第二章 专题特训三、四 不等式(组)与方程(组)的综合问题 利用不等式(组)与一次函数进行方案设计-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）入年级下 专题特训三不等式（组）与方程（组）的综合问题 类型一由方程（组）解的情况列不等式（组》 类型二由不等式（组）解集的情况列方程（组） 1.已知关于x的方程2x+4=m一x的解为负 6.已知关于x的不等式5x+a<3的解集是 数，则m的取值范围是 ( x<2,求a的值. Am号 B.m 3 C.m<4 D.m>4 2.(2025·邯郸丛台期末)若关于x,y的方程 2.x-y=4k-1, 组 的解中，x与y的差不大 lx-2y=k 于3，则k的取值范围是 7.(2025·抚州金溪期中)已知关于 A.k≥2 B.k≤1 的不等式①4+2x>0与②一3(x C.k≥1 D.k≤2 1)>4(a-x). 3.★如果关于x的方程a.x一2=x+3的解为非 (1)若两个不等式的解集相同，求a的值. 正数，且关于x,y的二元一次方程组 (2)若不等式②的解都是不等式①的解，求α x+2y=2, 的解满足x十y> 4 的取值范围. 2x+y=1+a 3,那么 满足条件的整数a的值有 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 4.(2025·南京建邺期末)已知关于x的方程 2(x+a)=x+3的解满足2x-l0>8a,则a 的取值范围是 8.(2025·西安碑林段考)已知关于x的不等式 5.若关于x,y的二元一次方程组 |2x-a<1, |3x+y=2+3a, 组 的解集是一1<x<3. 的解满足x十 x-2b>-3 x+3y=2+a (1)求代数式(a+1)(b-1)的值 y<0. (2)若a,b,c为某三角形的三边长，试求 (1)求a的取值范围. |a+b-c|+|c-3|的值 2化简：1-a+a+ 48 第二章不等式与不等式组 专题特训四 利用不等式（组）与一次函数 进行方案设计 “答案与解析”见P23 类型一最（至）多（少）问题 类型二可行性方案设计问题 1.(2025·赣州章贡期末)某新能源汽车可采用2.卫生防疫部门准备购买甲、乙两种型号的消 汽油和电两种能源，两种能源不能同时使用， 毒器，通过市场调研得知：购买3个甲型消毒 经测算，该新能源汽车使用汽油和电两种能 器和4个乙型消毒器共需1040元：购买1个 源行驶的费用如下表所示： 甲型消毒器比购买2个乙型消毒器少用 用汽油行驶的 用电行驶的 80元. 总费用/元 路程/千米 路程/千米 (1)甲、乙两种型号的消毒器的单价各是多 10 30 14.4 少元？ 40 20 41.6 (2)卫生防疫部门准备购买两种型号的消毒 器共10个，所用资金不超过1400元，卫生防 (1)该新能源汽车使用汽油和电两种能源行 疫部门有哪几种购买方案（两种型号的消毒 驶1千米的费用分别是多少元？ 器都必须购买)？ (2)已知从A地行驶至B地共100千米，使 用汽油和电的总费用不超过40元，则至少需 使用电行驶多少千米？ 49 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 类型三最优方案的设计问题 类型四最佳方案的选择问题 3.某农业生态园响应国家发展有机农 4.A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的 业的号召，大力种植有机蔬菜.某超 商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促 市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场 销方式如下： 价值，经调查，甲种有机蔬菜的进价为每千克 A超市：一次购物不超过300元的打九折，超 m元，售价为每千克16元；乙种有机蔬菜的 过300元的部分打七折： 进价为每千克n元，售价为每千克18元.该 B超市：一次购物不超过100元的按原价销 超市采购甲种有机蔬菜10千克和乙种有机 售，超过100元的部分打八折. 蔬菜5千克需要170元；采购甲种有机蔬菜 例如：一次购物的商品的原价为500元， 6千克和乙种有机蔬菜10千克需要200元. 去A超市的付款额为300×0.9+(500 (1)求m,n的值！ 300)×0.7=410(元)； (2)该超市决定每天采购甲、乙两种有机蔬 去B超市的付款额为100+(500一100)× 菜共100千克，且投入的资金不少于 0.8=420(元). 1160元又不多于1168元，设采购甲种有机 (1)设商品的原价为x元，付款额为y元，分 蔬菜x(x为整数)千克，则有哪几种采购 别就两家超市的促销方式写出y关于x的函 方案？ 数表达式 (3)在(2)的条件下，超市在获得的利润取得 (2)促销活动期间，若小刚一次购物的商品 最大值时，决定将售出每千克甲种有机蔬菜 的原价超过200元，则他去哪家超市购物更 所获利润捐出2a元，售出每千克乙种有机蔬 省钱？ 菜所获利润捐出α元给当地福利院.若要保 证捐款后的利润率不低于20%，求a的最 大值 50-3 15.解不等式4(x+2)一2>5+3a, 得x>3a1 4 解不等式3a1Dr>a(2+3》,得 3 2 rSa 2 由题意，得号解得a≤ 专题特训三不等式（组） 与方程（组）的综合问题 1.C解析：解2x十4=m-x,得 x=号由题意，得x<0. m。4<0,解得m<4. 3 2.D解析：将原方程组中的两个方 程左、右两边分别相加，得3x一3y 1 的差不大于3号-子<8，解得 k≤2. 3.C解析：解关于x的方程a.x 5 2=x十3，得x 5 a-7a2片≤0， x+2y=2, ∴.a<1.将方程组 左 2x+y=1+a 右两边分别相加，得3.x+3y=3+a. 4 ”x+y>-33x+3y>-4 .3+a>-4.a>-7..-7< a<1.,a为整数，∴.满足条件的整 数a的值为-6，-5，-4，一3，一2， 一1,0，共7个 一方法归纳 一元一次不等式（组）与方程 (组)的综合问题的求解策略 此类题以“解”为“媒”联系起 方程（组）与不等式（组），解题的关 键是分清相关字母与未知数，能用 相关字母表示未知数，并能对照解 的情况，列方程（组）或不等式 (组)，从而求出相关字母的值或取 值范围. 4.a<-3 3x+y=2+3a①， 5.(1) x+3y=2+a②. ①+②，得4x+4y=4+4a. 整理，得x+y=1十a. x十y<0, .1十a0,解得a<-1. (2)a<-1, 1 ·1-a>0,a+z<0. &l-al+at =1-a-a 11 2=2-2a 6.解不等式5x+a<3,得x<3a 5 .不等式5x+a<3的解集是x<2, 3一4=2. ∷. .a=-7. 7.(1)解不等式4+2x>0,得 x>-2. 解不等式-3(x+1)>4(a-x),得 x>4a+3. 两个不等式的解集相同， .4a十3=-2，解得a=- 5 (2)由(1)知，不等式①的解集为 x>-2,不等式②的解集为x> 4a+3, ,不等式②的解都是不等式①的解， 如+3≥-2，解得a≥-号 8.(1)解不等式2x-a<1,得 2《大1 2 解不等式x一2b>一3，得x>2b一3. .不等式组的解集为2b一3< 2 ,不等式组的解集为一1<x<3, /2b-3=-1, .+1=3, a=5, 解得 b=1. 2 .(a+1)(b-1)=(5+1)×(1 1)=6×0=0. (2)a,b,c为三角形的三边长， 23 ∴.a+b>c,a-b<c. ∴.a+b-c>0,4<c<6. .∴.原式=5+1-c+c-3=3. 专题特训四利用不等式（组） 与一次函数进行方案设计 1.(1)设该新能源汽车使用汽油行 驶1千米的费用是x元，使用电行驶 1千米的费用是y元. 根据题意，得 10x+30y=14.4,解 40.x+20y=41.6, x=0.96, 得 y=0.16. 答：该新能源汽车使用汽油行驶1千 米的费用是0.96元，使用电行驶1千 米的费用是0.16元. (2)设使用电行驶m千米，则使用汽 油行驶(100一m)千米。 根据题意，得0.16m+0.96(100 m)40,解得m≥70 .m的最小值为70. 答：至少需使用电行驶70千米 2.(1)设甲型消毒器的单价是x元， 乙型消毒器的单价是y元. 3.x+4y=1040, 根据题意，得 2y-x=80, x=176, 解得 y=128. .甲型消毒器的单价是176元，乙型 消毒器的单价是128元 (2)设购买m个甲型消毒器，则购买 (10-m)个乙型消毒器. 根据题意，得176m+128(10一m)≤ 1400,解得m≤2 -5 又.m,10一m均为正整数， ∴.m的值可以为1,2. ∴.卫生防疫部门共有2种购买方案， 方案一：购买1个甲型消毒器，9个乙 型消毒器； 方案二：购买2个甲型消毒器，8个乙 型消毒器 10m+5n=170, 3.(1)由题意，得 6m+10m=200, m=10, 解得 n=14. (2)采购甲种有机蔬菜x千克， .采购乙种有机蔬菜(100一x)千克 (10x+14(100-x)≥1160， 由题意，得 10x+14(100-x)≤1168， 解得58≤x≤60. x为整数， .x=58,59,60. ∴.有3种采购方案 方案一：采购甲种有机蔬菜58千克， 乙种有机蔬菜42千克： 方案二：采购甲种有机蔬菜59千克， 乙种有机蔬菜41千克： 方案三：采购甲种有机蔬菜60千克， 乙种有机蔬菜40千克， (3)设该超市获得的利润为y元，则 y=(16-10)x+(18-14)(100 x)=2x+400. 2>0, ∴.y随x的增大而增大。 .当x=60时，y取得最大值，最大 值为2×60+400=520，此时100 x=40. 由题意，得60(16-10-2a)+ 40(18-14-a)≥(10×60+14× 40)×20%, 解得a≤1.8. .a的最大值为1.8. 4.(1)由题意，可得当0<x300 时，yA=0.9x; 当x>300时，yA=0.9×300+ 0.7(x-300)=0.7x+60. f0.9x(0<x300), ..yA= (0.7x+60(x>300). 当0<x≤100时，yB=x； 当x>100时，yB=100+0.8(x 100)=0.8.x+20. x(0<x100), y= 0.8x+20(x>100). (2)当x300时，令0.9x>0.8x+ 20,解得x>200: 令0.9x=0.8x+200,解得x=200 (不合题意，舍去)： 令0.9x<0.8x+200,解得x200 (不合题意，舍去) ∴.当200<x≤300时，他去B超市购 物更省钱 当x>300时，令0.7x+60>0.8.x+ 20,解得x<400: 令0.7x+60=0.8z+20,解得x 400: 令0.7x+600.8x+20,解得x> 400. .当300<x<400时，他去B超市购 物更省钱： 当x=400时，他去两家超市购物花 费一样； 当x>400时，他去A超市购物更 省钱。 综上所述，当200<x<400时，他去 B超市购物更省钱；当x=400时，他 去两家超市购物花费一样；当x>400 时，他去A超市购物更省钱. 第二章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)去分母，得3x一(x+ 2)6.x-6. 去括号，得3x-x一26x一6. 移项，得3x一x一6x一6十2. 合并同类项，得一4x一4. 系数化为1，得x≥1. 将解集表示在数轴上如图①所示. 13(x+1)>5.x-1①， (2)记2x-1_5x+1≤1@. 3 2 解不等式①，得x<2. 解不等式②，得x≥-1. ∴.不等式组的解集为一1≤x<2. 将解集表示在数轴上如图②所示. -4-3-2-1012345 ① -43-21012345 ② (典例1图)》 [变式](1)去分母，得1+2x> 3(x-1). 去括号，得1+2.x>3x-3. 移项、合并同类项，得一x>一4. 系数化为1，得x<4. 24 '.不等式的正整数解为x=1,x=2, x=3. 13x-5≥2(x-1)①， (2)记 <@ 2 3 解不等式①，得x≥3. 解不等式②，得x<5. ∴.不等式组的解集为3≤x<5. .不等式组的正整数解为x=3, x=4. 典例2(1)x=-1:x>2. (2)点A的坐标为（一1,0），点C 的坐标为(1,3)， .由图象可知，不等式组0≤k1x十 b1<kx+b的解集是-1≤x<1. A(-1,0),B(2,0), .AB=2-(-1)=3. 1 .SAAx=5AB·三2X3X 9 321 [变式](1)x<-2. (2)点A(0,4),C(-2,0)在一次 函数y1=kx十b的图象上， b=4, k=2, 解得 (-2k+b=0, {b=4. ∴.一次函数的表达式为y1=2x十4. ,不等式k.x十b>-4x十a的解集 是x>1, ∴.点B的横坐标是1. 当x=1时，y1=2×1+4=6. .点B的坐标为(1,6). 典例3(1)设购买篮球m个，则购 买足球(75-m)个. 根据题意，得75一m≥1.4m,解得 ≤要 m为整数， .m的最大值为31. 答：最多可以购买31个篮球. (2)设购买篮球个，则购买足球 (75-n)个. 根据题意，得70m十80(75一n)≤ 5700,解得1≥30. n为整数， .n的最小值为30.