第六章 专题特训十二 平行四边形性质与判定的应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

.CE=4OF. 11.OE=OF. 如图，取AD的中点G,连接MG, NG. .G,N分别为AD,CD的中点， .GN是△ACD的中位线 GN/AC.GN-AC. 同理，可得GM/BD,GM=2BD, .AC=BD, .GN=GM. '.∠GMN=∠GNM. 又.GMOE,GNOF, '.∠OEF=∠GMN,∠OFE= ∠GNM. '.∠OEF=∠OFE. .OE=OF. N B C (第11题) 12.(1)如图①，连接BD,取BD的 中点H,连接EH,FH. E,H分别是AD,BD的中点， ·EH/AB,EH=2AB. .∠BME=∠HEF. F,H分别是BC,BD的中点， FH/CD,FH-CD. ..∠CNE=∠HFE. .AB=CD, .'EH=FH. ,.∠HEF=∠HFE. .∠BME=∠CNE. (2)如图②，连接BD,取BD的中点 H,连接EH,FH. E,H分别是AD,BD的中点， EH=号AB. 2 H,F分别是BD,BC的中点， FH-CD.FH/AC. ∴.∠HFE=∠FEC=45. .AB=CD=2, .EH=FH=1. .'.∠HEF=∠HFE=45°. ∴.∠EHF=180°-∠HFE ∠HEF=90°， .EF=√EH+FH'=√2. M D E BL-H H、 F ① ② (第12题) 方法归纳 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线 段的中，点时，常构造三角形的中位 线解题.若两个中点是三角形两边 的中点，则直接连接这两点可得到 三角形的中位线：若两个中点是四 边形对边的中点，则往往需要先连 接对角线，取对角线的中点，再分 别与原对边的两个中点连接，得到 两个三角形的中位线，然后运用中 位线的性质解题. 专题特训十二 平行四边形 性质与判定的应用 1.D解析：四边形ABCD是平 行四边形，，.AB∥CD,BC=AD= 10cm,CD=AB=6cm.∴.∠ABE= ∠CFE.:∠ABC的平分线交AD 于点E,∴.∠ABE=∠CBF ∴∠CBF=∠CFB..CF=BC= 10 cm..DF=CF-CD=10-6= 4(cm). 2.B解析：如图，取CG的中点H, 连接EH,则GH=CH=2CG.'P 为BG的中点，DG=6,BC=10, .GF-BF-G.FH-GF+ GH=(BG+CG)=BC=5. :E为CD的中点，H为CG的中 点EH/DG,EH=DG=3 :DG⊥BC于点G,∴.∠FHE= ∠BGD=90°.∴.EF= 51 √FΠ+E=√52+3=√34. D E B F GHC (第2题) 3.40cm解析：.E,F,G,H分别 是四边形ABCD各边的中点， 1 ·GH=EF=ZAC,FG=HE= BD.·四边形EFGH的周长为 EF+FG+GH+HE =AC+ BD=40 cm. 4.20解析：四边形ABCD是平 行四边形，.AB=CD,AD=BC, OA=OC.又EF⊥AC,∴.EF垂直 平分AC.∴.AE=CE.△BEC的 周长是10，'.BC+BE十CE=BC+ BE+AE BC+AB 10. ∴.□ABCD的周长为2(BC+ AB)=20. 5.B解析：，CE⊥AB,垂足为E, .∠E=90°∠BCE=38°， ∴.∠B=90°-∠BCE=52°.四边 形ABCD是平行四边形，∴.∠D= ∠B=52°. 6.如图，连接AE. ,点D在线段EC的垂直平分线上， .'ED=CD. '.∠CED=∠DCE=66°. .∠CDE=180°-66°-66°=48°. 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,CD=AB. ∴.∠ABE=∠CDE=48. :点E在线段AD的垂直平分线上， .AE=ED. ∴.AB=AE,∠EAD=∠ADE .∠AEB=∠ABE=48. :∠AEB=∠ADE+∠EAD, :∠ADE= 1 -X48°=24. .∠ADC=24+48°=72. AD//BC, ∴.∠BCD=180°-∠ADC=108 .∠BCE=108°-66°=42°. A-- D 、、E B (第6题) 7.B解析：由题意可知，四边形 AEFD、四边形EBCF都是平行四边 形.设□AEFD的边AD、□EBCF的 边BC上的高分别为h1,h,,则图中涂 色部分的面积=？BC·A:十 ADA:四边形ABCD是平行 四边形，.AD=BC.∴.图中涂色部 分的面积=号BC·(h,十h。 :h,十h2=8cm,.图中涂色部分 的面积=2×20×8=80(cm2). 8.8解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.AB∥CD,AD∥BC. .EFBC,GH∥AB,∴.AD∥EF∥ BC,AB∥GH∥CD.∴.易得四边形 HPFD、四边形PGCF、四边形 AEPH、四边形BEPG是平行四边 形.：S△AH=2,CG=2BG, .S△DPH=2S△APH=4.∴.S△PFm 4.S△BG+SoF+S△Ppm= S△PE十SOAFPH十S△DPH,∴.易得 SORGCF SOAEPH 2SAAPH 4. ∴.S四形PXD=SOPCF十S△Ppm=8. 9.(1)答案不唯一，如△ABC2 △FAE. '.∠FAB=∠EAD=90°， .∠EAF+∠DAB=180° .·四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC ∴.∠DAB+∠CBA=180°. ∴.∠CBA=∠EAF. ,△ABF和△ADE是等腰直角三 角形，∠FAB=∠EAD=90°， .'AB=FA,AE=AD. .∴.BC=AE 在△ABC和△FAE中， BC=AE, ∠CBA=∠EAF, AB=FA, ∴.△ABC≌△FAE. (2)10. 10.四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,∠BAD= ∠DCB. ,·△ABE和△CDF是等边三角形， .'BE=AE=AB=CD=CF=DF, ∠BAE=∠DCF=60°. ∴.∠DAB-∠BAE=∠DCB- ∠DCF,即∠DAE=∠BCF 又.AD=CB,AE=CF, '.△ADE≌△CBF .DE=BE 又BE=DF ∴.四边形BFDE是平行四边形. 11.(1):AO=CO,∠AOE= ∠COF,OE=OF, ∴.△AOE≌△COF ∴.∠OAE=∠OCF. .AD//BC '.∠EDO=∠FBO. 又·OE=OF,∠EOD=∠FOB, .△EOD≌△FOB. .OB=OD. 又·AO=C0 .四边形ABCD是平行四边形 (2).·EF⊥AC,AO=CO ..AF=FC. ,△ABF的周长是15， .AB+BF+AF=AB+BF+FC= 15,即AB+BC=15. ∴.□ABCD的周长=2(AB+BC)= 2×15=30. 12.存在. :∠BAC=90,∠ABC=60°， ∴.∠ACB=90°-∠ABC=30°. .'AB=6 cm, .∴.CB=2AB=12cm. ,四边形ABCD是平行四边形， .'AD=CB=12 cm. ,点P在线段AD上，点Q在射线 CB上， .AP∥BQ. .当AP=BQ时，以A,B,P,Q为 顶点的四边形为平行四边形， 当点Q与点B重合时，4=12，∴.t=3. 当点P与点D重合时，1=12. 分两种情况讨论： ①当0<t<3时，如图①，四边形 APQB是平行四边形」 AP=BQ, 52 1=12-解得：=号 ②当3<t≤12时，如图②，四边形 APBQ是平行四边形， .AP=BQ, ∴.t=4t-12,解得t=4. 综上所述，1的值为号或4。 B E ① 一D B Q→E ② (第12题) 第六章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)由题意，得AB/CF, .∠ABE=∠DFE. :E为AD的中点， ∴.AE=DE. 在△ABE和△DFE中， I∠ABE=∠DFE, ∠AEB=∠DEF, AE-DE, ∴.△ABE≌△DFE. .AB=DF. 又ABDF, ∴.四边形ABDF为平行四边形. (2),四边形ABDF为平行四边形， .BE=EF,AB=DF=3. 在□ABCD中，BC=2CD, .BC=2CD=2AB=6,CF=CD+ DF-AB+DF=6. .BC=CF=6. .△CBF是等腰三角形. BE=EF, ∴.CE⊥BF. EF=4, .CE=√CF-EF=2√5. [变式](1)，·四边形ABCD是平 行四边形， ∴.AB=CD,ABCD. ∴.∠ABE=∠CDF.拔尖特训·数学（北师版）八年级下 专题特训十二平行四边形 类型一与线段有关的计算 1.如图，在□ABCD中，AB=6cm,AD= 10cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交 CD的延长线于点F,则DF的长为() A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm (第1题)》 (第2题) 2.(2025·济宁嘉祥模拟)如图，在□ABCD中， E为边CD的中点，过点D作DG⊥BC于点 G.若F为BG的中点，DG=6,BC=10,则 EF的长为 () A.6 B.√34C.8 D.√38 3.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边 的中点.若对角线AC与BD长的和为 40cm,则四边形EFGH的周长为 (第3题) (第4题) 4.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,EF过点O且与AB,CD分别交于点E, F,连接EC.若EF⊥AC,△BEC的周长是 10,则□ABCD的周长为 类型二角度问题 5.(2025·贵港港南期中)如图，在□ABCD中， 过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E. 若∠BCE=38°，则∠D的度数为 () 0 (第5题) A.62°B.52°C.42°D.38° 120 性质与判定的应用 6.如图，E是□ABCD的对角线BD上一点，连 接CE.若点E在线段AD的垂直平分线上， 点D在线段EC的垂直平分线上，且 ∠DCE=66°，求∠BCE的度数， (第6题) 类型三与面积有关的计算 7.(2025·邯郸期中)如图，在□ABCD中， AB=10cm,BC=20cm,BC边上的高是 8cm,EF是AD和BC的平行线，则图中涂 色部分的面积是 () A.75 cm2 B.80 cm2 C.85 cm2 D.90 cm A H P B G (第7题) (第8题) 8.如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P 作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,连接 AP.若S△APH=2,则S四边形PGCD= 9.(1)如图①，在□ABCD的外侧分 别作等腰直角三角形ABF和等腰 直角三角形ADE,∠FAB= ∠EAD=90°，连接AC,EF.在图中找出一 个与△FAE全等的三角形，并加以证明. (2)如图②，以□ABCD的四条边为边，在其 外侧分别作正方形，连接EF,GH,IJ,KL 若□ABCD的面积为5，则图中涂色部分的 四个三角形的面积之和为 H ① ② (第9题) 类型四平行四边形的性质与判定的综合问题 10.如图，以□ABCD的边AB,CD为边，在 ☐ABCD的内部作等边三角形ABE和等 边三角形CDF,连接DE,BF,求证：四边形 BFDE是平行四边形 (第10题) 第六章平行四边形 11.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O,AO=CO,EF过点O且与AD, BC分别相交于点E,F,OE=OF (1)求证：四边形ABCD是平行四边形 (2)连接AF.若EF⊥AC,△ABF的周长 是15，求四边形ABCD的周长， (第11题) 类型五动点问题 12.(2025·陇南西和期末)如图，在 □ABCD中，∠BAC=90°，∠B= 60°，AB=6cm.动点P从点A出 发，沿AD以1cm/s的速度向终点D运 动，同时点Q从点C出发，以4cm/s的速 度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点 Q也随之停止运动.设点P运动的时间为 ts.是否存在某一时刻，使得以A,B,P,Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求 出t的值；若不存在，请说明理由。 —PA Q→B (第12题) 121