第四章 专题特训七、八 因式分解的方法 因式分解的应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

六个字，.结果呈现的密码信息可能 是我爱惠济 10.10解析：a十b=1,.a2 b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+ 9=a-b+2b+9=a+b+9=10. 11.<解析：原式=(a一c+b)(a c-b)..a,b,c是△ABC的三边长， a+b>c,a<b+c..'.a-c+b> 0,a-c-b0..(a-c+b)(a-c b)<0..代数式(a-c)2一b2<0. 12.(1)原式=x2-9=(x+3)(x-3). (2)原式=(x-2)2(x2+4)(x十2). 13.原式=-2(3a+b)(a-3b). 当3a+b=50,a-3b=11时， 原式=-2×50×11=-1100. 14.(1)原式=(2.99-3.99)× (2.99+3.99)=-6.98. (2)原式=(5652-4352)×11= (565+435)×(565-435)×11= 1000×130×11=1430000. 15.当m是偶数时，原式=日×1 1)×(n2-1)=0. 当m是奇数时，原式=8×(1+1)× (n+1D(m-1)三(n+1)(n-1). 设n=2k十1(k为整数). 子a+1D0m-1D=(26+1D+ 1][(2k+1)-1]=k(k+1). :0和k(k十1)(k为整数)都是 偶数， 名1-（一1D]x2-D的计算结 果总是偶数， 16.(1)27是“优美数” .142-132=(14+13)×(14 13)=27×1=27,62-32=(6+3)× (6-3)=9×3=27, .27是“优美数”，14与13,6与3都 是27的平方差分解」 (2)能. 理由：(21+1)2一(2m-1)2=8(n是 正整数). 8,能被8整除， .由它们构成的“优美数”能被8 整除 第2课时利用完全平方 公式分解因式 1.C2.C3.A4.2m(m-3)2 5.2026 6.(1)(a-8b)2 (2)2(x-3y)2. (3)一a(1-9a)2 (4)(a+2b-7)2 7.D 8.A解析：4a2+b2=4ab, ∴.(2a-b)2=0,即2a-b=0.∴.b= 2a.=2 a 9.答案不唯一，如4x10.(a十2)2 解析：：x一2y一1|+ x2+4xy+4y2=|x-2y-1|+(x+ 2y)2=0,. x-2y-1=0, 解得 x+2y=0, 1 111 .x+y=2-4=41 =-4 12.(1)(x+2)2(x-2)2. (2)-(a+1)2(a-1)2. 一方法归纳 分解因式的一般步骤 分解因式时通常采用一“提”、 二“公”、三“分”、四“变”的步骤，即 首先看有无公因式可提，其次看能 否直接利用乘法公式：若前两个步 骤不能进行，则可用分组分解法， 分组的目的是使得分组后有公因 式可提或可利用公式法继续分解： 若上述方法都行不通，则可以尝试 其他方法」 13.(1)原式=(1001-101)2 9002=810000. (2)原式=(2024-2025)2= (-1)2=1. 14.先将x2-y2分解因式. 原式=(x+y)2+4(x-y)2-4(x+ 34 y)(x-y)=[(x+y)-2(x-y)]= (x+y-2x+2y)2=(3y-x)2. 15.(1)a2-12a+20=(a2-12a+ 36)-16=(a-6)2-42=(a-2)· (a-10). (2)a2-8a-9=(a2-8a+16)- 25=(a-4)2-25. (a-4)2≥0， ∴.(a-4)2-25≥-25，即a2-8a- 9≥-25. ∴.a2-8a-9的最小值为-25. 16.(1)设x+y=M. ∴.原式=M(M-4)+4=M- 4M+4=(M-2)2 再将x十y=M还原，得原式=(x+ y-2)2. (2)原式=(a-1)(a-4)(a 2)(a-3)+1=(a2-5a+4)(a2 5a+6)+1. 设a2-5a+4=N. ∴.原式=N(N+2)+1=N2+2N+ 1=(N+1)2. ,a为正整数， ∴.N=a2-5a+4=(a-1)(a-4)也 是整数 .N+1也是整数 .(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1 为整数的平方. 专题特训七因式分解的 方法 1.(1)-5ab(ab2-4b+1). (2)3(x-y)(x+4y). 2.(1)4a2(a+3b)(a-3b). (2)2m(x-y)2 (3)(x2+3)(x+3)(x-3). (4)(m-1)2(m+1)2. 3.(1)(x+2y)(x-2y+1). (2)(a-b+1)2. 4.(x-4)(x-7)(2x+1)(x-2) 5.(1)设m十n=t. .原式=t2-10t+25=(t-5)2= (m+n-5)2. (2)设x2-6x=t. ∴.原式=(t+8)(t+10)+1=t2+ 18t+81=(t+9)2=(x2-6.x+9)2= (x一3)4 专题特训八因式分解的 应用 1.别 解析：原式=(1-2)× (+2)×(1-3)×(+3)× (1-)×(1+)×…× (-)×(+)=× 34 ×…×100 99 101101 100200 2.(1)原式= (55+45)×(55-45) 992+2×99×1+12 100×10100×101 (99+1)2100×10010 (2)原式=999×(999+1)+(685 315)×(685+315)=999×1000+ 370×1000=1000×(999+370)= 1000×1369=1369000. 3.-3 4.原式=-2(m十n). 1 当m十n=1,mn=2时，原式= -2×2×1=-1. 5.原式=2(n+1)(n+2). ,n为正整数， .n+1或n+2必有一个数是偶数 ∴.2(n+1)(n十2)是4的倍数. .当n为正整数时，2(n+1)2十 2(n十1)能被4整除， 6.a2+62+c2=ab+ac+bc, ∴.2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+ (b2-2bc+c2)=0. 整理，得(a-b)2+(a-c)2+(b c)2=0. .∴.a-b=0,a-c=0,b-c=0. .∴.a=b,a=c,b=c. ∴.a=b=c. ∴.△ABC是等边三角形. 7.a=20252025×999=2025× 999×10001=(2024+1)×(1000 1)×10001=2024×1000×10001 2024×10001+1000×10001一 10001, b=20242024×1000=2024× 1000×10001, .a-b=-2024×10001+1000× 10001-10001=(-2024+1000 1)×10001=-1025×10001<0. .a<b. 8.A=x2+4xy+y2-4,B= 4x+4xy-6y-25, ∴.A-B=x2+y2-4x+6y+21= (x-2)2+(y+3)2+8. :(x-2)2+(y+3)2+8≥8， .A-B>0. .A>B. 第四章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B 「变式]是因式分解 .·(x+2)(x+4)=x2+6x+8= x2+(m十k)x+k, m+k=6, m=-2, 解得 k=8, k=8. 典例2(1)(3x+4y)(3x-4y). (2)a(.x2+y2)(x+y)(x-y). (3)2(m+4)2. (4)(a+2b-3c)(a-2b+3c). [变式](1)(a-b)(a+1)(a-1). (2)a(x-y)(a-3). (3)(a+b)2(a-b)2. 典例3(1)原式=（x-3y)2 3(x-3y)=(x-3y)(x-3y-3). (2)△ABC为等腰三角形 理由：a2-b2-ac+bc=0, .(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即 (a-b)(a+b-c)=0. ∴.a-b=0或a+b-c=0. a+b-c>0, ∴.a-b=0,即a=b. '.△ABC为等腰三角形. [变式](1)整理等式，得a2+4a+ 35 4+b2一86+16=0，即(a+2)2+(b- 4)2=0. .a十2=0，b一4=0，解得a=-2, b=4. ∴.a2+b2=(-2)2+4=20. (2)整理等式，得4a2-20a+25+ b2+6b+9=0,即(2a-5)2+(b+ 3)2=0. .2a-5=0,b+3=0,解得a=2.5, b=-3. .2a-b=2.5×2+3=8. [综合素能提升] 1.D 2.A解析：m十1-3=0，∴.m十 n=3..原式=2(m十1)2-6=12. 3.(m+3n)(m+) 4.(1)-6xy(2.x-1+3y). (2)(x-y)(3a+2b)(3a-2b). (3)(a+b-2)2. (4)(x+3)(x-5). 5.多项式A,B,C有公因式. A=3x2-12=3(x+2)(x-2), B=5.x2y3+10xy3=5.xy3(x+2), C=(x+1)(x+3)+1=x2+4x+ 4=(x十2)2， '.多项式A,B,C的公因式为x+2 6.(1)C. (2)不彻底. (x-1)4. (3)设x2-4x=y. 原式=y(y+8)+16=y2+8y+16= (y+4)2=(x2-4x+4)2=(x-2)4. 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的概念 1B解折1-气g之 的分母中均不含有字母，因此它们不 是分式。马织中兰的分好中合 有字母，因此它们是分式，共有3个.拔尖特训·数学（北师版）八年级下 专题特训七 类型一提公因式法 1.分解因式： (1)-5a2b3+20ab2-5ab. (2)15x(x-y)-12(y-x)2. 类型二公式法 2.分解因式： (1)4a4-36a2b2. (2)(2025·绥化)2m.x2-4m.xy十2my2. (3)(x2-3)2-36. (4)(m2-5)2+8(m2-5)+16. 类型三分组分解法 3.分解因式： (1)x2-4y2+x+2y. (2)a2+2a+1+b-2b-2ab. 78 因式分解的方法 类型四十字相乘法 4.如图，可以把x2+3x+2因式分解 的过程用十字相乘的形式形象地表 示出来：先分解二次项系数，把结果 分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再 分解常数项，把结果分别写在十字交叉线的 右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和， 使其等于一次项系数.这样，我们可以得到 x2十3x十2=(x十1)(x十2).请利用这种方 法因式分解：x2一11x+28= 2x2-3x-2= 1/1 12 1×2+1×1=3 (第4题) 类型五 换元（整体）法 5.分解因式：(a+b)2+2(a+b)+1. 解：设a十b=t. ∴.原式=t+2t+1=(t+1)2=(a+b+1)2. 这样的解题方法称为“换元法”，即当复杂的 多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母 将其替换，从而简化这个多项式.“换元法”是 种重要的数学方法，不少问题能用“换元 法”解决。 请用“换元法”分解因式： (1)(m+n)2-10(m+n)+25. (2)(x2-6.x+8)(x2-6x+10)+1. 专题特训)八 类型一简便计算 1计算：1-2)×(1-)×1-是)×…× 10) 2.利用因式分解计算： 552-452 (1) 992+198+1 (2)999+999+6852-315. 类型二化简求值 3.(2025·成都金牛期末)已知x十2y=5,x- 2y=一3，则代数式x2-4y2-4x+8y的值 是 4.利用因式分解求值：m(m十n)(m一n) 1 m(m十n)2,其中m+n=1,mn=2: 第四章因式分解 因式分解的应用 ●“答案与解析”见P35 类型三判断整除 5.(2025·宜宾段考)当n为正整数时，2(n十 1)2+2(n+1)能被4整除吗？ 类型四判断三角形的形状 6.已知a,b,c是△ABC的三边长，且 a2+b+c2=ab+ac+bc.求证： △ABC是等边三角形. 类型五比较大小 7.已知a=20252025×999,b=20242024× 1000,请比较a与b的大小关系. 8.若A=x2+4xy十y2-4,B=4x+4xy一 6y一25，试比较A,B的大小关系. 79