第六章 平行四边形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

7.B解析：由题意可知，四边形 AEFD、四边形EBCF都是平行四边 形.设□AEFD的边AD、□EBCF的 边BC上的高分别为h1,h,,则图中涂 色部分的面积=？BC·A:十 ADA:四边形ABCD是平行 四边形，.AD=BC.∴.图中涂色部 分的面积=号BC·(h,十h。 :h,十h2=8cm,.图中涂色部分 的面积=2×20×8=80(cm2). 8.8解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.AB∥CD,AD∥BC. .EFBC,GH∥AB,∴.AD∥EF∥ BC,AB∥GH∥CD.∴.易得四边形 HPFD、四边形PGCF、四边形 AEPH、四边形BEPG是平行四边 形.：S△AH=2,CG=2BG, .S△DPH=2S△APH=4.∴.S△PFm 4.S△BG+SoF+S△Ppm= S△PE十SOAFPH十S△DPH,∴.易得 SORGCF SOAEPH 2SAAPH 4. ∴.S四形PXD=SOPCF十S△Ppm=8. 9.(1)答案不唯一，如△ABC2 △FAE. '.∠FAB=∠EAD=90°， .∠EAF+∠DAB=180° .·四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC ∴.∠DAB+∠CBA=180°. ∴.∠CBA=∠EAF. ,△ABF和△ADE是等腰直角三 角形，∠FAB=∠EAD=90°， .'AB=FA,AE=AD. .∴.BC=AE 在△ABC和△FAE中， BC=AE, ∠CBA=∠EAF, AB=FA, ∴.△ABC≌△FAE. (2)10. 10.四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,∠BAD= ∠DCB. ,·△ABE和△CDF是等边三角形， .'BE=AE=AB=CD=CF=DF, ∠BAE=∠DCF=60°. ∴.∠DAB-∠BAE=∠DCB- ∠DCF,即∠DAE=∠BCF 又.AD=CB,AE=CF, '.△ADE≌△CBF .DE=BE 又BE=DF ∴.四边形BFDE是平行四边形. 11.(1):AO=CO,∠AOE= ∠COF,OE=OF, ∴.△AOE≌△COF ∴.∠OAE=∠OCF. .AD//BC '.∠EDO=∠FBO. 又·OE=OF,∠EOD=∠FOB, .△EOD≌△FOB. .OB=OD. 又·AO=C0 .四边形ABCD是平行四边形 (2).·EF⊥AC,AO=CO ..AF=FC. ,△ABF的周长是15， .AB+BF+AF=AB+BF+FC= 15,即AB+BC=15. ∴.□ABCD的周长=2(AB+BC)= 2×15=30. 12.存在. :∠BAC=90,∠ABC=60°， ∴.∠ACB=90°-∠ABC=30°. .'AB=6 cm, .∴.CB=2AB=12cm. ,四边形ABCD是平行四边形， .'AD=CB=12 cm. ,点P在线段AD上，点Q在射线 CB上， .AP∥BQ. .当AP=BQ时，以A,B,P,Q为 顶点的四边形为平行四边形， 当点Q与点B重合时，4=12，∴.t=3. 当点P与点D重合时，1=12. 分两种情况讨论： ①当0<t<3时，如图①，四边形 APQB是平行四边形」 AP=BQ, 52 1=12-解得：=号 ②当3<t≤12时，如图②，四边形 APBQ是平行四边形， .AP=BQ, ∴.t=4t-12,解得t=4. 综上所述，1的值为号或4。 B E ① 一D B Q→E ② (第12题) 第六章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)由题意，得AB/CF, .∠ABE=∠DFE. :E为AD的中点， ∴.AE=DE. 在△ABE和△DFE中， I∠ABE=∠DFE, ∠AEB=∠DEF, AE-DE, ∴.△ABE≌△DFE. .AB=DF. 又ABDF, ∴.四边形ABDF为平行四边形. (2),四边形ABDF为平行四边形， .BE=EF,AB=DF=3. 在□ABCD中，BC=2CD, .BC=2CD=2AB=6,CF=CD+ DF-AB+DF=6. .BC=CF=6. .△CBF是等腰三角形. BE=EF, ∴.CE⊥BF. EF=4, .CE=√CF-EF=2√5. [变式](1)，·四边形ABCD是平 行四边形， ∴.AB=CD,ABCD. ∴.∠ABE=∠CDF. AE⊥BD,CF⊥BD, .AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°. 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, .'.△ABE≌△CDF ∴.AE=CF ∴.四边形AECF是平行四边形 (2)AE⊥BD .∠AED=90. ,∠ADE=30,AD=8, AF-2AD-4. ∴.DE=√AD2-AE=√82-4 45. 由(1)，可知△ABE≌△CDF, ∴.DF=BE=25. .EF=DE-DF=4√3-2W3= 23. :四边形AECF是平行四边形， AE⊥EF, ∴.S四边形AF=AE·EF=4X2V5= 85. 典例2(1)：D,E分别是边AB, AC的中点， .BD-AB.CE-TAC. .AB=AC, .'BD=CE. ,F,G,H分别为BE,DE,BC的 中点， GBDFH-CE. ∴.FG=FH. (2)F,G分别为BE,DE的中点， ∴.FG∥BD. 同理，可得FHEC ,∠A=90°，即AB⊥AC, .FG⊥AC FH//CE, .FG⊥FH (3)如图，延长FG交AC于点K. ,FG∥BD,∠A=80°， .∠FKC=∠A=80. ·FHCE .'.∠GFH=180°-∠FKC=180°- 80°=100° H (典例2图) [变式]如图，连接EF,AE. ,E,F分别为BC,AC的中点， EF/AB.EF-AB, 又AD=7AB, EF=AD. ,EF∥AD, '.四边形AEFD是平行四边形 ∴.AF与DE互相平分. ∴AP=FP. 典例3(1)：四边形ABCD是平 行四边形， ∴.BADC,BA=DC '.∠BAF=∠E. CE=DC, ∴.BA=CE. 在△ABF和△ECF中， ∠BAF=∠E, ∠AFB=∠EFC, BA=CE, .△ABF≌2△ECF .'BF=CF. (2)AB//OF,AB=2OF. :□ABCD的对角线AC与BD交 于点O, .A0=C0. 由(1)，得BF=CF '.OF是△ABC的中位线 OF//AB.OF-AB. ∴.ABOF,AB=2OF. [变式](1)四边形CDEF为平行四 边形 理由：：D,E分别为AB,AC的 53 中点， :.DE//BC.DE-IC. ∴.DECF C-C .DE=CF. ∴.四边形CDEF为平行四边形. (2),四边形CDEF为平行四边形， .CD=EF. D为AB的中点，△ABC为等边 三角形， ÷CDLAB,.BD=ZAB=2. .∠CDB=90°. ∴.EF=CD=√BC-BD=2√5. [综合素能提升] 1.D 2.A解析：四边形ABCD是平 行四边形，对角线AC,BD相交于点 O,∴.AB∥CD,AB=CD=6,OD= OB.∴.∠APD=∠CDP.DP平 分∠ADC,∴.∠ADP=∠CDP. .∠APD=∠ADP.∴.AP=AD= 4..PB=AB-AP=6-4=2.E 是PD的中点，O是BD的中点， .OE是△BDP的中位线..EO= 2PB=1. 3.①② 4.17解析：如图，连接EF.:四边 形ABCD是平行四边形，.AB= CD,AB∥CD.∴.∠BEC=∠FCE. Q是CE的中点，∴.EQ=CQ.在 △BEQ和△FCQ中， ∠BQE=∠FQC, EQ-CQ, '.△BEQ≌ ∠BEQ=∠FCQ, △FCQ..BE=FC.:BE∥CF, .四边形BCFE是平行四边形 .BQ=FQ.∴.S△BEF=2S△BQ= 2S△ac=2×7=14(cm2).:AB= CD,BE=CF..'AB-BE=CD- CF.AE=DF.ABCD,∴.四 边形ADFE是平行四边形.∴.PA= PF,PE=PD.∴.S△PF=S△APE= S△APn=3cm.∴.涂色部分的面积为 S△r十S△Pm=14十3=17(cm2). (第4题) 5.(1)四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AB/CD,AB=CD. ∴.∠GAE=∠HCF. G,H分别是AB,CD的中点， .'AG=CH. 在△AGE和△CHF中， AG=CH, ∠GAE=∠HCF, AE=CF, ∴.△AGE≌△CHF. '.GE=HF,∠AEG=∠CFH. ∴.∠GEF=∠HFE. .GE//HF. 又GE=HF, '.四边形EGFH是平行四边形 (2):四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD BD=14, .'OB=OD=7. .AE=CF,OA=OC, .OE=OF. AE+CF=EF,AE=CF, ∴.2AE=EF=2OE ..AE=OE. 又，G是AB的中点， .EG是△ABO的中位线. 1BG=20B=2 7 6.(1):四边形ABCD是平行四 边形， .AD∥BC. ∴.∠AFE=∠BCE. ,E为线段AB的中点， .'AE=BE. 在△AEF和△BEC中， I∠AEF=∠BEC, ∠AFE=∠BCE, AE=BE, .△AEF≌△BEC .EF=EC」 AE=BE, .四边形ACBF是平行四边形 '.BF∥AC (2),·四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=4,BC=AD=5. .AC=3, .AB2+AC2=BC2 ∴.△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90°. AE-BE-ZAB-2, ∴.EC=√AE+AC=√/I3. 7.(1):四边形ABCD是平行四 边形， ..AB//CD. '.∠BGO=∠DHO,∠OBG= ∠ODH :O是□ABCD的对角线BD的 中点， ∴.OB=OD. 在△BOG和△DOH中， ∠BGO=∠DHO, ∠OBG=∠ODH, OB=OD. .△BOG2△DOH. .'BG=DH. .·BG∥DH, ∴.四边形BGDH是平行四边形 (2)·四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC ∴.∠AEG=∠BFG. ,∠BFG=∠CFH, '.∠AEG=∠CFH, BG=DH, .BG-AB=DH-CD,即AG= CH. 在△AEG和△CFH中， ∠AEG=∠CFH, ∠AGE=∠CHF, AG=CH, .△AEG≌△CFH. .'AE=CF. ∴.DE+CF=DE+AE=AD= BC=4. (3)过点A作AM⊥BC于点M. ,在Rt△ABM中，∠ABM=60°， '.∠BAM=30°. 54 AB=3, 1 3 ·.BM=ZAB=之 .在Rt△ABM中，由勾股定理，得 AM=AB-BMF=33 21 ·SaAD=BC·AM=4X×3 2 65. 由(1)(2)，得△BOG≌△DOH, △AEG≌△CFH, ∴.S△G=S△OH,S△Az=S△CFH. ∴.S△G-S△ABG=S△OH-S△CFH, 即S四边形AOE=S四边无(OF· ∴，S四边形ABFE=S四边形ADE十S△DF= S四边形OF十S△0=S△D= 2S0AD=2×65=35. 期末压轴题特训 考向一与等腰三角形 有关的推理与探究 1.(1)AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB .∠ACB =∠ADB+∠CAD, ∠ADB=∠BAC, ∴.∠ACB=∠BAC+∠CAD= ∠BAD. '.∠ABC=∠BAD. .AD=BD. ∴.△ABD为等腰三角形. (2)设∠ADB=∠BAC=a. ∠CAD=12, .∠BAD=∠BAC+∠CAD= a+12. 由(1)，可知∠ABC=∠ACB= ∠BAD=a+12. 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+ ∠ACB=180°. .a+a+12°+a+12°=180°，解得 a=52° ∴.∠BAC的度数是52 (3):∠ABC=∠ACB,点F在边 AC上， ∴.∠FBC<∠ABC. ∴.∠FBC<∠ACB. ∴.当△BCF为等腰三角形时，分两拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第六章整合拔尖 知识体系构建 性质 边。平行四边形的两组对边分别平行且相等 角。平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 对角线。平行四边形的对角线互相平分 对称性平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 判定 边为条件两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的定义） 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线为条件。对角线互相平分的四边形是平行四边形 如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直 两条平行线之间的距离 概念。线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离 性质平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等 三角形的中位线 概念 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 9高频考点突破 考点一○平行四边形的判定与性质 [变式](2025·宝鸡凤翔期末)如图，在 典例1(2025·温州鹿城段考)如图，在 □ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AE⊥ □ABCD中，E为AD的中点，延长BE,CD相 BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接CE,AF. 交于点F,连接AF,BD (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (1)求证：四边形ABDF是平行四边形 (2)若AD=8,BE=2√5，∠ADE=30°，求四边 (2)连接CE.若BC=2CD,EF=4,DF=3,求 形AECF的面积. CE的长， (典例1图) 122 第六章平行四边形 考点二三角形的中位线 考点三 平行四边形与三角形中位线的综合 典例2如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分 应用 别是边AB,AC的中点，连接DE,BE,F,G,H 典例3(2025·广安期末)如图，E为□ABCD 分别为BE,DE,BC的中点. 中边DC的延长线上一点，且CE=DC,连接 (1)求证：FG=FH. AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD (2)若∠A=90°，求证：FG⊥FH. 于点O,连接OF. (3)若∠A=80°，求∠GFH的度数 (1)求证：BF=CF (2)判断AB与OF的位置关系和数量关系，并 证明. (典例2图) (典例3图) [变式](2025·合肥瑶海期末)如图，等边三角 [变式]如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E, 形ABC的边长是4，D,E分别为AB,AC的中 F分别是BC,AC的中点，延长BA到，点D,使 AD=2AB,连接DE,DF,DE交AF于点P. 点，延长BC至点F,使CF= 号BC,连接CD, EF,DE 求证：AP=FP. (1)请判断四边形CDEF的形状，并说明理由. (2)求EF的长， 123 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 综合素能提升 1.嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎 (1)求证：四边形EGFH是平行四边形 成如图所示的四块，为配到一块与原来相同 (2)若BD=14,AE+CF=EF,求EG的长 的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片 的编号是 ( A.①②B.①④ C.②③ D.②④ (第5题) ③ ① ② (第1题) (第2题) 2.(2025·阜新太平期末)如图，□ABCD的对 6.如图，AC为□ABCD的对角线，E为线段 角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线 AB的中点，连接CE并延长，与DA的延长 与边AB相交于点P,E是PD的中点.若 线交于点F,连接BF. AD=4,CD=6,则EO的长为 ( (1)求证：BF∥AC A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若AC=3,CD=4,AD=5,求EC的长 3.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC、斜边 AB为边向外作等边三角形ACD和等边三 角形ABE,F为AB的中点，连接DF,EF, (第6题) ∠ACB=90°，∠ABC=30°.有下列结论： ①四边形BCDF为平行四边形；②AC⊥ DF;③DA+DF=BE.其中，正确的是 (填序号) 7.如图，在□ABCD中，AB=3,BC= 4,∠ABC=60°，过对角线BD的中 点O的直线GH分别交AD,BC于 点E,F,交BA的延长线于点G,交DC的延 长线于点H,连接GD,BH (第3题) (第4题) (1)求证：四边形BGDH是平行四边形 4.如图，E是□ABCD的边AB上的点，Q是 (2)求DE+CF的长 CE的中点，连接BQ并延长，交CD于点F, (3)求四边形ABFE的面积. 连接AF与DE相交于点P.若△APD的面 积为3cm,△BQC的面积为7cm,则涂色 部分的面积为 cm2. 5.如图，在□ABCD中，G,H分别是AB,CD 的中点，点E,F在对角线AC上，且AE (第7题) CF,连接BD交AC于点O 124