第三章 2-3 图形的旋转 简单的图案设计-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

②CE⊥CD 理由：设点D到CE的距离为h,点 A到CE的距离为h2. 3 :S△Rn=2S△E, 3 .h1=2h2 CD=3,yA-yp=n+7-- 2=5,|yA-yc=n+7-n-5=2, .h1=3,h2=2. ∴.yE=yc .EC∥x轴，即EC⊥CD 2图形的旋转 第1课时图形的旋转 1.C 2.D解析：将△ABC绕点A按 顺时针方向旋转60°得到△AED, ∴.AE=AB=7,∠BAE=60°. '.△ABE为等边三角形..BE= AB=7. 3.(0,0)90 4.(1),△ACD和△BCE都为等 边三角形， ∴.CA=CD,CE=CB,∠ACD= ∠BCE=60°. ∴.∠ACD+∠DCE=∠BCE+ ∠DCE,即∠ACE=∠DCB, '.△ACE≌△DCB. ∴.△ACE与△DCB能够通过旋转 完全重合，旋转中心为点C,旋转角的 度数为60°. (2)AE=DB. 理由：.△ACE绕点C按顺时针方 向旋转60°得到△DCB,旋转前后的 两个图形全等， .AE=DB. 5.B解析：在Rt△ABC中，∠C= 90°，由勾股定理，得AB √32+4=5.将Rt△ABC绕点A 按顺时针方向旋转，使得点B落在点 D处，，'.AE=AC=4,∠AED ∠C=90°，DE=BC=3..∠BED= 90°，BE=1.在Rt△BDE中，由勾股 定理，得BD=√BE十DE= √2+32=√10. 6.B解析：将△ABC绕点A按 逆时针方向旋转50°得到△AB'C', ∠CAB=20°，∠ABC=30°，∴.BC= B'C',AB=AB',AC=AC',/BAB'= ∠CAC'=50°，∠AB'C'=∠ABC= 30°.故①正确.：∠CAB= ∠BAB' -∠CAB=30°， ∴.∠CAB'=∠AB'C'.∴AC∥BC 故②正确.：∠ABB+∠ABB+ ∠BAB′=180°，且易得∠ABB′= ∠AB'B,.2∠AB'B+50°=180° ∴.∠ABB=65.∴.∠BB'C' ∠AB'B+∠AB'C'=95.∴.B'C与 BB不垂直.故③错误.，∠ACC'+ ∠AC'C+∠CAC'=180°，且易得 ∠ACC'=∠AC'C,∴.2∠ACC+ 50°=180°..∠ACC=65 ∠ABB'=∠ABB=65, ∴.∠ABB'=∠ACC'.故④正确 7.260°解析：·将△ABC沿射 线BC的方向平移，得到△A'B'C',再 将△A'BC'绕点A'按逆时针方向旋 转一定角度后，点B'恰好与点C重 合，.△ABC2△A'B'C,AB= A'B'=A'C.∴.∠B=∠A'B'C' 60°..△A'B'C是等边三角形. .B'C=A‘B'=AB=4..平移的距 离为6一4=2，旋转角的度数为60°. 8.(1)90.解析：AC=3√2， BC=4√2，AB=5√2，.AB2= AC2+BC2.∴.∠ACB=90°. (2)如图，延长AC到格点B,使得 AB'=AB=5√2，延长BC到格点E, 连接AE,取格点F,连接FB交AE 于点C',△ABC即为所求作. E B (第8题) 27 方法归纳 网格内旋转变化的规律 网格中的旋转作图，旋转角度 一般为90°或180°.网格中的旋转 作图仍遵循旋转作图的一般步骤， 不同的是由于以网格为背景，图形 中的关键点的位置一般在格点上， 旋转90°或180°后得到的图形其关 键点也在格点上.若旋转90°，则每 对对应点与旋转中心的连线互相 垂直，且长度相等.若旋转180°，则 对应线段互相平行（或在同一条直 线上)，且对应，点的连线被旋转中 心平分.特别地，若旋转的角度为 270°，则可转化为逆向旋转90°. 9.(1).B=90°， .∠A'BA=90° A(8,0),B(0,6), .OA=8,OB=6. 根据勾股定理，得AB= √/OA+OB=√82+62=10， 由旋转的性质，得A'B=AB=10, 在Rt△A'BA中，根据勾股定理，得 AA'=√AB2+AB=10W2. (2)如图，过点O作OC⊥y轴于 点C. 由旋转的性质，得OB=OB=6, 3=120°， .∴.∠OBO=120 .∴.∠O'BC=180°-120°=60°. ∴.∠BOC=30. C=0B=2×6=8 ∴.CO=√OB2-BC=√62-3= 3√3，OC=OB+BC=6+3=9. ∴.点O的坐标为(35,9). C中 0 0 A (第9题) 10.(1,1)或(4,4) 解析：由点 A(一1,5)，B(3,3),C(5,3)可确定平 面直角坐标系.分两种情况讨论： ①当点A的对应点为C时，如图①， 连接AC,BD,分别作线段AC,BD 的垂直平分线交于点E,点E的坐标 为(1,1).②当点A的对应点为D 时，如图②，连接AD,BC,分别作线 段AD,BC的垂直平分线交于点M, 点M的坐标为(4,4).综上所述，这个 旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4). (① ② (第10题) 易错警示 确定旋转中心要注意分类讨论 图形旋转，旋转中心为对应点 连线的垂直平分线的交点，这里要 注意，因为对应点不确定，所以应 分情况讨论 11.(1),△ABC是等边三角形， '.∠A=∠ABC=∠C=60 EF//BC, ∴.∠FED=∠G,∠AFE=∠ABC= 60°，∠AEF=∠C=60° '.△AEF是等边三角形 .'AE=EF=AF AE=BG=1, ..EF=GB=1. 又，∠EDF=∠GDB, ∴.△EFD≌△GBD. .DF=DB. AB=5, .BF=AB-AF=4 BD-BF-2. (2)CE=AH+BD 如图，过点E作EMBC,交AB于点 M,连接EH. 由(1)，可知∠AEM=60°，△AME是 等边三角形， .AE=ME 由旋转，可知DE=DH, ,∠HDE=60, ∴.△DEH是等边三角形. '.HE=DE,∠HED=60 ∴.∠AEH+∠HEM=∠HEM+ ∠DEM=60°. '.∠AEH=∠DEM. ,'.△AEH≌△MED .'AH=MD ∴.BM=BD+DM=BD+AH. 易知AM=AE,AB=AC, .'BM=CE .∴.CE=AH+BD B (第11题) 第2课时中心对称 1.D2.A3.24 4.如图，连接AO并延长至点A',使 得OA'=OA:连接BO并延长至点 B',使得OB=OB:连接CO并延长 至点C',使得OC'=OC:连接DO并 延长至点D',使得OD'=OD:连接 A'B,BC',CD,DA',则四边形 A'B'CD就是以点O为对称中心，与 四边形ABCD成中心对称的图形. 4 B D D (第4题) 5.D解析：由图形可知，对应点连线 的交点为E,∴点E是对称中心，点 A的对称点是. 6.A解析：：点A(-1,3a-1)与 点B(2b+1,一2)关于x轴对称， 28 ∴.2b+1=-1,3a-1=2,解得a 1,b=-1..C(3,-1).点C(3, 一1)与点D关于原点对称， ∴.D(-3,1). 7.60 8.(-1,一3)解析：由题图，可知点 A的坐标为（一2,3），将△ABC先向 右平移3个单位长度后，点A的对应 点的坐标为(1,3)，再绕原点O旋转 180°，得到△A'B'C',则点A的对应 点A'的坐标为(-1，一3). ·方法别归纳 平面直角坐标系内，图形的全等 变换对应的坐标变化规律 (1)平移：左、右平移，横坐标 减、加：上、下平移，纵坐标加、减 (2)中心对称：图形关于原点 对称，横、纵坐标都互为相反数. (3)轴对称：关于哪条坐标轴 对称，哪条坐标轴上的坐标不变， 另一坐标轴上的坐标互为相反数 9.(1)如图，△A,B1C1和△A2B2C2 即为所求作 (2)是. 如图，连接AA2,BB2交于点(0,2)， .△A2BC2与△ABC关于点(0,2) 成中心对称 5 543210 (第9题) 10.(1)如图，△AED即为△BCD关 于点D的中心对称图形 (2)由(1)，知△AED2△BCD, ∴.ED=CD,AE=BC=6. '.AE-AC<2CD<AE+AC,即 2<2CD<10 .1<CD<5. (第10题) 11.(1)中心对称. (2)答案不唯一，如图①②所示. ① (第11题) 12.(1),△ABM与△ACM关于直 线AF成轴对称， ∴.△ABM≌△ACM ..AB=AC. :△ABE与△DCE关于点E成中 心对称， '.△ABE≌△DCE ..AB=DC. ..AC=DC. (2)∠F=∠MCD. 理由：由(1)，易得∠BAE=∠CAE= ∠CDE,∠CMA=∠BMA 设∠MPC=a. .∠BAC=2∠MPC,∠BAC= ∠CAE+∠BAE=2∠CAE 2∠BAE, ∴.∠BAE=∠CAE=∠CDE= ∠MPC=a. 设∠BMA=B,则∠PMF= ∠BMA=∠CMA=B. :∠F=∠MPC-∠PMF=a-B, ∠MCD=∠CDE-∠DMC=a-B, .∠F=∠MCD, 3简单的图案设计 1.B2.A603.3 4.如图，图①是由基本图形本>绕 点O按顺时针（或逆时针）方向依次 旋转72°，144°，216°，288得到的： 图©是由基本图形了了绕点O按颗 时针（或逆时针）方向依次旋转90°， 180°，270得到的 图③是由基本图形 绕点O按顺 时针（或逆时针）方向依次旋转90°， 180°，270得到的 设计图案略」 ① ② ③ (第4题) 5.B 6.16解析：图形①一图形④的变换 过程中，图形的面积不变，图形⑤的面 积为4个正方形面积的和，即为4× 22=16. 7.(1)如图①，基本图形是梯形 ABCD.先将该基本图形绕点C顺时 针依次旋转120°，240°，然后整个图形 沿直线m翻折可以得到（合理即可）. (2)答案不唯一，如图②所示 'm ① ② (第7题) 专题特训五巧用平移、 旋转解题 1.B 2.C解析：将小路平移后绿化部分 即是长(30一2)m、宽(22一2)m的长 方形，'.绿化的总面积是(30一2)× (22-2)=560(m2). 一方法归纳 利用平移巧妙解题 图形平移，对应点所连的线段 及对应线段都平行（或在同一条直 线上)且相等，由此利用图形的平 移可将分散零碎的量集中到一起， 从而将不规则图形转化为规则图 形，以巧妙地解决问题 3.C4.4 29 5.9解析：如图，过点A作AD'⊥直 线b于点D'.由题意，易知左下方的 涂色部分的面积与右上方的空白部分 的面积相等，OD'=OD=2.∴.涂色 部分的面积之和=长方形OBAD'的 面积+△B0D的面积=3X2+子× 3×2=9. D (第5题) 6.(1)=. (2)如图①所示 (3)如图②所示. ② (第6题) 专题特训六与旋转有关的 计算证明题与探究题 1.B解析：设A'B交AC于点F. A'B'⊥AC,.∠AFA′=90. ,将△ABC绕点C按顺时针方向旋 转50得到△A'BC,.∠ACA'= 50°，A'C=AC..∴.∠CAA′=∠CA'A. .∠CAA'+∠CA'A+∠ACA'= 180,∴.2∠CAA'+50°=180°. .∠CAA'=65..∠AA'B= 90°-∠CAA'=25. 2.C解析：如图，连接AO. △ABC为等腰直角三角形，O为 BC的中点，∴.OA=OC,∠AOC= 90°，∠BAO=∠AC0=45. :∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°， ∠AOF+∠FO℃=∠AO℃=90°， ∴.∠EOA=∠FOC.在△EOA和拔尖特训·数学（北师版）入年级下 2 图形的旋转 第1课时图形的旋转 自基础进阶 淘素能攀升 1.新情境·现实生活有下列现象：①地下水位逐 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将 年下降；②火箭冲向空中；③方向盘的转动； Rt△ABC绕，点A按顺时针方向旋转，使得 ④水龙头开关的转动：⑤钟摆的运动；⑥雨 点B落在点D处，点C落在边AB上的点 刮器来回摆动.其中，属于旋转的有() E处，连接BD.若AC=4,BC=3,则BD的 A.2个B.3个C.4个D.5个 长为 ( 2.(2025·延安富县期末)如图，将△ABC绕点 A.√17B.√10 C.25D.5 A按顺时针方向旋转60°得到△AED,连接 BE.若AB=7,AC=5,BC=3,则BE的长为 ) A.3 B.4 C.5 D.7 (第5题) (第6题) 6.(2025·苏州期末)如图，在△ABC中， ∠CAB=20°，∠ABC=30°.将△ABC绕点 D A按逆时针方向旋转50°得到△AB'C,连接 -210 234x BB',CC'.有下列结论：①BC=B'C; (第2题) (第3题) ②AC∥B'C';③B'C⊥BB';④∠ABB'= 3.新考法·操作实践题如图，在平面直角坐标系 ∠ACC'.其中，正确的是 () 中有△ABC,且A(-1,3),B(-3,-1), A.①②③ B.①②④ C(一3,3).已知△DAE是由△ABC绕某点 C.①③④ D.②③④ 按顺时针方向旋转得到的，则旋转中心的坐 7.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,∠B= 标是 ,旋转角的度数是 60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到 4.如图，C是线段AB上任意一点，分别以AC, △A'BC',再将△A'B'C'绕点A'按逆时针方 BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边 向旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合， 三角形BCE,连接BD,AE. 则平移的距离为 ,旋转角的度数为 (1)试找出图中能够通过旋转完全重合的三 角形，并说明旋转中心和旋转角的度数， (2)试猜想AE与DB之间的数量关系，并用 旋转的性质说明上述关系成立的理由. (第7题) 8.★如图，在每个小正方形的边长为1的网格 中，△ABC的顶点A,B,C均在格点上. (第4题) (1)∠ACB的度数为 58 第三章图形的平移与旋转 (2)在如图所示的网格中，以点A为旋转中 份思维拓展 心，∠BAC为旋转角，把△ABC按逆时针方 10.易错题如图，点A的坐标为（一1 向旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的 5),点B的坐标为(3,3)，点C的 △AB'C',并简要说明旋转后点C,B的对应 坐标为(5,3)，点D的坐标为(3 点C',B'的位置是如何而找到的（不要求 一1).小明发现：线段AB与线段CD存在 证明). 一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋 转一定角度后可以得到另一条线段.你认为 这个旋转中心的坐标为 B (第8题) (第10题) 11.如图，在等边三角形ABC中 AB=5,D为边AB上一点，E为 边AC上一点，连接DE, (1)如图①，过点E作EFBC,交AB于 点F,延长ED交CB的延长线于点G.若 9.在平面直角坐标系中，O为原点，B(0,6), AE=BG=1,求DB的长， A(8,0),以点B为旋转中心，把△ABO按逆 (2)如图②，将DE绕，点D按逆时针方向旋 时针方向旋转，得到△A'BO',点O,A旋转 转60°得到DH,连接AH,请猜想CE, 后的对应点分别为O',A',记旋转角为B. (1)如图①，连接AA'.若3=90°，求AA AH,BD之间的数量关系并证明！ 的长 (2)如图②，若B=120°，求点O的坐标. (第11题) ② (第9题) 59 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 第2课时 中心对称 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列奥运比赛项目的图标中，不是中心对称 5.(2025·晋城阳城期末)如图，两个五角星关 图形的是 于某一点成中心对称，则对称中心和点A的 对称点分别是 () A.A,H B.I,E C.E,F D.E,I A B 州 * D. (第5题) (第7题) 2.(2025·厦门期末)如图，四边形ABCD是正 6.(2025·五指山期末)已知点A(-1,3a-1) 方形，E,F,G,H分别为各边的中点，HF与 与点B(2b+1,一2)关于x轴对称，点C(a十 EG交于点O.下列三角形中，与△HAE成 2,b)与点D关于原点对称，则点D的坐标是 中心对称的是 ( () A.△FCG B.△GOF A.(-3,1) B.（-3,2) C.△FBE D.△HOG C.(3,-1) D.(-3,-1) 7.如图所示的图案绕着它的中心旋转后能够与 它本身重合，则旋转角α最小可以为 E B (第2题) (第3题) 8.★如图，将△ABC先向右平移3个单位长度， 3.转化思想(2025·南阳淅川期末)如图，直线 再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C',则点 a⊥b,垂足为O,曲线C关于点O成中心对 A的对应点A'的坐标为 称，点A对称点是A',AB⊥a于点B, A'D⊥b于点D.若OB=6,OD=4,则涂色 部分面积之和为 4.如图所示为四边形ABCD,O为四边形内部 432-10 1234x 一点，以点O为对称中心，画出与四边形 2以 ABCD成中心对称的图形 .3 二41 (第8题) 9.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 0 网格中，建立如图所示的平面直角坐标系， (第4题) △ABC是格点三角形（顶点在网格线的交 点上) 60 第三章图形的平移与旋转 (1)先作△ABC关于原点O成中心对称的 (1)图①中的三个图案都具有一个共同的 △A1B1C1,再把△A1B1C1向上平移4个单 特征：都是 图形（填“轴对称”或“中 位长度得到△A2B2C2. 心对称”). (2)△A2B,C2与△ABC是否关于某点成中 (2)请你在图②③的网格中涂色，使涂色部 心对称？若是，写出对称中心的坐标；若不 分构成的图案与图①中的图案有相同特征 是，请说明理由. 3 ① 13210 123 45 -2 ③ ③ (第11题) (第9题) 10.如图，在△ABC中，D是边AB的中点， 思维拓展 AC=4,BC=6. 12.如图，△ABM与△ACM关于直线 (1)画出△BCD关于点D的中心对称 AF成轴对称，△ABE与△DCE 图形 关于点E成中心对称，点E,D,M (2)根据图形说明线段CD的长的取值 都在直线AF上，BM的延长线交CF于 范围 点P (1)求证：AC=DC. (2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与 ∠MCD之间的数量关系，并说明理由， (第10题) ED/M (第12题) 11.新考法·操作实践题如图，请你仔细观察如图 ①所示三个网格中的涂色部分构成的图案， 按要求回答下列问题， 6 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 3 简单的图案设计 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·镇江期中)在下列各组图形中，一个 5.下图中的①~③三个图形中，能通过旋转得 图形不能经过一次平面变换得到另一个图形 到图形④的是 的是 ①②③ A. B. (第5题) A.①②B.①③C.②③D.①②③ co 6.如图，把边长为2的正方形的局部进行图形 D. ①一图形④的变换，最终拼成图形⑤，则图形 2.如图所示的图案可以看作是由大写字母 ⑤的面积是 绕旋转中心连续旋转，每次旋转 °组成的 有食气的 1234 ① ③ ④ (第6题)》 56 78 7.新考法·操作实践题按要求完成以下 91011 各题： (第2题) (第3题) (1)请欣赏图①的图案，先找出组成 3.如图所示为4×4的正方形网格，把其中一个 该图案的基本图形，然后分析它的形成过程 标有数字的白色小正方形涂色，就可以使图 (2)利用图②中所给的基本图案，通过平移、 中的涂色部分构成一个中心对称图形，则这 旋转或轴对称变换设计图案，所设计的图案 个白色小正方形内的数字是 要包括4个基本图案 4.利用旋转分析如图所示的图案，并设计一个 你喜欢的图案， ① ② (第7题)》 ② (第4题) 62