 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的判定，延长、交于点H，根据，得出，由折叠可知，得出，证出，证明，得出，解出，设，则，，可得，证明，得出，即．解得：，即可解答． 【详解】解：延长、交于点H， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线EF翻折，点D落在边上的点G处，若 则 ___． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形与折叠，相似三角形的判定和性质，连接,交于,交于，先证明，然后根据面积比等于相似比的平方得到，设，则，表示出，，再设，则，然后推导，则有，得到，代入求比值即可． 【详解】连接,交于,交于， ∵由翻折得到， ∴， ∵， ∴ ， ∵四边形为平行四边形 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 由翻折得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 解答题 1．（1）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数； （2）如图，是线段的中点，，，求证：． 【答案】（）；（）见解析． 【分析】本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （）设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式列方程求解即可； （）由是的中点，则，然后根据“”证明即可． 【详解】（）解：设这个多边形的边数为，根据题意得： ， 解得：， 故这个多边形的边数为； （）证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 2．如图，四边形中，，平分，，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据多边形内角和可证得，结合，即可得到结论．②根据角平分线的定义可求得，结合，可证得，即可得到结论． （2）延长，交于点，可先证得，结合，，可求得． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴． ∵， ∴． ②∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）延长，交于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴平分． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 3．如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． (1)求证：． (2)如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要运用平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形面积公式来解题． （1）通过平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义和等角对等边证明； （2）利用平行四边形性质和等腰三角形性质得出角度关系，进而判断为直角三角形，通过勾股定理求出的长度，最后根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， 在平行四边形中，， ， ， ， （2）解：由（1）可知，且， ， ， 为等腰三角形， 设，， ，， 又， ， ， ， 即为直角三角形， ， 过点作， ，，， ， ． 4．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的角和边，然后利用证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴. 在和中， ∴. ∴． 5．如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 6．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）先利用证明，得出，，再利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及三角形中线的性质即可得答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 8．已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）延长交的延长线于点H，取的中点，连接，证明，得，，从而得出，，再证明，即可由得出结论． （2）过点C作于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，设，则，由勾股定理建立方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点H，取的中点，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2所示，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可知或， ∴（舍去）或， ∴． 9．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $