第六章 1 平行四边形的性质-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第六章 平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质 基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·广安段考)如图，四边形ABCD是平 5.(2025·贵州改编)如图，在□ABCD中，按以 行四边形，CE=CD,∠B=62°，则∠DEC的 下步骤作图：①分别以点A,B为圆心，大于 度数为 A.62° B.57° 号AB的长为半径作狐：②过两弧相交的两 C.59° D.60° 点作直线交BC于点E,连接AE.若CD=4, ∠B=60°，则AE的长为 A.5 B.4 C.3 D.2 O(A)B A (第1题) (第2题)》 2.数形结合思想(2025·长沙雨花期末)如图，在 平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A,B, (第5题) (第6题) D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点 6.新考法·操作实践题如图，将□ABCD沿对角 C的坐标是 ( 线BD折叠，使点A落在点A'处.若∠1 A.(3,7) B.(5,3) ∠2=48°，则∠A'的度数为 () C.(7,3) D.(8,2) A.96° B.106 3.(2025·扬州期末)在□ABCD中，∠A十 C.108° D.122° ∠C=100°，则∠B= 7.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 4.(2025·宜宾)如图，E是□ABCD的边CD 点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点 的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于 E.若AB=6,AC=8,AD=10,则图中涂色 点F,AD=5.求证：△ADE≌△FCE,并求 部分的面积是 BF的长 (第7题) (第8题) D 8.新考向·数学文化(2025·新乡延津期末)“三 (第4题) 等分一个任意角”是数学史上的一个著名问 题.在探索中，有同学利用如图所示的图形逐 步实现特定条件下角的三等分.已知四边形 ABCD是平行四边形，点E在对角线AC 上，且AD=AE=BE,∠D=102°，则∠BAC 的度数是 108 第六章平行四边形 9.(2025·九江修水段考)如图，在☐ABCD中，物思维拓展 E,F为对角线AC上的两点，且AE=CF. 11.(2025·唐山乐亭期末)如图，以 (1)求证：△ADF≌△CBE □ABCD的顶点B为圆心，AB长 (2)若∠BCE=30°，∠AFD=80°，求∠CBE 为半径画弧，交BC于点E,再分别 的度数 以点A,E为圆心，大于)AE的长为半径 画弧，两弧交于点F,作射线BF,交AD于 点G,交CD的延长线于点H. (第9题) (1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关 系是 (2)求证：CB=CH, (3)若AB=4,AG=2GD,∠ABC=60°，求 △BCH的面积， 10.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是 (第11题) CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB 和∠CBA. (1)求∠APB的度数， (2)若AD=5cm,AP=8cm,求△APB的 周长 (第10题) 109 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 第2课时平行四边形的对角线的性质 自基础进阶 幻素能攀升 1.有下列图形：①梯形；②平行四边形；③扇 6.(2025·松原长岭期中)已知□ABCD的对角 形；④等腰梯形.其中，轴对称图形有( 线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=6,则 A.1个 B.2个 AB的长可能是 ) C.3个 D.4个 A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2025·厦门同安期末)如图，□ABCD的对 7.(2025·湖北改编)如图，在平面直角坐标系 角线AC与BD相交于点O.若AB=5, 中，原点O为□ABCD对角线BD的中点， AC+BD=28,则△COD的周长为( AD∥x轴，点D的坐标为(1,1)，AD=3,则 A.18B.19 C.20 D.21 点C的坐标为 () D A.(3,-1) B.(2,-1) C.(1,-2) D.（-2,1) B (第2题) (第3题) 3.新考法·操作实践题如图，在等腰梯形ABCD 中，ADBC,∠B=70°，DE∥AB,将△DCE (第7题) (第8题) 沿DE翻折，得到△DC'E,则∠EDC的度数 8.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于 为 点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=√5，AC=2, 4.如图，在□ABCD中，AB=4,AC=6,AB⊥ BD=4,则AE的长为 () AC,则BD的长为 R C.②7 D.22T 7 9.(2025·上海浦东新区期末)如图，四边形 ABCD是等腰梯形，∠A=120°，AD=3, (第4题) 5.如图，AC,BD是□ABCD的两条对角线， BC=5,则AB= AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求 证：OE=OF. (第5题) (第9题) (第10题) 10.(2025·诸暨期中)如图，点A(0 8),B(0,-2),E(0,5),F(-5,0) C为直线EF上一动点，则 □ACBD的对角线CD长的最小值是 110 第六章平行四边形 11.新考法·操作实践题如图，OA=OB,点E在13.(2025·榆树段考)如图，在□ABCD中，对 OB上，四边形AEBF是平行四边形，请用 角线AC,BD交于点O,过点O作EF分别 无刻度的直尺在图中作出∠AOB的平分 交AD,BC于点E,F 线，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）. (1)求证：△BFO≌△DEO. (2)若CD=10,AD=8,OE=5,求四边形 ABFE的周长. 0 (第11题) H (第13题) 思维拓展 14.如图①，□ABCD的周长为6 AB=1,对角线AC与BD相交于 点O. 12.(2025·玉树模拟)如图，在△ABC中，D,E (1)求□ABCD其余各边的长 分别是AC,BC边上的点，AE与BD交于 (2)若AB⊥AC,求OC的长， 点O,且AC=BC,∠1=∠2.求证：四边形 (3)将射线OA绕点O按顺时针方向旋转 ABED是等腰梯形. 至OA'处，交AD于点E,连接CE(如图 ②).当旋转角为多少度时，CA平分 ∠BCE?请说明理由 (第12题) (第14题) 1119.(1)①③ 2-1+ (3)结果为“和谐分式”. 理由：：52-1÷2-1 x+1 x2-7.x 5.x x-1 x(x一7) x+1 (x+1)(x-1) 5.x x-7 4x+7 x+1 x+1 4x+1)十3=4 3 x+1 x十1' ∴原式的结果为“和谐分式” 第六章 平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、 角的性质 1.A2.C3.130 4.:四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC∥AD,BC=AD=5. ∴.∠D=∠FCE. E是CD的中点， ∴.DE=CE 在△ADE和△FCE中， I∠D=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, ∴.△ADE≌△FCE. .AD=FC=5. .'.BF=BC+FC=5+5=10. 5.B解析：，四边形ABCD是平行 四边形，∴.AB=CD=4.由题意，得 点E在AB的垂直平分线上， ∴.EA=EB.∠B=60°， ∴△ABE是等边三角形..AE= AB=4. 6.C解析：，四边形ABCD为平行 四边形，∴AD∥BC..∠ADB= ∠DBG.由折叠，可得∠A=∠A', ∠ADB=∠BDG,.∠DBG= ∠BDG.又∠1=∠BDG+ ∠DBG=48°，'.∠ADB=∠BDG 24.∠2=48°，.在△ABD中， ∠A=180°-∠ADB-∠2=180° 24°-48°=108°..∠A'=∠A= 108. 7.12解析：，平行四边形是中心 对称图形，∴.涂色部分的面积等于 △BOC的面积.：四边形ABCD是 平行四边形，且AD=10,∴.AO= OC,BC=AD=10..AB=6,AC= 8,∴.AB2+AC2=BC2..△ABC 是直角三角形，∠BAC=90. 1 1 .1 S△=2S△x=2X2X6X 8=12. 8.26°解析：设∠BAC=x..四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD BC,AD∥BC,CD∥AB..·AE= BE=AD=BC,.∴.∠BAC= ∠EBA=x,∠BEC=∠BCA. .∠BEC=∠EAB+∠EBA=2x, ∴.∠DAC=∠ACB=2x. .∠DAB=3x.CD∥AB, ∴.∠D+∠DAB=180..3.x+ 102°=180°..x=26 .∠BAC=26. 9.(1),四边形ABCD是平行四 边形， .AD=CB,AD//CB. .∴.∠DAF=∠BCE. AE=CF, ∴.EF+AE=EF+FC,即AF= CE. 在△ADF和△CBE中， AF=CE, ∠DAF=∠BCE, AD=CB, .∴.△ADF≌△CBE (2)·△ADF≌△CBE, .∠AFD=∠CEB. ∠AFD=80°， ∴.∠CEB=80. :∠BCE=30°， ∴.∠CBE=180°-∠CEB ∠BCE=70° 10.(1).四边形ABCD是平行四 边形， .AD//CB,AB//CD. '.∠DAB+∠CBA=180. 又：'AP和BP分别平分∠DAB 45 和∠CBA .∠PAB+∠PBA= 1(∠DAB+ ∠CBA)=90 ∴.∠APB=180°-（∠PAB+ ∠PBA)=90 (2)·AP平分∠DAB, .∠DAP=∠PAB. AB//CD, .∠PAB=∠DPA. ∴.∠DAP=∠DPA. ∴.AD=DP=5cm. 同理，可得PC=CB=5cm. .'AB=DC=DP+PC=10 cm. 在Rt△APB中，AB=10cm,AP 8cm,∠APB=90°， .BP=√AB2-AP=6(cm). .△APB的周长是6+8+10= 24(cm). 11.(1)∠1=∠2 (2)四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABCH. ∴.∠1=∠CHB. ∠1=∠2， ∴.∠2=∠CHB. .'CB=CH. (3)如图，过点H作HT⊥BC,交BC 的延长线于点T ·四边形ABCD是平行四边形， .AD//CB. ∴.∠AGB=∠2=∠1. .AG=AB=4. AG=2DG, .DG=2. .'BC=AD=CH=6. AB//CH, .∠HCT=∠ABC=60. :∠T=90°， .∠CHT=30. CT=7CH=3. ∴.HT=√CH-CT=35. ·.△BCH的面积=2BC·HT= 1 2 -×6×33=9W3. (第11题) 第2课时平行四边形的 对角线的性质 1.B2.B3.40 4.10解析：四边形ABCD是平 行四边形，AC=6,OA=之AC 3,BD=2OB..AB=4,AB LAC, .OB=VAB2+OA=5...BD= 2×5=10. 5.,四边形ABCD是平行四边形， .AO=CO .·AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.∠AEO=∠CFO. 在△AEO和△CFO中， ∠AEO=∠CFO, ∠AOE=∠COF, AO-CO, .'.△AEO≌△CFO. .OE=OF」 6.A解析：.四边形ABCD是平 行四边形，对角线AC,BD相交于点 O,∴.OA=O0℃，OB=OD.AC=4, 1 BD=6,.0A=2AC=2,OB= BD=3.OB-0A<AB<OB OA,∴.1<AB<5.∴.AB的长可能 是4. 7.B 8.D解析：AC=2,BD=4,四边 形ABCD是平行四边形，∴.AO= AC-1,B-BD=2.AB- √5，∴.AB2+AO2=BO2. ∴.∠BAC=90°.在Rt△ABC中， BC=√AB2+AC=√/（√5）2+22 V万，又：Se=gAB·AC 2BC·AE,5X2=万AE ·AE-2②I 71 9.2解析：过点A作AE∥DC,交 BC于点E.四边形ABCD为等腰 梯形，.AD∥BC,AB=CD. ∴.∠B=180°-∠BAD=180°- 120°=60°.AE∥DC,AD∥BC, '.四边形AECD为平行四边形 .EC=AD=3,AE=CD..BE= BC-EC=5-3=2,AB=AE. ,∠B=60°，∴.△ABE为等边三角 形..AB=BE=2 10.2√2解析：如图，连接CD,CD 与AB交于点G.,四边形ACBD是 平行四边形，∴.CG=GD,AG=GB. A(0,8),B(0,-2),易得G(0, 3)..当CG的长取得最小值时，CD 的长取得最小值.∴.当CG⊥EF时， CG的长取得最小值.E(0,5), F(-5,0),∴.OE=OF,EG=2. ∴.△OEF是等腰直角三角形，此时 △CGE是直角三角形，且EG是斜 边.：EG=2,.易得CG=2. ∴.□ACBD的对角线CD长的最小 值是2√2. (第10题) 11.如图，OP即为∠AOB的平分线. 理由：四边形AEBF是平行四 边形， .AP=BP 又OA=OB,OP=OP, .'.△APO2△BPO. ∴.∠AOP=∠BOP,即OP平分 ∠AOB. 0 B (第11题) 12.CA=CB, 46 '.∠CAB=∠CBA ∠1=∠2， '.∠OAB=∠OBA .'OA=OB. 在△AOD和△BOE中， 1∠2=∠1， OA=OB, ∠AOD=∠BOE, .△AOD≌△BOE. .AD=BE,OD=OE. .∠ODE=∠OED .∠AOD=∠BOE,∠OAB= ∠OBA,∠ODE=∠OED, .∠OAB=∠OED. .DE//AB. AD=BE, ∴.四边形ABED是等腰梯形 13.(1):四边形ABCD是平行四 边形，对角线AC,BD交于点O, ∴.CBAD,OB=OD. ∴.∠OFB=∠OED. 在△BFO和△DEO中， ∠OFB=∠OED, ∠BOF=∠DOE, OB=OD, ∴.△BFO≌△DEO. (2)由(1)，得△BFO≌△DEO ∴.OF=OE=5,BF=DE. .EF=20E=10,BF+AE=DE+ AE=AD-8. .AB=CD=10, .EF+BF+AE+AB=10+8+ 10=28. .四边形ABFE的周长为28 14.(1):四边形ABCD是平行四 边形， .CD=AB=1,AD=BC. 又☐ABCD的周长为6， ∴.AB+AD+CD+BC=6,即 2AB+2AD=6. &AB+AD=2×6=8 '.AD=BC=3-1=2. (2)·AB⊥AC,AB=1,BC=2, ∴.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√/BC-AB2=√3. :四边形ABCD是平行四边形， (3)当旋转角为90°时，CA平 分∠BCE. 理由：.∠AOE=90°，OA=OC, ∴.EO垂直平分AC. .EA=EC. .∠EAC=∠ECA ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC. ∴.∠EAC=∠ACB. ∴.∠ACB=∠ECA,即CA平 分∠BCE. 2平行四边形的判定 第1课时根据边的关系判定 平行四边形 1.B2.两组对边分别相等的四边 形是平行四边形 3.(1)AB∥CD,点E,F在BC 上，且BF=CE, ∴.∠B=∠C,BF-EF=CE-EF, 即BE=CF 在△ABE与△DCF中， AB=DC, ∠B=∠C, BE=CF, .'.△ABE≌△DCF (2)由(1)知，△ABE≌△DCF, ,.AE=DF,∠AEB=∠DFC. .∠AEF=∠DFE. .AE//DF. 又AE=DF, .四边形AFDE是平行四边形. 4.C 5.B解析：①和④可证明四边形 BQDP是平行四边形.：四边形 ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AB=CD..AP =CQ,.'AB- AP=DC-CQ,即PB=DQ.又 ,PB∥DQ,.四边形BQDP是平 行四边形.①和③不能证明四边形 BQDP是平行四边形.②和③可证明 四边形BQDP是平行四边形 ,AB∥CD,∴.∠CQB=∠ABQ. :∠APD=∠CQB,.∠ABQ= ∠APD..DP∥QB..四边形 BQDP是平行四边形.②和④可证明 四边形BQDP是平行四边形.·四 边形ABCD是平行四边形，，.AB∥ CD.∴.∠CQB=∠ABQ. ∠APD=∠CQB.∴.∠ABQ= ∠APD.∴.DP∥QB.∴.四边形 BQDP是平行四边形. 6.2或6解析：①当点F在点C的 左侧时，根据题意，得AE=tcm, BF=2t cm,CF=BC-BF=(6- 21)cm.AG∥BC,∴.当AE=CF 时，四边形AECF是平行四边形. ∴.t=6-2t,解得t=2.②当点F在 点C的右侧时，根据题意，得AE= tcm,BF=2tcm,则CF=BF- BC=(2t-6)cm..AG∥BC,.当 AE=CF时，四边形AEFC是平行四 边形.∴.t=21-6,解得t=6.综上所 述，当t=2或t=6时，以A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形 7.答案不唯一，如∠F=∠CDE 8.:四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,即AE∥FC AE=CF, ∴.四边形AECF是平行四边形. .AF//CE. 又.AB一AE=CD一CF,即 EB=DE, ∴四边形DEBF是平行四边形. .DE//FB '.四边形EHFG是平行四边形 9.(1):四边形ABCD是平行四 边形， .AD=BC,AD//BC. ∴.∠DAE=∠BCF. 在△ADE与△CBF中， ∠1=∠2， ∠DAE=∠BCF, AD=CB, '.△ADE≌△CBF .AE=CF (2).∠1=∠2， ..∠DEF=∠BFE .DE//BF 由(1)，知△ADE≌△CBF, 47 '.DE=BF」 ∴.四边形EBFD是平行四边形. 10.(1).∠ACB=90°，∠CAB= 30°， ·BC=2AB. 设BC=x,则AB=2x. 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, .x2+32=(2x)2,解得x=√5（负值 舍去). ∴.BC=√3，AB=23. ,△ABD是等边三角形， ∴.AD=AB=25 (2).·∠ACB=90°，∠CAB=30°， BC=2AB,∠ABC=60 ,△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠BAD=60°，AB= AD. ∴.∠ABC=∠BAD. .BC//DA. F是线段AD的中点， DF-TAD. ∴.BC=DF ∴.四边形BCFD是平行四边形. 11.选择路线一和路线二都一样。 理由：如图，延长FD交AB于点G CE垂直平分AF, ∴.∠FED=90°，EF=EA, DF-DA. ∴.∠DFA=∠DAF AB//CD, '.∠FAG=∠FED=90° ∴.∠DFA+∠DGA=90°，∠DAF+ ∠DAG=90° '.∠DAG=∠DGA. .DA=DG. ∴.DF=DG. ABCD,FG∥BC, .四边形BCDG是平行四边形 .'CB-DG. ∴.CB=DF」 .BC∥DF, '.四边形BCFD是平行四边形. .'BD=CF.