第六章 平行四边形 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

(3)①方程整理，得[是× 1-3)+3×(号)+2× (后-)+号×（分】· 11 xx+l [×-]士中 上解得= 经检验以=专是原分式方程的解。 ·原分式方程的解为x=青。 ②原式=×(2文)十 合×（以☆）+合×( )+…叶[mn 1 7_1「1 (n+1D(m+2]=21X2 n2+32 (n+1)(n+2)J4(n2+3n+2) 第六章拔尖测评 -、1.C2.A3.B4.A5.B 6.A 7.C解析：EB⊥BC,ED⊥CD ∴.∠EBC=90°，∠EDC=90°. ,'∠EBC+∠BCD+∠EDC+ ∠E=360°，∠E=50°，∴.∠BCD= 360°-90°-90°-50°=130°.又，四 边形ABCD是平行四边形，.∠A ∠BCD=130°. 8.C解析：如图，连接EG.四边 形ABCD是平行四边形，.AD BC,AD∥BC.E,G分别为边AD, BC的中点，∴.AE=DE=BG=CG. ,'.四边形AEGB和四边形DEGC是 1 平行四边形.·S△GF=之S口AR, Sag%=Sanx.四边形EPGH 的面积=2SaAn:·四边形 EFGH的面积是定值.点F,H分 别在AB,CD上移动，∴.四边形 EFGH的周长、∠EFG的度数、线段 FH的长均不确定. D H F B (第8题) 9.A解析：AE=AB, ∠ABE=∠AEB.同理，可得 ∠CBD=∠CDB..∠ABE+ ∠CBD=∠DBE,∴.∠AEB+ ∠CDB=∠DBE..∠AED+ ∠CDE=180°.∴.AE/CD..AE= CD,.四边形AEDC为平行四边 形..DE=AC=1..BC=CD DE=1.在△BCD中.BD<BC CD,∴.BD<2. 10.D解析：AB=3,AC=4, BC=5,∴.AB2+AC2=BC. ∴.△ABC是直角三角形，∠BAC= 90°..AB⊥AC.故①正确 ,△ABD,△ACE都是等边三角形， ∴.∠DAB=∠EAC=60°. .∠DAE=150°..△ABD和 △FBC都是等边三角形，.BD= BA,BF=BC,∠DBF+∠FBA= ∠ABC+∠ABF=60°..∴.∠DBF= ∠ABC.在△ABC与△DBF中， (AB=DB, ∠ABC=∠DBF,.△ABC≌ BC=BF, △DBF.∴.AC=DF=AE=4.同理， 可证△ABC2△EFC.∴.AB=EF= AD=3..四边形AEFD是平行四 边形.故②正确.∴.∠DFE= ∠DAE=150°.故③正确.如图，过点 A作AG⊥DF于点G,则∠AGD= 90°.，四边形AEFD是平行四边形， ∴.∠FDA=180°-∠DFE=180° 150=30.AG=2AD=2 68 SaAm=DF·AG=4X号-6.故 ④正确.综上所述，正确的有4个 B (第10题) =、1.422.6013.是 14.1.5解析：延长AC,BF交于点 G.,AE平分∠BAC,.∠BAF= ∠GAF.BF⊥AE,.∠AFB= ∠AFG=90°.在△AFB和△AFG ∠BAF=∠GAF, 中，AF=AF, .△AFB≌ ∠AFB=∠AFG, AAFG..'AB=AG=6,BF FG. .CG=AG-AC=6-3=3. BF=FG,BD=DC,.DF是 △BCG的中位线.∴.DF= CG- 1.5. 15.16√3或8√5解析：过点D作 DE⊥AB于点E.如图①，在Rt△ADE 中，∠A=30°，AD=4V5,∴.DE= AD=2原.AE=ADDE= 6.在Rt△BDE中，BD=4, .BE=√BD-DE=2.∴.AB= 8..□ABCD的面积=AB·DE= 8×25=165.如图②，同理，易得 AB=4,∴.□ABCD的面积=AB· DE=4×2√3=8√3.综上所述 ☐ABCD的面积为163或8√3. C E B ① D B E ② (第15题) 三、16.如图，连接BD,AE. FB=CE, .BC=EF. .AB//ED,AC//FD, ∴.∠ABC=∠DEF,∠ACB= ∠DFE. 在△ABC和△DEF中， ∠ABC=∠DEF, BC=EF, ∠ACB=∠DFE, .'.△ABC≌△DEF .'AB=DE. AB∥DE, .四边形ABDE是平行四边形 ∴.AD与BE互相平分 D (第16题) 17.(1)·四边形ABCD是平行四 边形， ∴.ABCD,AB=CD. AE=CF, .四边形AECF是平行四边形 (2)四边形AECF是平行四边形， .AF//CE. AB//CD,AE=CF,AB=CD, ∴.BE∥DF,BE=DF. ,.四边形BFDE是平行四边形 .BF//DE. ,.四边形EGFH是平行四边形 ∴.EF与GH互相平分. 18.(1).AF平分∠BAC,BF AF, .∠BAF=∠DAF,∠BFA= ∠DFA=90°」 又AF=AF, ∴.△AFB≌△AFD. .'AB=AD=6,BF=FD ·G是边BC的中，点，BF=FD, .FG是△BCD的中位线. '.DC=2FG=4. ..AC=AD+DC=6+4=10: .'.△ABC的周长=AB+AC+BC= 6+10+9=25 (2)由题意，可知DE为△ABC的中 位线， .DE//BC. .∠BHE=∠NBH. :BM平分∠ABN, ∴.∠ABH=∠NBH. ∴.∠ABH=∠EHB. ∴.HE=BE=AE. ∴.∠EHA=∠EAH. .∠EHA+∠EAH+∠EHB+ ∠ABH=180°， '.∠EHA+∠EHB=90」 ∴.AH⊥BM. 19.(1)由折叠，得∠D=∠AD'E. ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,∠D=∠ABC. ∴.∠AD'E=∠ABC. ∴.BCDE. 又ECD'B, ∴.四边形BCED是平行四边形. (2)由折叠，得∠BAE=∠DAE= ∠BAD. 1 :BE平分∠ABC, 1 ·∠EBA=2∠ABC :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC. .'.∠BAD+∠ABC=180° :∠BAE+∠EBA= 1 (∠BAD+ ∠ABC)=90. .∠AEB=90° ∴.在Rt△AEB中，由勾股定理，得 AB2=AE2+BE2 20.(1),△ABC和△BEF是等边 三角形， ∴.∠ABC=60°，∠EFB=60°， EF=BE .∠ABC=∠EFB. .EF//DC. DC=BF, .DC=EF. 69 '.四边形EFCD是平行四边形 (2)如图，过点E作EH⊥BC,交CB 的延长线于点H. .∠EHB=90°. ,△ABC和△BEF是等边三角形， ∴.∠ABC=∠EBF=60°，BE=BF. ∴.∠EBH=180°-60°-60°=60°. .∠HEB=30. 1 BH=2BE. EH=V肝-9E 号ar-Scn, D是BC的三等分点， .分情况讨论： 当CD= 号BC=2时，EH=5, SECDEF=2X3=23; 当CD=名BC=4时，EH=25) SOCDEF=4X23=83 综上所述，□CDEF的面积为2√5或 83 B D (第20题) 21.(1)在□ABCD中，AB∥CD, AB=CD,OD=OB BD⊥CD, .AB⊥DB. E为AD的中点，OD=OB, ÷0EAB.OE=AB. ∴.OE⊥BD DF EO-5. DF=2, .OE=5. ∴.CD=AB=2OE=25. (2)PG-QN. 理由：如图，过点G作GM⊥BC于点M 由题意，可得∠BCD=180°- ∠ABC=60° :∠BDC=90, ∴.∠DBC=90°-∠BCD=30. AB=CD=2, .BC=2CD=4. BC=4CN, .CN=1,BN=3. ·CE平分∠BCD, ∴.∠BCE=∠DCE= 1 2 ∠BCD= 30°. :GN∥CE, ∴.∠BNG=∠BCE=3O .∠DBC=∠BNG=30. .GB=GN. GM⊥BC, &BM=MN=号BN= 2,GM= 6x. GN2=GM2+MN2, GN=Gw+是 ∴.GN=√5. PQ=5, .PQ=GN. PQ/GN, ∴.四边形PQNG是平行四边形. .PG=QN. B M (第21题) 期末拔尖测评 -、1.C2.C3.A4.D5.D 6.B7.B 8.C解析：BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠GBF.AF⊥BF, ,.∠BFA=∠BFG=90°.在△BFA ∠ABF=∠GBF, 和△BFG中，〈BF=BF, ∠BFA=∠BFG, '.△BFA≌△BFG..∴.BA=BG 12,AF=GF..GC=BC-BG=8. ,AF=GF,D为AB的中点，.易 得EF是△AGC的中位线..EF= 2c=4 9.B解析：不等式组整理，得 2>,由不等式组的解集为x之 {x≥-4， a,得a≥一4.分式方程去分母， 得ax+3.x一3=一1，解得x= 千a≠一3)，且x≠1.由分式方程 的解为整数，得到a十3=士1或士2， 解得a=一2或-1或一4或一5.又 :a≥=4十3≠1，a=-2或 一4.，'.所有符合条件的整数a的值 的和为-2十(-4)=-6. 10.C解析：△ABE,△ADF是 等边三角形，∴.FD=AD,BE=AB, ∠ADF=∠FAD=∠EAB= ∠ABE=60°.在□ABCD中，AD= BC,AB=DC,∠ADC=∠ABC. .FD=BC,BE=DC.:∠ADC= ∠ABC,∠ADF=∠ABE, '.∠CDF=∠EBC..∴.△CDF2 △EBC.故选项A正确.，∠EAF= ∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+ 60°+(180°-∠CDA)=300° ∠CDA,∠CDF=360°-∠FDA ∠CDA=300°-∠CDA, .∠CDF=∠EAF.故选项B正确。 在等边三角形ABE中，若CG⊥AE 则G是AE的中点，∠ABG=30°， ∠ABC=150°，题目缺少这个条件， CG⊥AE不能求证.故选项C不一定 正确.AF=DF,∠EAF= ∠CDF,AE=AB=DC, '.△EAF≌△CDF..EF=CF.又 ,△CDF≌△EBC,∴.CF=EC. .EF=CF=EC..△ECF是等边 三角形.故选项D正确. 二、11.67.5°12.-1 13.一4<x≤4解析：把P(4,-6) 代人y=k.x-3,得4k一3=一6，解得 70 k=-是y=-子2-8当 y=0时，-子x-3=0,解得x 一4..由图象，可知关于x的不等式 组ax十bkx一3<0的解集为一4< x4. 14.4解析：连接CD.在Rt△ABC 中，，∠ACB=90°，BC=2, ∠ABC=60°，∴.∠A=30°.∴.AB= A'B'=2BC=4.,D是A'B的中 点CD=2AB=2.BD≤ CD+CB=4.'.BD长的最大值 为4. 15.2或6解析：，△ABC为等边 三角形，.∠A=∠B=∠C=60, AB=BC=AC=10cm.设运动时间 10 为1&①当0≤1≤3时，点M,N,D 的位置如图①所示.：四边形 ANDM为平行四边形，.DM= AN,DM∥AN,DN∥AB. .∠MDB=∠C=60°=∠B. ∴.BM=DM..BM+CN=DM+ CN=AN+NC=AC=10cm,即 B十2=10，解得1=2.②当3<1≤ 5时，此时A,M,N三点在同一直线 上，.以A,M,N,D为顶点不能构 成平行四边形.③当5<1<9时，点 M,N,D的位置如图②所示.：四边 形ANDM为平行四边形，∴.DN= AM,AM∥DN.∴.∠NDB=∠C= 60°=∠B...ND=NB..NB+ MC=ND+MC=AM+MC- 10cm,即20-2t+20-3t=10,解得 6.④当g<1≤10时，点M,N,D 的位置如图③所示..BN=（20 2t)cm,BM=(30-3t)cm,由题意，易 知△BNM为等边三角形，∴.BN= BM,即20-21=30一3t,解得t=10, 此时点M,N重合，不能构成平行四拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第六章拔尖测评 ○满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.有下列说法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角互补；③平行线间的线段 相等；④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；⑤平行四边形的四个内角的度数之比可以是2： 3:2:3.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在四边形ABCD中，ABCD,要使其是平行四边形，下列条件中，不正确的是 ( A.BC=AD B.AB=CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 3.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,BF⊥DC,交DC的延长线于点F.若AB=3,BC=4,AE=2.4, 则BF的长为 () A.1.6 B.3.2 C.4.8 D.2.4 C (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，FD⊥AB,交CB的延长线于点F.若AF=3,CF=7, 则DE的长为 () A.2 B.3 C.3.5 D.4 5.如图，将一个正五边形ABCDE变形为四边形ABCD,其中A,E,D三点共线，AD∥BC,则∠C的度 数将 A.增大10 B.增大12 C.增大18 D.增大24 6.如图，□ABCD的面积是12，点E,F在AC上，且AE=EF=FC,则△BEF的面积为 A.2 B.3 C.4 D.6 D D H F B (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，E为□ABCD外一点，且EB⊥BC于点B,ED⊥CD于点D.若∠E=50°，则∠A的度数为() A.135 B.125° C.130 D.35 8.如图，在□ABCD中，E,G分别为边AD,BC的中点，点F,H分别在边AB,CD上移动（不与端点重 合)，且满足AF=CH,连接FH,下列为定值的是 () A.四边形EFGH的周长 B.∠EFG的度数 C.四边形EFGH的面积 D.线段FH的长 9.如图，凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE十∠CBD,AC=1,则BD的长() A.小于2 B.等于2 C.大于2 D.以上情况均有可能 (第9题) (第10题) 10.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形.有下列结论： ①AB⊥AC;②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE=150°；④S四边形AFD=6.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在□ABCD中，若AB,BC,CD三条边的长度分别为(x-2)cm,(x十3)cm,8cm,则□ABCD的周长 是 cm. 12.如图所示为用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，则这个图案中的等腰梯形的较 小内角度数是 D (第12题) (第13题) (第14题) 13.如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G.若BE=3,则GE= 14.如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC,过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F,连接 FD,CF.若AB=6,AC=3,则DF的长为 15.在□ABCD中，∠A=30°，AD=4√3，BD=4,则□ABCD的面积为 三、解答题（共55分） 16.(6分)如图，点B,F,C,E在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,ACFD,AD交BE于点O.求证：AD 与BE互相平分. (第16题) 5 17.(8分)如图，在□ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于点 H,G,接连EF,GH.求证： (1)四边形AECF是平行四边形. (2)EF与GH互相平分. (第17题) 18.(9分)如图，在△ABC中，E,G分别是边AB,BC的中点，AF平分∠BAC,BF⊥AF于点F,延长BF 交AC于点D,连接FG. (1)若AB=6,BC=9,FG=2.求△ABC的周长. (2)若D恰好是AC的中点，BM为△ABC外角的平分线，交DE的延长线于点H,求证：AH⊥BM. M (第18题) 19.(I0分)如图，将□ABCD沿过点A的直线1折叠，使点D落到边AB上的点D'处，折痕1交边CD于 点E,连接BE (1)求证：四边形BCED'是平行四边形 (2)若BE平分∠ABC,求证：AB2=AE+BE2. D (第19题) 16 20.(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D,F分别在线段BC,AB上，DC=BF,以BF为边在△ABC 外作等边三角形BEF. (I)求证：四边形EFCD是平行四边形 (2)若△ABC的边长是6，D是BC的三等分点，求□CDEF的面积. B D (第20题) 21.(12分)在□ABCD中，连接BD,BD⊥CD,E为边AD上一点，连接CE,交BD于点F. (1)如图①，若E为AD的中点，对角线AC与BD相交于点O,连接OE,且△DFE的面积为√5， DF=2,求CD的长 (2)如图②，若∠ABC=120°，AB=2,点N在边CB上，BC=4CN,且CE平分∠BCD,线段PQ(点P 在点Q的左侧)在线段CE上，且PQ=3,连接NQ,过点N作NG∥CE,交BD于点G,连接 PG.请判断PG与QN之间的数量关系，并说明理由. (第21题)