第六章 3 三角形的中位线-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

AD∥BC, .∠ADF=∠ECF. 在△AFD和△EFC中， I∠AFD=∠EFC, ∠ADF=∠ECF, AF=EF, ∴.△AFD≌△EFC. .DF=CE ∴.四边形ACED是平行四边形 (3)AB=BE=6,BF⊥AE, ∴.BF平分∠ABE. 由(2)，得四边形ACED是平行四 边形， .AD=CE. ,四边形ABCD是平行四边形， .'AD-=BC. AD=CE=CB-2 BE=3. ∠EBF=∠ABF=30°， ∴.∠ABE=2∠ABF=60. .△ABE是等边三角形. .AC⊥BE .∠ACB=90° ∴.AC=√AB2-CB=√6-3= 35 .SaAD=CB·AC=3X3V5= 9√3， .☐ABCD的面积为9√3 3三角形的中位线 1.C2.B3.70 4.,四边形ABCD是平行四边形， ∴.OB=OD,即O是BD的中点. 又E是CD的中点， .OE是△BCD的中位线 ·OE/BC,且OE=2BC. CF-BC, .OE=CF. 又.点F在BC的延长线上 .OE//CF. '.四边形O℃FE是平行四边形 5.C解析：E,F,G分别是AD, BC,BD的中点，∴.EG是△ABD的 中位线，FG是△BCD的中位线. ·BG=2AB,FG=CD. .AB CD,.EG FG. ∴.∠GEF=∠GFE.∠EGF= 1 124,·∠GEF=2×(180 124)=28° 6.D解析：如图，延长BN交AC于 点E.AN平分∠BAC, ∴.∠BAN=∠EAN.:AN⊥BN, ∴.∠ANB=∠ANE=90°.在 △ABN和△AEN中，：∠BAN= ∠EAN,AN=AN,∠ANB= ∠ANE,∴.△ABN≌△AEN. '.AB=AE=6,BN=EN,即N是 BE的中点.又M是BC的中点， ∴.CE=2MN=2×1.5=3. ∴.△ABC的周长为AB+BC+ AC=6+10+6+3=25. A B M (第6题) 7.B解析：如图，连接DN,DB. :E,F分别为DM,MN的中点， :EF=合DN.当DN的长最大 时，EF的长最大；当DN的长最小 时，EF的长最小.：当点N与点B 重合时，DN的长最大，此时DN DB=√JAD2+AB=√52+12= 13,.EF6.5..∠A=90°，AD= 5,∴.DN≥5..EF≥2.5..2.5 EF≤6.5..EF的长可能为5. L. (第7题) 5 8.之解析：如图，连接CD,取CD 的中点K,连接MK,NK.M,N 分别是AC,DE的中点，∴.MK,NK 分别是△ACD和△DCE的中位线. '.MK∥AB,NK∥BC,MK= AD,NK=CE.AD =4. CE=3,MK =2,NK=2. 3 50 ∠B=90°，∴.AB⊥BC..MK⊥ NK..∠MKN=90°..MN= MK FNK- (第8题) 9.(1)如图，延长AE交BC于点H. :CD是△ABC的角平分线， ∴.∠ACE=∠HCE. AE⊥CD, '.∠CEA=∠CEH=90° 在△CAE和△CHE中， |∠ACE=∠HCE, CE=CE, I∠CEA=∠CEH, '.△CAE≌△CHE ∴AE=HE,即E是AH的中点. 又，F是AC的中点， ∴.EF∥HC. .EF∥BC (2)∠EAC=∠B+∠DAE. 由(1)，知△CAE≌△CHE, ∴.∠EAC=∠EHC. 又：∠EHC=∠B+∠DAE, .∠EAC=∠B+∠DAE. D (第9题) 10.(1),四边形ABCD是平行四 边形， ∴.ABCD,AB=CD. CD=DE, .'AB=DE. ∴.四边形ABDE是平行四边形. (2)四边形ABDE是平行四边形，四 边形ABCD是平行四边形， .BF=EF,OB=OD. ∴.OF是△BDE的中位线. .DE=2OF. CD=DE, ∴.CE=2DE. .CE=4OF. 11.OE=OF. 如图，取AD的中点G,连接MG, NG. .G,N分别为AD,CD的中点， .GN是△ACD的中位线 GN/AC.GN-AC. 同理，可得GM/BD,GM=2BD, .AC=BD, .GN=GM. '.∠GMN=∠GNM. 又.GMOE,GNOF, '.∠OEF=∠GMN,∠OFE= ∠GNM. '.∠OEF=∠OFE. .OE=OF. N B C (第11题) 12.(1)如图①，连接BD,取BD的 中点H,连接EH,FH. E,H分别是AD,BD的中点， ·EH/AB,EH=2AB. .∠BME=∠HEF. F,H分别是BC,BD的中点， FH/CD,FH-CD. ..∠CNE=∠HFE. .AB=CD, .'EH=FH. ,.∠HEF=∠HFE. .∠BME=∠CNE. (2)如图②，连接BD,取BD的中点 H,连接EH,FH. E,H分别是AD,BD的中点， EH=号AB. 2 H,F分别是BD,BC的中点， FH-CD.FH/AC. ∴.∠HFE=∠FEC=45. .AB=CD=2, .EH=FH=1. .'.∠HEF=∠HFE=45°. ∴.∠EHF=180°-∠HFE ∠HEF=90°， .EF=√EH+FH'=√2. M D E BL-H H、 F ① ② (第12题) 方法归纳 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线 段的中，点时，常构造三角形的中位 线解题.若两个中点是三角形两边 的中点，则直接连接这两点可得到 三角形的中位线：若两个中点是四 边形对边的中点，则往往需要先连 接对角线，取对角线的中点，再分 别与原对边的两个中点连接，得到 两个三角形的中位线，然后运用中 位线的性质解题. 专题特训十二 平行四边形 性质与判定的应用 1.D解析：四边形ABCD是平 行四边形，，.AB∥CD,BC=AD= 10cm,CD=AB=6cm.∴.∠ABE= ∠CFE.:∠ABC的平分线交AD 于点E,∴.∠ABE=∠CBF ∴∠CBF=∠CFB..CF=BC= 10 cm..DF=CF-CD=10-6= 4(cm). 2.B解析：如图，取CG的中点H, 连接EH,则GH=CH=2CG.'P 为BG的中点，DG=6,BC=10, .GF-BF-G.FH-GF+ GH=(BG+CG)=BC=5. :E为CD的中点，H为CG的中 点EH/DG,EH=DG=3 :DG⊥BC于点G,∴.∠FHE= ∠BGD=90°.∴.EF= 51 √FΠ+E=√52+3=√34. D E B F GHC (第2题) 3.40cm解析：.E,F,G,H分别 是四边形ABCD各边的中点， 1 ·GH=EF=ZAC,FG=HE= BD.·四边形EFGH的周长为 EF+FG+GH+HE =AC+ BD=40 cm. 4.20解析：四边形ABCD是平 行四边形，.AB=CD,AD=BC, OA=OC.又EF⊥AC,∴.EF垂直 平分AC.∴.AE=CE.△BEC的 周长是10，'.BC+BE十CE=BC+ BE+AE BC+AB 10. ∴.□ABCD的周长为2(BC+ AB)=20. 5.B解析：，CE⊥AB,垂足为E, .∠E=90°∠BCE=38°， ∴.∠B=90°-∠BCE=52°.四边 形ABCD是平行四边形，∴.∠D= ∠B=52°. 6.如图，连接AE. ,点D在线段EC的垂直平分线上， .'ED=CD. '.∠CED=∠DCE=66°. .∠CDE=180°-66°-66°=48°. 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,CD=AB. ∴.∠ABE=∠CDE=48. :点E在线段AD的垂直平分线上， .AE=ED. ∴.AB=AE,∠EAD=∠ADE .∠AEB=∠ABE=48. :∠AEB=∠ADE+∠EAD, :∠ADE= 1 -X48°=24. .∠ADC=24+48°=72. AD//BC, ∴.∠BCD=180°-∠ADC=108 .∠BCE=108°-66°=42°. A-- D 、、E B (第6题)拔尖特训·数学（北师版）八年级下 3 三角形 白基础进阶 1.(2025·宿迁)如图，在△ABC中，AB≠AC, D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，则下 列结论错误的是 A.DE∥BC B.∠B=∠EFC C.∠BAF=∠CAFD.OD=OE D (第1题) (第2题)》 2.(2025·成都新都期末)如图，D,E分别是 △ABC中AC,BC的中点，F为BE的中点， 连接DF并延长，交AB的延长线于点G.若 BG=2,则AB的长是 ( A.2B.4 C.6 D.8 3.(2025·广东)如图，D,E,F分 别是△ABC各边上的中点， ∠A=70°，则∠EDF的度数为 B (第3题) 4.如图，在□ABCD中，O是对角线AC,BD的 交点，E是CD的中点，点F在BC的延长线 上，且CF=2BC.求证：四边形OCFE是平 行四边形 (第4题) 118 的中位线 幻素能攀升 5.(2025·咸阳兴平期末)如图，在四边形 ABCD中，E,F,G分别是AD,BC,BD的 中点.若AB=CD,∠EGF=124°，则∠GEF 的度数为 () (第5题) A.10°B.20°C.28° D.30° 6.如图，M是BC的中点，AN平分∠BAC,且 BN⊥AN,垂足为N.若AB=6,BC=10, MN=1.5,则△ABC的周长为 () M (第6题) A.28 B.32 C.18 D.25 7.新考法·探究题如图，在四边形ABCD中， ∠A=90°，AB=12,AD=5,M,N分别为线 段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与 点B重合)，E,F分别为DM,MN的中点， 则EF的长可能为 () A.2 B.5 C.7 D.9 N B E (第7题) (第8题) 8.（2025·龙东地区)如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，D,E分别 在边AB和BC上，且AD=4 CE=3,连接DE,M,N分别是AC,DE的 中点，连接MN,则MN的长为 9.如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD 于点E,F是AC的中点，连接EF (1)求证：EFBC (2)试猜想∠B,∠DAE,∠EAC三个角之 间的数量关系，并加以证明」 B (第9题) 10.(2025·武冈期末)如图，在□ABCD中， AC,BD相交于点O,延长CD到点E,使 DE=CD,连接AE. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形 (2)连接BE,交AD于点F,连接OF,求 证：CE=4OF. (第10题) 第六章平行四边形 1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相 交于点O,且AC=BD,M,N分别是AB, CD的中点，MN分别交BD,AC于点E, F.请探究OE与OF的数量关系，并加以 证明. (第11题) 思维拓展 2.*(1)如图①，在四边形ABCD中 AB=CD,E,F分别是AD,BC的 中点，连接FE并延长，分别与 BA,CD的延长线交于点M,N.求证： ∠BME=∠CNE. (2)如图②，在△ABC中，F是BC的中点， D是AC上一点，E是AD的中点，直线FE 交BA的延长线于点G.若AB=CD=2, ∠FEC=45°，求EF的长. AA D (第12题) 119