第四章 1 因式分解-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

转90°，即可得到△A2B,C2 y (典例5图) [变式](1)如图，△A,B,C即为 所求作 (2)如图，△A,B,C即为所求作. (3)(3,1). 0 [综合素能提升] 1.D 2.B解析：如图，连接CE.:AB= AC,∠ABC=∠ACB=2(180° ∠BAC)=2×(180-40)=70 :AD⊥BC,∴.BD=CD,即AD垂 直平分BC.,.BE=CE.△ABC 绕点B按逆时针方向旋转得到 △FBE,点C的对应点E落在AD 上，∴.BE=BC,∠FBE=∠ABC= 70°.，BE=CE=BC,∴.△BCE为 等边三角形.∴.∠CBE=60°. ∴.∠CBF=∠CBE+∠FBE=6O°+ 70°=130° B （第2题) 3.(一3,4)解析：.∠BCA=90° AC=4,'.将△ABC绕点C按逆时 针方向旋转90后，点A的对应点的 坐标为(2,4)..2一5=一3，即再向 左平移5个单位长度后，点A的对应 点的坐标为（一3,4） 4.(1)5.5. (2)如图，△A,B1C1即为所求作. (3)如图，△A,BC2即为所求作，点 A2的坐标为(0,0)，点C2的坐标为 (3,2) (第4题) 5.(1):将△ABC绕点A按逆时针 方向旋转一个角度a,得到△ADE,点 B的对应点D恰好落在边BC上， .∠ADE=∠B,AD=AB. .∠ADB=∠B. .∠ADE=∠ADB. '.DA平分∠BDE (2)设AC与DE交于点O. 由旋转，得AB=AD,∠BAD= ∠CAE=a,∠C=∠E, :AC⊥DE, ∴.∠AOE=90°. ∴.∠C=∠E=90°-a. AB=AD, ·∠ADB=∠B=(180 ∠BAD-2180-a)=90°-2. ,∠CAE是△ABC的一个外角， ∴.∠CAE=∠B+∠C. 六a=90°-2a+90°-a,解得 a=72 ∴.旋转角a的度数为72°. 6.(1)·△EFD是以EF为斜边的 等腰直角三角形， ∴.∠EDF=90°. '.∠ADE+∠ADF=90 32 ∠ACB=90, ∴.∠CFD+∠ADF=∠ACB=9O° .∠ADE=∠CFD. (2)如图，连接AE 线段EF是由线段AB平移得 到的， .易得AEBF,AE=BF .∴.∠DAE=∠ACB=90° ∴.∠DAE=∠FCD=90°. ,△EFD是以EF为斜边的等腰直 角三角形， .DE=FD. 在△ADE和△CFD中， ∠DAE=∠FCD, ∠ADE=∠CFD, DE=FD, .∴.△ADE≌△CFD .AE=CD. 又AE=BF, .CD=BF. B (第6题) 第四章 因式分解 1因式分解 1.D 方法归纳 判断因式分解的方法 对于因式分解应明确以下几 点：①因式分解是一种恒等变形： ②因式分解是把和的形式化为积 的形式的变形，即把多项式化为积 的形式：③积中的各因式都为整 式：④每个因式在指定范围内都不 能再分解，即分解彻底， 2.C3.①⑤4.a2+3ab+2b2= (a+b)(a+2b) 5.(1)原式=7.6×(7.6+2.4)= 7.6×10=76. (2)n2+n=n(n+1). 若n为奇数，则n十1为偶数： 若n为偶数，则n+1为奇数 ∴.n与n十1始终一奇一偶. ∴.(n十1)为偶数，即n2十n是偶数. 6.B解析：257+53=54+513= 513×(5+1)=513×6=52×30,∴.n 的值可能是30. 7.B解析：3(x一1)(x一9)=3.x2 30x+27,3(x-2)(x-4)=3x2 18x+24.由题意，可知原多项式为 3.x2-18.x+27. 8.2 5 解析：由题意，得x2十4mx十 5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+ 5n.∴.4m=n+5,51=5,解得n=1, 3 5 m=受m+=+1=2 9.a2-2ab-3b2=(a+b)(a-3b) 10.(1)原式=2.718×(23+59+ 18)=2.718×100=271.8. (2)原式=57.6×(1.6+18.4 19)=57.6×1=57.6. 11.能. 理由：原式=3.12×(21+62+ 17)=3.12×100=312=78×4, .原式能被4整除。 12.(1),(x-2)(2x+5)-(2x2+ 3.x-6)=2x2+5x-4x-10-2x2- 3.x+6=-2x-4, .被墨水污染的式子为一2x一4. (2)根据题意，得一2x一4≥2，解得 x一3. .x的取值范围是x≤一3 13.(1)2. (2)设x+m.x3+nx-16=A(x 1)(x一2)(A为整式) 分别令x=1和x=2,得 m+n一15=0， m=一5， 解得 8m+2n=0, n=20. (3)设x3-x2+ax十b=(x十p)· (.x2+2x+1). ,(x十p)(x2+2x+1)=x3+(2+ p)x2+(1+2p)x+p, 2+p=一1， p=一3， 1+2p=a,解得a=-5, p=b, b=-3. .多项式x3-x2十a.x十b=x3 x2-5.x-3 .x3-x2-5.x-3=(x-3)(x2+ 2.x+1)=(x-3)(x+1)2 ∴.a=一5，b=一3，将该多项式分解 因式为x3一x2-5.x-3=(x- 3)(x+1)2 2 提公因式法 1.B2.C3.D4. 9 5.(-子2y(2x-8+ (2)2(2.x+3y)(3p-2g). (3)3(a-b)(x+2y). (4)4(x-y)2(2a.x-2ay-b). 易错警示 因式分解时漏项或弄错符号 (1)当多项式第一项的系数是 负数时，一般先提出负号，提出负 号后，括号内的各项都要变号 (2)因式分解时不要漏项， 6.D 7.B解析：A选项中含有的公因式 为a(a一b):B选项中没有公因式：C 选项中含有的公因式为a十b;D选项 中含有的公因式为a一b. 8.B解析：由题意，得2(a+b)= 20,即a+b=10..ab+ab2=240, .ab(a十b)=240..ab=24..这 个长方形场地的面积为24m2. 9.3解析：.m+2=1,∴.3m2+ 6mn+61=3m(m+2n)+6=3m× 1+6n=3m+6n=3(m+2n)=3× 1=3. 10.1 11.3或-3解析：(x+2)(2x- 1)一(x十2)可以因式分解成 2(x十m)(x十n),.(x+2)(2x 1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)= 2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x+n). ∴.m=2,n=-1或m=-1,n=2. .∴.m-n=3或m-n=-3. 12.x2y-xy2-x+y=(x-y)· (xy-1)=28 .xy=15, ∴.14(x-y)=28. 33 .x-y=2. 13.2+4-2”=2"X(2+-1)= 15×2”=30×2"-1, ∴.对于任意正整数，代数式2+4一 2”必有一个因数30. 14.(1)原式=(3x-y)(x-y+ 2x)=(3.x-y)(3x-y)=(3x-y)2. (2)存在. 将y=k.x代入(3x-y)2,得(3x kx)2=[(3-k)x]2=(3-k)2x2. 令(3-)2=1，则3-k=士1，解得 k=4或k=2. 15.(19x-31)(13x-17)-(17 13x)(11x-23)=(19x-31)(13.x 17)+(13.x-17)(11x-23)=(13.x 17)(30x-54). ∴.a=13,b=-17,c=-54. ∴.a+b+c=-58. 16.(1)提公因式：2. (2)2023;(1+x)224 (3)原式=(1+x)[1+x+x(1十 x)+…十x(1+x)”-1]=(1+ x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+ x)”2]=…=(1十x)+1. 3公式法 第1课时利用平方差公式 分解因式 1.D2.D3.C4.7(m+2)· (m-2)5.4000π 6.(1)(2m+1)(2mn-1). (2)ab(a+3)(a-3). (3)(3a-2b)(2b-a). (4)(4a+b)(2a+3b). (5)3a2(x+y)(x+y-3a)(x+y+ 3a). 7.C 8.C解析：：x-y=3,y-2=2, .x-y十y-x=5,即x-之=5. x十2=4，x2-x2=(x-之)· (x+2)=20. 9.C解析：原式=(x2一y2)(a2 b2)=(x+y)(x一y)(a+b)(a-b). :a-b,x-y,z+y,a+b,z2-y2, a2-b2分别对应济、爱、我、惠、游、美第四章 因式分解 1 因式分解 白基础进阶 素能攀升 1.*(2025·济南平阴期末)下列等式中，从左到 6.(2025·保定曲阳期末)若257+513能被n整 右的变形为因式分解的是 ( 除，则n的值可能是 () A8a2b3c=2a2·2b3·2c A.20 B.30 C.35 D.40 Bm-nm品》 7.将一个二次三项式因式分解，聪聪 看错了一次项，分解成3(x一1)· C.(x-y)2=x2-2xy+y9 (x一9)，江江看错了常数项，分解成 D.3x3+27x=3x(x2+9) 3(x一2)(x一4).原多项式应该为 () 2.对于①x-3xy=x(1-3y);②(x+3)(x A.3x2-30x+24B.3x2-18.x+27 1)=x2+2x一3从左到右的变形，下列结论 C.3x2-30x+27D.3x2-18x+24 中，正确的是 C 8.将多项式x2+4mx十5因式分解得到(x十 A.都是因式分解 5)(x十n),则m+十n的值为 B.都是乘法运算 9.(2025·烟台期末)代数公式可以用几何图形 C.①是因式分解，②是乘法运算 来推理论证.受此启发，小明将如图①所示的 D.①是乘法运算，②是因式分解 边长为a的正方形剪去2个长为a、宽为b 3.有下列因式分解：①a2一ab=a(a-b); 的长方形和3个边长为b的正方形，拼成了 ②2b2-1=(2b+1)(2b-1);③b2-2b+ 如图②所示的长方形.观察图①②中的涂色 4=(b-2)2;4x2y+xy2+xy=xy(x+ 部分，可以得到的式子为 y);⑤a2+10a十25=(a十5)2.其中，正确的 是 (填序号). bbb 4.数形结合思想如图，大长方形 的面积可以用式子表示为 ① ② a2+3ab+2b2,请将这个式 (第9题) 子因式分解： (第4题) 10.利用简便方法计算： 5.请利用a2十ab=a(a+b)解决问题： (1)23×2.718+59×2.718+18×2.718. (1)简便运算：7.62+7.6×2.4. (2)判断n2+n(n为整数)是奇数还是偶数， 70 第四章因式分解 (2)57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×物思维拓展 (-19). 13.新考法·阅读理解先阅读下面的解 题过程，然后解答问题， 已知多项式2x3一x2+m有一个 因式为2x+1,求m的值， 解法一：设2x3-x2十m=(2x十1)(.x2十 a.x+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+ 1)x2+(a+2b)x+b. a=一1， 11.21×3.12+62×3.12+17×3.12能被4整 f2a+1=-1 除吗？请说明理由. 比较系数，得a+2b=0, 解得6=司 b=m, m=2 m的值为号 解法二：设2x3-x2+m=A(2x+1)(A为 整式) 由于上式为恒等式，为方便计算，取x= 2则2×(》-(》 十m=0,解得 1 12.下面是一个正确的因式分解，但是其中部分 m2 式子被墨水污染看不清了. (1)已知关于x的多项式x2十mx一15有 2x2+3x-6+ =(x-2)(2x+5). 一个因式为x一3，则= (1)求被墨水污染的式子， (2)已知x4+m.x3+x-16有因式x-1 (2)若被墨水污染的式子的值不小于2，求 和x一2，求m,n的值 x的取值范围。 (3)已知x2+2x+1是多项式x3一x2十 ax十b的一个因式，求a,b的值，并将该多 项式分解因式. 71