第二章 不等式与不等式组 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

(2)采购甲种有机蔬菜x千克， .采购乙种有机蔬菜(100一x)千克 (10x+14(100-x)≥1160， 由题意，得 10x+14(100-x)≤1168， 解得58≤x≤60. x为整数， .x=58,59,60. ∴.有3种采购方案 方案一：采购甲种有机蔬菜58千克， 乙种有机蔬菜42千克： 方案二：采购甲种有机蔬菜59千克， 乙种有机蔬菜41千克： 方案三：采购甲种有机蔬菜60千克， 乙种有机蔬菜40千克， (3)设该超市获得的利润为y元，则 y=(16-10)x+(18-14)(100 x)=2x+400. 2>0, ∴.y随x的增大而增大。 .当x=60时，y取得最大值，最大 值为2×60+400=520，此时100 x=40. 由题意，得60(16-10-2a)+ 40(18-14-a)≥(10×60+14× 40)×20%, 解得a≤1.8. .a的最大值为1.8. 4.(1)由题意，可得当0<x300 时，yA=0.9x; 当x>300时，yA=0.9×300+ 0.7(x-300)=0.7x+60. f0.9x(0<x300), ..yA= (0.7x+60(x>300). 当0<x≤100时，yB=x； 当x>100时，yB=100+0.8(x 100)=0.8.x+20. x(0<x100), y= 0.8x+20(x>100). (2)当x300时，令0.9x>0.8x+ 20,解得x>200: 令0.9x=0.8x+200,解得x=200 (不合题意，舍去)： 令0.9x<0.8x+200,解得x200 (不合题意，舍去) ∴.当200<x≤300时，他去B超市购 物更省钱 当x>300时，令0.7x+60>0.8.x+ 20,解得x<400: 令0.7x+60=0.8z+20,解得x 400: 令0.7x+600.8x+20,解得x> 400. .当300<x<400时，他去B超市购 物更省钱： 当x=400时，他去两家超市购物花 费一样； 当x>400时，他去A超市购物更 省钱。 综上所述，当200<x<400时，他去 B超市购物更省钱；当x=400时，他 去两家超市购物花费一样；当x>400 时，他去A超市购物更省钱. 第二章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)去分母，得3x一(x+ 2)6.x-6. 去括号，得3x-x一26x一6. 移项，得3x一x一6x一6十2. 合并同类项，得一4x一4. 系数化为1，得x≥1. 将解集表示在数轴上如图①所示. 13(x+1)>5.x-1①， (2)记2x-1_5x+1≤1@. 3 2 解不等式①，得x<2. 解不等式②，得x≥-1. ∴.不等式组的解集为一1≤x<2. 将解集表示在数轴上如图②所示. -4-3-2-1012345 ① -43-21012345 ② (典例1图)》 [变式](1)去分母，得1+2x> 3(x-1). 去括号，得1+2.x>3x-3. 移项、合并同类项，得一x>一4. 系数化为1，得x<4. 24 '.不等式的正整数解为x=1,x=2, x=3. 13x-5≥2(x-1)①， (2)记 <@ 2 3 解不等式①，得x≥3. 解不等式②，得x<5. ∴.不等式组的解集为3≤x<5. .不等式组的正整数解为x=3, x=4. 典例2(1)x=-1:x>2. (2)点A的坐标为（一1,0），点C 的坐标为(1,3)， .由图象可知，不等式组0≤k1x十 b1<kx+b的解集是-1≤x<1. A(-1,0),B(2,0), .AB=2-(-1)=3. 1 .SAAx=5AB·三2X3X 9 321 [变式](1)x<-2. (2)点A(0,4),C(-2,0)在一次 函数y1=kx十b的图象上， b=4, k=2, 解得 (-2k+b=0, {b=4. ∴.一次函数的表达式为y1=2x十4. ,不等式k.x十b>-4x十a的解集 是x>1, ∴.点B的横坐标是1. 当x=1时，y1=2×1+4=6. .点B的坐标为(1,6). 典例3(1)设购买篮球m个，则购 买足球(75-m)个. 根据题意，得75一m≥1.4m,解得 ≤要 m为整数， .m的最大值为31. 答：最多可以购买31个篮球. (2)设购买篮球个，则购买足球 (75-n)个. 根据题意，得70m十80(75一n)≤ 5700,解得1≥30. n为整数， .n的最小值为30. 答：最少可以购买30个篮球 [变式](1)方案一：1800+200× 70=1800+14000=15800(元)： 方案二：300×80%×(70-6)=240× 64=15360(元). .·15800>15360, .采用方案二更省钱 (2)设参加研学的人数为x(x>60): 方案一需要花费(1800+200x)元： 方案二需要花费300×80%×(x 6)=(240x-1440)元. 根据题意，得1800+200x<240.x 1440,解得x>81. 答：当参加研学的人数大于81时，采 用方案一更省钱。 [综合素能提升] 1.A解析：不等式ax十b<0可化 为a.x<-b,,不等式a.x十b<0的 解集是x>-1,a<0.:-b -1,.a=b. 2.B解析：解不等式2(x-1) 3(x+2)>-6,得x<-2.解不等式 士>1，得x>2-a.:不等式组 恰有2个整数解，'.2一a<x<一2， 且整数解为-3，-4..-5≤2 a<一4.，.6a7. 3.-1x<24.①②5.②1 x<3 6.(1)根据题意，得4x+1>85,解得 x>21 .输人的x的取值范围是x>21. 4x+185, (2)根据题意，得 4(4.x+1)+1>85 解得5<x≤21， ,.输人的x的取值范围是5 x21. 7.(1)设A型电动公交车的单价为 x万元，B型电动公交车的单价为 y万元. 2.x+y=112, 由题意，得 x+y=76, x=36, 解得 (y=40. .A型电动公交车的单价是36万 元，B型电动公交车的单价是40万元， (2)设购买A型电动公交车m辆，则 购买B型电动公交车(30一m)辆. 由题意，得36m+40(30一m)1128, 解得m≥18. 又.m20, .∴.18≤m≤20. 设购买这两种型号的电动公交车的总 费用为心万元 由题意，得心=36m+40(30 m)=-4m+1200. -4<0, '.随m的增大而减小 ∴.当m=20时，心取得最小值，此时 30-m=10. ∴.最省钱的购买方案为购买A型电 动公交车20辆，B型电动公交车 10辆. 第三章图形的平移与旋转 1 图形的平移 第1课时平移的定义和性质 1.D2.A 3.24解析：由平移的性质，可知 DF=AC,AD=CF=2,∴.四边形 ABFD的周长=AB+BF+DF+ AD=AB+BC+CF+AC+AD= △ABC的周长+AD+CF=20+2+ 2=24, 4.(1)如图，△DEF即为所求. (2)28. (第4题) 5.B 6.A解析：，Rt△ABC沿BC方向 平移得到Rt△DEF,平移的距离为 7,AB=10,DH=4,..DE=AB= 10,BE=7,S△Ax=S△DsF..HE= DE一DH=6..S豫色=S△DF S△PKE=S△ABC一S△HE=S佛形ABEH= 25 3×6+10)X7=56 7.24解析：'AB⊥BC,AB=6, AC=10,∴.BC=√AC-AB=8. 由平移的性质，可得BE=AD,AB= DE.'.涂色部分的周长为BE十 BC+DE+CD=AD+BC+AB+ CD=BC+AB+AC-=8+6+10= 24. 8.6解析：.·平移不改变图形的形 状、大小，.易得所求的面积可转化 为长方形ABDC的面积.根据图形平 移对应点所连的线段平行且相等，可 知BD=3.又AB=2,.长方形 ABDC的面积为3×2=6，即所求面 积为6. 9.(1)如图①，△A'BC即为所求. (2)如图②，△ABE即为所求」 A ① ② (第9题) 10.(1).将△DEC沿直线1向左平 移得到△D'E'C', ∴.∠BD'E'=∠CDE=30°. ∴.∠CPE'=∠BD'E'+∠ACD= 30°+90°=120°. (2)∠ABC=60°，∠BD'E=30°， ∴.∠BED'=180°-60°-30°=90°. .AB⊥E'D' (3)由平移的性质，可得S△cn= S△D: ∴.易得S梯形ECCp=S四边形PgD, .S△AC=S棉无ECCP十S△AEp十 S△XE=S四边形PHW十S△AEP十S△XE= Sm色=8. 11.(1)AE⊥CD. ,△DCE是由△ABC平移得到的， 且△ABC是边长为6的等边三角形， .易知AC=CE=6,∠ACB= ∠DCE=60° ∴.∠CAE=∠CEA=30°. ∴.∠CFE=180°-∠CEA ∠DCE=90°.第二章不等式与不等式组 第二章整合拔尖 ●“答案与解析”见P24 知识体系构建 概念 不等式。一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫作不等式 不等式的解。在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解 不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1， 一元一次不等式，像这样的不等式，叫作一元一次不等式 般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一 一元一次不等式组，个一元一次不等式组 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个 一元一次不等式组的解集。一元一次不等式组的解集 不等式与不等式组 解不等式组求不等式组解集的过程，叫作解不等式组 不等式的基本性质 基本性质1。不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 基本性质3。不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 解一元一次不等式的步骤 (1)去分母：(2)去括号：(3)移项：(4)合并同类项：(5)系数化为1 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集： (2)在同一条数轴上表示出这些解集，这些解集的公共部分即为不 解一元一次不等式组的步骤 等式组的解集 应用 列一元一次不等式（组）解应用题 91高频考点突破 考点一一元一次不等式（组）的解法 [变式]解下列不等式（组），并写出它的所有正 典例1(2025·新沂段考)解下列不等式（组）， 整数解. 并将解集表示在数轴上。 1)1+24>z-1. 3 告-1 3x-5≥2(x-1), 3(x+1)>5x-1, (2)x-1x+1 (2) 2x-1_5x+1≤1 23· 3 2 51 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 考点二一元一次不等式与一次函数的关系 考点三一元一次不等式的应用 典例2(2025·平顶山郏县期中)在学习一元 典例3(2025·咸阳永寿段考)为了丰富学生 一次不等式与一次函数时，小明在同一个平面 的课余生活，某校计划购买足球和篮球共75个 直角坐标系中作出了一次函数y=k1x+b1和 供学生活动使用，已知购买1个足球需要80元， y=k.x+b的图象（如图），两直线交于点C,分 购买1个篮球需要70元. 别与x轴交于A,B两点.已知点A(一1,0)， (1)若购买足球的数量不低于篮球数量的 B(2,0),观察图象并回答下列问题： 1.4倍，则最多可以购买多少个篮球？ (1)关于x的方程k1x+b1=0的解是 (2)若购买的总费用不超过5700元，则最少可 ;关于x的不等式kx+b<0的解 以购买多少个篮球？ 集是 (2)若点C的坐标为(1,3)，直接写出关于x的 不等式组0≤k1x十b1<kx十b的解集，并求出 △ABC的面积. y-k.x+b A/ B /0 y-kx+b (典例2图) [变式](2025·南通期末)某校组织学生外出研 学，研学社原价每人收费300元，当研学人数超 过60时，研学社给出两种优惠方案， 方案一：研学团队先交1800元团购费，每人额 [变式]一次函数y1=k.x十b和y2=一4x十a 外收费200元： 的图象如图所示，且A(0,4),C(一2,0). 方案二：6人免费，其余每人收费按原价打八折 (1)由图象可知，不等式kx十b<0的解集是 (1)当参加研学的人数是70时，采用哪种方案 更省钱？ (2)若不等式k.x+b>一4x+a的解集是 (2)当参加研学的人数在什么范围时，采用方案 x>1,求点B的坐标. 一更省钱？ y↑/ykx+b XB y2=-4xta 52 第二章不等式与不等式组 综合素能提升 1.(2025·淄博沂源期末)若关于x的不等式 果得到的数小于或等于85，那么用得到的这 ax十b<0的解集为x>一1，则a,b应满足 个数进行下一次操作， 的条件为 输入x >85 是 输出 Aa<0,且a=bB.a>0,且a=b 否 C.a<0,且a=-bD.a>0,且a=-b (第6题) 2.(2025·南通期末)若关于x的不等式组 (1)如果程序操作进行一次就输出结果了， 2(x-1)-3(x+2)>-6, 那么输入的x的取值范围是多少？ “7列 恰有2个整数解， (2)如果程序操作进行了两次才输出结果， 2 那么输入的x的取值范围是多少？ 则a的取值范围是 A.6≤a<7 B.6<a≤7 C.6≤a≤7 D.6<a<7 3.(2025·武威三模)如图，直线 y=kx十b经过A(2,1) 0 B(一1，一2)两点，则关于x的不 B 第试组-2k红十6<名r的解 (第3题)》 集是 7.某市交通管理局决定购买一批电动 公交车取代燃油公交车.根据调查 4.(2025·禹城期末)关于x的不等式 发现：购买A型电动公交车2辆、 x-1<0, 组x一a0 有下列说法：①如果 B型电动公交车1辆，共需资金112万元：购 买A型电动公交车1辆、B型电动公交车 a=-2,那么不等式组的解集是一2≤x<1; 1辆，共需资金76万元 ②如果不等式组的解集是一3≤x<1,那么 (1)求A,B两种型号的电动公交车的单价. a=一3；③如果不等式组的整数解只有 (2)该市交通管理局计划出资1128万元，准 一2，一1,0，那么a=一2；④如果不等式组无 备购买这两种电动公交车共30辆，其中 解，那么a≥2.其中，正确的是 (填 A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设 序号). 计出最省钱的购买方案， 2x-33x-25 5.要使不等式组3 2 6’只有 个整数解，则在括号里添加的一元一次不等 式可以为下列两个不等式：①2x十1>一1， ②x一1<2中的 (填序号)，此不等 式组的解集是 6.按照如图所示的程序操作，规定：从“输入x” 到结果是否“>85”为一次程序操作.如果结 53