第三章 1 图形的平移-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第三章 图形的平移与旋转 1图形的平移 第1课时 平移的定义和性质 白基础进阶 是 1.新情境·现实生活(2025·重庆期中)下列生 活现象中，属于平移的是 A.随风摆动的旗帜 B.把打开的课本合上 (第4题) C.投篮时的篮球运动 幻素能攀升 D.在笔直的公路上行驶的汽车 5.如图，△DEF是由△ABC平移得到的，连接 2.新考向·传统文化甲骨文是我国古代的一种 BE.已知∠A=54°，∠ABC=36°，则下列结 文字，是汉字的早期形式.下列甲骨文中，能 论中，不一定成立的是 ) 用其中一部分平移得到的是 A.∠D=549 B.∠BED=∠FED C.BC⊥DF D.DF∥AC 比 A. B (第5题) (第6题) 6.转化思想(2025·上饶余千期中)如图，将 D. 3.(2025·凉山)如图，将周长为20的△ABC Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF. 沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF, 若平移的距离为7，AB=10,DH=4,则涂色 部分的面积为 () 连接AD,则四边形ABFD的周长为 A.56 B.54 C.50 D.49 7.(2025·咸阳旬邑模拟)如图，在△ABC中， AB⊥BC,AB=6,AC=10.将△ABC沿AC 方向平移一段距离后得到△DEF,DE交BC (第3题)》 于点G.连接BE,则涂色部分的周长 4.(2025·泰州姜堰期末)正方形网格中的每个 为 小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 各顶点的位置如图所示.将△ABC平移，使 点A移到点D处，E,F分别是点B,C的对 10 应点 (第7题) (第8题) (1)画出平移后的△DEF, 8.如图，半圆从左往右平移的过程中所扫过的 (2)在整个平移的过程中，AB扫过的面积 面积为 54 第三章图形的平移与旋转 9.新考法，操作实践题在如图所示的方格中，按11.如图，等边三角形ABC的边长为6，现将 下列要求作格点三角形（图形的顶点都在小 △ABC沿BC方向平移，使点B与点C重 正方形的顶点上). 合，得到△DCE,连接AE交DC于点F. (1)在图①中，将△ABC平移，得到 (1)试猜想AE与CD的位置关系，并证明， △A'B'C',使得△A'B'C与△ABC无重合 (2)求AE的长. 部分（点A,B,C的对应点分别为A', B',C) (2)在图②中，线段AB与CD相交，求作 △ABE,使得△ABE中的一个角等于∠α. (第11题) ② (第9题) 10.(2025·临沂罗庄期末)如图，在同一平面 的思维拓展 内，直线（上摆放着两个大小相同的直角三 12.在△ABC中，AD平分∠BAC交 角形（∠CED=∠ABC=60°，∠A 三 BC于点D. ∠CDE=30),点A,E,C在一条直线上. (1)如图①，将△ABD沿BC方向 将△DE℃沿直线1向左平移得到△D'E'C, 平移，使点D平移至点C处，得到△A'BD', 点E在AB上，P为AC与ED的交点. 且A'B'交AC于点E,猜想∠B'EC与∠A' (1)求∠CPE'的度数. 之间的数量关系，并说明理由， (2)求证：AB⊥ED (2)如图②，将△ABD沿AC方向平移，得 (3)若图中三个涂色部分的面积之和为8， 到△A'B'D',使A'B'刚好经过点D,求证： 求△ABC的面积. AD'平分∠B'A'C. C'C D'D D B'C(D' B' (第10题) ① (第12题) 55 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第2课时 图形的平移变换与点的坐标变化 自基础进阶 幻素能攀升 1.在平面直角坐标系中，将点A(3,一4)先向左 4.在平面直角坐标系中，把点A(m,2)先向右 平移5个单位长度，再向上平移7个单位长 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长 度，则平移后的点在 度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相 A.第一象限 B.第二象限 等，则m的值为 ( ) C.第三象限 D.第四象限 A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，将①号“鱼”先向右平移 个单 5.新考法·探究题已知点A(2,3)关于x轴的对 位长度，再向下平移 个单位长度可 称点是B,点B关于y轴的对称点是C,下列 以得到②号“鱼”.②号“鱼”也可以由①号 平移变换中，能由点A平移得到点C的是 “鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为 () 个单位长度 A.向左平移4个单位长度，向上平移6个单 位长度 B.向左平移4个单位长度，向下平移6个单 位长度 C.向右平移4个单位长度，向上平移6个单 -2引 位长度 (第2题) 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平 D.向右平移4个单位长度，向下平移6个单 移得到△AB'C' 位长度 (1)分别写出点A,A'的坐标：A( 6.如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD ),A'( 先向下平移，再向右平移得到四边形 (2)请说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样 A1B1C1D1.已知A(-3,5),B(-4,3), 的平移得到的， A1(3,3),则点B1的坐标为 () (3)若M(m,4-n)是△ABC内部一点，平 A.(1,2)B.(2,1)C.(1,4)D.(4,1) 移后对应点M的坐标为(2一8，m一4)，求 B(m+2,n） m和n的值. B A(m-1,n-2) 0 C 0 (第6题) (第7题) 7.分类讨论思想(2025·福州仓山期中)如图，在 平面直角坐标系中，A(m一1，n一2)，B(m十 2,n),平移线段AB,使点A,B均落在坐标 -5 轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 (第3题) 56 第三章图形的平移与旋转 8.已知点P的坐标为(a,b)(a>0) 写出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 点Q的坐标为(c,2),且|a-c|十 √b一6=0，将线段PQ向右平移 a个单位长度，其扫过的面积为24，则a+ b十c的值为 9.如图，△ABC中任意一点P(x。,yo)经平移 后的对应点为P1(x。十3，yo一5)，将△ABC 作同样平移得到△AB,C. (第10题) (1)求出点A1,B1,C1的坐标，并在图中画 出△A1B1C1. (2)若△ABC经两次平移得到△A1B1C1, 写出平移的方法. 思维拓展 (3)△AB1C1可以由△ABC经一次平移得 11.(2025·南通海安期末)在平面直 到，写出平移的方向和距离， 角坐标系中，A(6,n十7)，B(4,n+ 2),将点A向左平移a(a>6)个单 位长度，向下平移2个单位长度，得到点C, 将点B向左平移b个单位长度得到点D,且 CD∥y轴. (1)a,b之间的数量关系为 (2)如图，连接AD,E为线段AD上一点， (第9题) 连接CE, ①若CE⊥CD,则CE和CD是否相等？ ②若S△D=2SAE,判断EC和CD的 位置关系，并说明理由. 10.如图，在正方形网格中，每个小方格的边长 为1个单位长度，△ABC的顶点A,B的坐 标分别为(0,5)，(-2,2) (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出 点C的坐标. (第11题) (2)平移△ABC,使点C移动到点F(7, 一4)，画出平移后的△DEF,其中点D与点 A对应，点E与点B对应 (3)求△ABC的面积. (4)坐标轴上是否存在点P,使△POC的面 积与△ABC的面积相等？若存在，请直接 57答：最少可以购买30个篮球 [变式](1)方案一：1800+200× 70=1800+14000=15800(元)： 方案二：300×80%×(70-6)=240× 64=15360(元). .·15800>15360, .采用方案二更省钱 (2)设参加研学的人数为x(x>60): 方案一需要花费(1800+200x)元： 方案二需要花费300×80%×(x 6)=(240x-1440)元. 根据题意，得1800+200x<240.x 1440,解得x>81. 答：当参加研学的人数大于81时，采 用方案一更省钱。 [综合素能提升] 1.A解析：不等式ax十b<0可化 为a.x<-b,,不等式a.x十b<0的 解集是x>-1,a<0.:-b -1,.a=b. 2.B解析：解不等式2(x-1) 3(x+2)>-6,得x<-2.解不等式 士>1，得x>2-a.:不等式组 恰有2个整数解，'.2一a<x<一2， 且整数解为-3，-4..-5≤2 a<一4.，.6a7. 3.-1x<24.①②5.②1 x<3 6.(1)根据题意，得4x+1>85,解得 x>21 .输人的x的取值范围是x>21. 4x+185, (2)根据题意，得 4(4.x+1)+1>85 解得5<x≤21， ,.输人的x的取值范围是5 x21. 7.(1)设A型电动公交车的单价为 x万元，B型电动公交车的单价为 y万元. 2.x+y=112, 由题意，得 x+y=76, x=36, 解得 (y=40. .A型电动公交车的单价是36万 元，B型电动公交车的单价是40万元， (2)设购买A型电动公交车m辆，则 购买B型电动公交车(30一m)辆. 由题意，得36m+40(30一m)1128, 解得m≥18. 又.m20, .∴.18≤m≤20. 设购买这两种型号的电动公交车的总 费用为心万元 由题意，得心=36m+40(30 m)=-4m+1200. -4<0, '.随m的增大而减小 ∴.当m=20时，心取得最小值，此时 30-m=10. ∴.最省钱的购买方案为购买A型电 动公交车20辆，B型电动公交车 10辆. 第三章图形的平移与旋转 1 图形的平移 第1课时平移的定义和性质 1.D2.A 3.24解析：由平移的性质，可知 DF=AC,AD=CF=2,∴.四边形 ABFD的周长=AB+BF+DF+ AD=AB+BC+CF+AC+AD= △ABC的周长+AD+CF=20+2+ 2=24, 4.(1)如图，△DEF即为所求. (2)28. (第4题) 5.B 6.A解析：，Rt△ABC沿BC方向 平移得到Rt△DEF,平移的距离为 7,AB=10,DH=4,..DE=AB= 10,BE=7,S△Ax=S△DsF..HE= DE一DH=6..S豫色=S△DF S△PKE=S△ABC一S△HE=S佛形ABEH= 25 3×6+10)X7=56 7.24解析：'AB⊥BC,AB=6, AC=10,∴.BC=√AC-AB=8. 由平移的性质，可得BE=AD,AB= DE.'.涂色部分的周长为BE十 BC+DE+CD=AD+BC+AB+ CD=BC+AB+AC-=8+6+10= 24. 8.6解析：.·平移不改变图形的形 状、大小，.易得所求的面积可转化 为长方形ABDC的面积.根据图形平 移对应点所连的线段平行且相等，可 知BD=3.又AB=2,.长方形 ABDC的面积为3×2=6，即所求面 积为6. 9.(1)如图①，△A'BC即为所求. (2)如图②，△ABE即为所求」 A ① ② (第9题) 10.(1).将△DEC沿直线1向左平 移得到△D'E'C', ∴.∠BD'E'=∠CDE=30°. ∴.∠CPE'=∠BD'E'+∠ACD= 30°+90°=120°. (2)∠ABC=60°，∠BD'E=30°， ∴.∠BED'=180°-60°-30°=90°. .AB⊥E'D' (3)由平移的性质，可得S△cn= S△D: ∴.易得S梯形ECCp=S四边形PgD, .S△AC=S棉无ECCP十S△AEp十 S△XE=S四边形PHW十S△AEP十S△XE= Sm色=8. 11.(1)AE⊥CD. ,△DCE是由△ABC平移得到的， 且△ABC是边长为6的等边三角形， .易知AC=CE=6,∠ACB= ∠DCE=60° ∴.∠CAE=∠CEA=30°. ∴.∠CFE=180°-∠CEA ∠DCE=90°. .AE⊥CD (2)△DCE是由△ABC平移得 到的， .AB//CD. 又.∠CFE=90°， ,.∠BAE=∠CFE=90. .△BAE是直角三角形. AB=6,BE=2BC=12, ∴AE=√BE-AB2=65. 12.(1)∠B'EC=2∠A'. 理由：△A'B'D是由△ABD平移 得到的， ∴.A'B'∥AB,∠A'=∠BAD. '.∠B'EC=∠BAC ,AD平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠BAD. .∠BEC=2∠A' (2),△A'BD'是由△ABD平移得 到的， ∴.A'B'∥AB,∠B'A'D'=∠BAD. ∴.∠B'A'C=∠BAC ,AD平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠BAD. .∠B'A'C=2∠B'A'D. .A'D平分∠BAC. 第2课时图形的平移变换 与点的坐标变化 1.B2.51√26 3.(1)1:0:-4:4. (2)答案不唯一，如△A'B'C是由 △ABC向左平移5个单位长度，向上 平移4个单位长度得到的. (3)由题意，得 m-5=21-8, (4-n+4=m-4, m=7, 解得 {n=5. 4.C解析：：把点A(m,2)先向右 平移1个单位长度，再向上平移3个 单位长度得到点B,∴.B(m十1,2+ 3).点B的横坐标和纵坐标相等， .m+1=2+3.∴.m=4. 5.B解析：点A(2,3)关于x轴的对 称点为B(2,一3)，点B关于y轴的 对称点为C(-2,-3),2-(-2) 4,3一（一3）=6，∴.将点A向左平移 4个单位长度，再向下平移6个单位 长度得到点C. 6.B解析：由A(一3,5)，A1(3,3), 可知四边形ABCD向下平移2个单 位长度，向右平移6个单位长度得到 四边形A,B1CD1.点B的坐标为 (一4,3)，.点B,的坐标为（一4+6， 3-2),即(2,1). 7.(-3,0)或(0，一2》 8.18解析：.a一c+b-6 0,又.a-c≥0，√b-6≥0， ..ac=0,b-6=0.∴.a=c,b=6. .P(a,6),Q(a,2).∴.PQ=4.将 线段PQ向右平移a个单位长度，其 扫过的面积为24，∴.4a=24,解得 a=6.∴.a=c=6.∴.a+b+c=6+ 6+6=18. 9.(1)A1(2,-1),B1(-1,-6), C,(4,-4),△A1B1C1如图所示. (2)将△ABC先向右平移3个单位 长度，再向下平移5个单位长度即可 得到△A,B1C,(或将△ABC先向下 平移5个单位长度，再向右平移3个 单位长度即可得到△AB,C,). (3)如图，连接AA1. 由图可知，AA1=√5+32=√34， ∴.将△ABC沿AA,的方向，平移 √34个单位长度即可得到 △A,B1C1· 2 B (第9题) 10.(1)建立平面直角坐标系如图所 示，点C的坐标为(2,3). (2)如图，△DEF即为所求作 3)5a=4X3-7×2X3-× 26 1 4X1-2×2×2=5. (4)存在。 点P的坐标为(0,5)或(0，-5)或 (go或（号o) y B 0 (第10题) 11.(1)a-b=2.解析：A(6, 1+7),B(4,n+2),将点A向左平移 a(a>6)个单位长度，向下平移2个单 位长度，得到点C,将点B向左平移 b个单位长度得到点D,∴.C(6-a, n+7一2)，即C(6-a,n+5),D(4 b,n十2).，CD∥y轴，∴.C,D两点 的横坐标相等.∴.6一a=4一b. .a-b=2. (2)①：C(6-a,n+5),D(4-b, n+2), .CD=3. A(6,n+7),CDy轴， ∴.S△AcD= 2 CD XI zA-zcl= 1 3 3Xa=24. 又CE⊥CD,即CE∥x轴， ·Sam=2CEX|yA-yn|= 号×cE×u+7-以-2)=合E× 5=cE CE- .CE=5. a>6, &寻a≠8，即cE≠CD ②CE⊥CD 理由：设点D到CE的距离为h,点 A到CE的距离为h2. 3 :S△Rn=2S△E, 3 .h1=2h2 CD=3,yA-yp=n+7-- 2=5,|yA-yc=n+7-n-5=2, .h1=3,h2=2. ∴.yE=yc .EC∥x轴，即EC⊥CD 2图形的旋转 第1课时图形的旋转 1.C 2.D解析：将△ABC绕点A按 顺时针方向旋转60°得到△AED, ∴.AE=AB=7,∠BAE=60°. '.△ABE为等边三角形..BE= AB=7. 3.(0,0)90 4.(1),△ACD和△BCE都为等 边三角形， ∴.CA=CD,CE=CB,∠ACD= ∠BCE=60°. ∴.∠ACD+∠DCE=∠BCE+ ∠DCE,即∠ACE=∠DCB, '.△ACE≌△DCB. ∴.△ACE与△DCB能够通过旋转 完全重合，旋转中心为点C,旋转角的 度数为60°. (2)AE=DB. 理由：.△ACE绕点C按顺时针方 向旋转60°得到△DCB,旋转前后的 两个图形全等， .AE=DB. 5.B解析：在Rt△ABC中，∠C= 90°，由勾股定理，得AB √32+4=5.将Rt△ABC绕点A 按顺时针方向旋转，使得点B落在点 D处，，'.AE=AC=4,∠AED ∠C=90°，DE=BC=3..∠BED= 90°，BE=1.在Rt△BDE中，由勾股 定理，得BD=√BE十DE= √2+32=√10. 6.B解析：将△ABC绕点A按 逆时针方向旋转50°得到△AB'C', ∠CAB=20°，∠ABC=30°，∴.BC= B'C',AB=AB',AC=AC',/BAB'= ∠CAC'=50°，∠AB'C'=∠ABC= 30°.故①正确.：∠CAB= ∠BAB' -∠CAB=30°， ∴.∠CAB'=∠AB'C'.∴AC∥BC 故②正确.：∠ABB+∠ABB+ ∠BAB′=180°，且易得∠ABB′= ∠AB'B,.2∠AB'B+50°=180° ∴.∠ABB=65.∴.∠BB'C' ∠AB'B+∠AB'C'=95.∴.B'C与 BB不垂直.故③错误.，∠ACC'+ ∠AC'C+∠CAC'=180°，且易得 ∠ACC'=∠AC'C,∴.2∠ACC+ 50°=180°..∠ACC=65 ∠ABB'=∠ABB=65, ∴.∠ABB'=∠ACC'.故④正确 7.260°解析：·将△ABC沿射 线BC的方向平移，得到△A'B'C',再 将△A'BC'绕点A'按逆时针方向旋 转一定角度后，点B'恰好与点C重 合，.△ABC2△A'B'C,AB= A'B'=A'C.∴.∠B=∠A'B'C' 60°..△A'B'C是等边三角形. .B'C=A‘B'=AB=4..平移的距 离为6一4=2，旋转角的度数为60°. 8.(1)90.解析：AC=3√2， BC=4√2，AB=5√2，.AB2= AC2+BC2.∴.∠ACB=90°. (2)如图，延长AC到格点B,使得 AB'=AB=5√2，延长BC到格点E, 连接AE,取格点F,连接FB交AE 于点C',△ABC即为所求作. E B (第8题) 27 方法归纳 网格内旋转变化的规律 网格中的旋转作图，旋转角度 一般为90°或180°.网格中的旋转 作图仍遵循旋转作图的一般步骤， 不同的是由于以网格为背景，图形 中的关键点的位置一般在格点上， 旋转90°或180°后得到的图形其关 键点也在格点上.若旋转90°，则每 对对应点与旋转中心的连线互相 垂直，且长度相等.若旋转180°，则 对应线段互相平行（或在同一条直 线上)，且对应，点的连线被旋转中 心平分.特别地，若旋转的角度为 270°，则可转化为逆向旋转90°. 9.(1).B=90°， .∠A'BA=90° A(8,0),B(0,6), .OA=8,OB=6. 根据勾股定理，得AB= √/OA+OB=√82+62=10， 由旋转的性质，得A'B=AB=10, 在Rt△A'BA中，根据勾股定理，得 AA'=√AB2+AB=10W2. (2)如图，过点O作OC⊥y轴于 点C. 由旋转的性质，得OB=OB=6, 3=120°， .∴.∠OBO=120 .∴.∠O'BC=180°-120°=60°. ∴.∠BOC=30. C=0B=2×6=8 ∴.CO=√OB2-BC=√62-3= 3√3，OC=OB+BC=6+3=9. ∴.点O的坐标为(35,9). C中 0 0 A (第9题) 10.(1,1)或(4,4) 解析：由点