第二章 3 一元一次不等式与一次函数-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 3 一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不 4.数形结合思想(2025·临沂郑城期末)如图，直 等式kx十b≤0的解集为 ( 线l1:y=x一1与直线l2:y=k.x十b交于点 A.x≥2 B.x<2 P(a,2),下列结论错误的是 () C.x≤2 D.x≤-1 A.k<0,b>0 B.关于x的方程x一1=kx十b的解为x=3 yi-mx n C.不等式x十b≤2的解集为x≤3 y=kx+b D.关于x的不等式x一1<kx十b的解集为 0 x<3 yz=-x+a (第1题) (第2题) l1:y=x-1 2.一次函数y1=m.x一n与y2=一x十a的图 象如图所示，则关于x的不等式mx一n> (-1,1) (2,2) 一x十a的解集为 0 L:y=kx+b 3.有甲、乙两个圆柱形蓄水池，将甲池中的水以 (第4题) (第5题) 1 一定的速度注入乙池.甲、乙两池中水的深度 5如图，函数y=x和2三7十号 3的图象相 y(m)与注水时间x(h)之间的关系如图所 交于(-1,1)，(2,2)两点.当y1>y2时，x的 示已知y甲=一言x十2请结合图象解答 2 取值范围是 () A.x<-1 B.x>2 问题： C.-1<x<2 D.x<-1或x>2 (1)直接写出乙池中水的深度y乙(m)与注水 6.若直线y=kx十b(k>0)是由正比例函数 时间x(h)之间的函数表达式. y=kx的图象向左平移1个单位长度得到 (2)当注水时间超过多少时后，乙池中水的 的，则关于x的不等式kx十b>0的解集是 深度才能超过甲池中水的深度？ y/m 7.如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A(3,1), 当k虹十b<3x时，x的取值范围是 0 3 x/h (第3题) A(3,1) 0 (第7题) 8.已知一次函数y1=x十2与y2= 一x+b(b为常数)，当x<1时 y1<y2,则b的取值范围是 40 第二章不等式与不等式组 9.一次函数y1=k.x+b和y2=3x十m的图象 案，使租赁费用更合算。 如图所示，且A(1,0),B(一4,0) y/元 960 (1)观察图象，直接写出关于x的不等式 880 800 kx十b<0的解集. 640 560 (2)若关于x的不等式3.x+m>kx十b的解 480 400 320 集是x>一2，求点C的坐标. 240 160 80 04812162024x/h (第10题) 0 y.=3x+m y=hx+b (第9题) 思维拓展 11.定义运算min{a,b}:当a≥b时 min{a,b}=b;当a<b时，min{a b}=a.例如：min{4,0}=0;min{2, 2}=2;min{-3,一1}=-3.根据该运算的 10.(2025·霸州期末)“谷雨前后，栽瓜点豆”是 定义解决下列问题： 一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了 (1)min{-3,2}= ,当x≤2时， 关键期.琪琪家计划在某一天（一天以24h min(x,2= 计)租用播种机播种花生.现有两家农机公 (2)若min{3x-1,-x+3}=3x-1,求x 司可提供播种机租赁服务，方案如下：甲公 的取值范围， 司收取固定租金80元，另外再按播种机租 (3)如图，直线y1=x十m与y2=k.x一2相 赁时间计费，每小时20元；乙公司无固定租 交于点P(-2,1).若min{x+m,k.x-2}= 金，直接以播种机租赁时间计费，每小时的 kx一2，结合图象，求x的取值范围. 租赁费是40元.根据以上信息，解答下列 2 问题： (1)设租赁时间为xh(0<x≤24)时，租用 甲公司的播种机每日所需费用为y1元，租 用乙公司的播种机每日所需费用为y2元， (第11题) 分别求出y1,y2关于x的函数表达式 (2)当播种机的租赁时间为多少时，两家公 司提供的方案所需租赁费用相同？ (3)在给定的平面直角坐标系中，画出函数 y1y2的图象，请你根据(2)中的计算结果， 再结合函数图象，帮助琪琪家选择租赁方 41 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 第2课时一元一次不等式与一次函数的应 自基础进阶 幻素能攀升 1.在某市召开的出租汽车价格听证会上，物价 4.春节期间，某批发商欲将一批海产品由A地 局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案， 运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均 方案一：起步价调至不超过2千米7元，而后 对外开放海产品的运输业务，两货运公司的 每千米1.6元；方案二：起步价调至不超过 收费项目及收费标准如下表所示： 3千米8元，而后每千米1.8元.若某乘客乘 运输运输费/儿元/ 冷藏费/儿元/过路 卸载及 坐出租车（路程多于3千米）时用方案一比较 工具 (吨·千米) (吨·时)] 费/元管理费/元 合算，则该乘客乘坐出租车的路程可能为 汽车 2 5 200 0 ( 火车 1.8 5 0 1750 A.7千米 B.5千米 已知运输路程为140千米，汽车和火车的速 C.4千米 D.3.5千米 度分别为70千米/时，100千米/时.下列说 2.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出，每 法中，正确的是 份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公 A.当运输货物质量为60吨时，选择汽车合算 司提出，每份材料收费30元，不收设计费.设 B.当运输货物质量大于50吨时，选择汽车 该单位要制作x份宣传材料，甲、乙两公司所 合算 C.当运输货物质量小于50吨时，选择火车 需的费用分别为y甲元、yz元，则y甲三 合算 y= 当x 时， D.当运输货物质量大于50吨时，选择火车 选择乙公司较合算. 合算 3.(2025·晋城阳城期末)某水果批发商以 5.某教育网站资源有下列下载收费方式：①会 4元/千克的价格对外销售苹果，为了减少库 员用户下载每份资源收取0.1元，另外每年 存，尽快回笼资金，推出两种批发方案.方案 收取36元的会员费；②普通用户下载每份资 一：每千克打九五折；方案二：不超过200千 源收取0.5元，不收取其他费用.某用户一年 克的部分按原价销售，超过200千克的部分 内下载80份资源，合算的下载方式为 打七五折.某超市计划从该水果批发商处购 (填序号). 进x(x>200)千克苹果，按方案一购买需支 6.小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到， 付费用y1元，按方案二购买需支付费用 己知两个商店的标价都是1元/本，甲商店的 y2元，则该超市选择哪种方案更合算？ 优惠条件是购买10本以上，从第11本开始 按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是从第 一本开始打折卖出，在甲、乙两个商店的购买 金额y(元)与购买数量x(本)之间的函数关 系如图所示.有下列说法：①乙商店给出的 折扣是八折；②购买10本练习本时，甲商店 更合算；③购买30本练习本时，甲商店更合 算；④在甲商店购买20本练习本需花费 42 第二章不等式与不等式组 17元.其中，正确的是 (填序号). 思维拓展 ↑y/元 乙 8.某商店销售10台A型电脑和20台 21.25------- B型电脑的利润为4000元，销售 20台A型电脑和10台B型电脑的 0 10 25x/本 利润为3500元. (第6题) (1)求每台A型电脑和每台B型电脑的销售 7.*为了丰富学生课后托管服务内容，某校决定 利润. 购买一批足球运动装备.经市场调查发现： (2)该商店计划购进两种型号的电脑共 甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的 100台，其中B型电脑的进货量不超过A型 足球队服和足球，已知每套队服比每个足球 电脑的2倍.设购进A型电脑x台，这 多50元，2套队服与3个足球的费用相等. 100台电脑的销售利润为y元. (1)求每套队服和每个足球的价格 ①求y与x之间的函数表达式 (2)经洽谈，甲商场优惠方案是每购买10套 ②该商店购进A型电脑、B型电脑各多少 队服，送1个足球；乙商场优惠方案是若购买 台，才能使销售利润最大？ 队服超过80套，则购买足球打八折.若该校 (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下 购买100套队服和a个足球（其中a≥10且 调m(50<m<100)元，且限定商店最多购进 为整数)， A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价 ①若该校到甲商场购买，则所花的费用为 不变，请你根据以上信息及(2)中的条件，设 元；若该校到乙商场购买，则所花的 计出使这100台电脑销售利润最大的进货 费用为 元（用含a的代数式表示）. 方案 ②当a为何值时在两家商场购买所花的费 用一样？ ③假如你是本次购买任务的负责人，你认为 到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 43'.14-6a=2,解得a=2. ∴.被墨迹污染的常数为2 第2课时一元一次不等式的应用 1.B解析：设搬桌椅x套，则搬桌子 的有2x人，搬椅子的有乏人.由题 意，得2x+乞<20，解得x≤0 .最多可搬桌椅80套 2.26解析：设购买A类垃圾桶 x个，则购买B类垃圾桶(40一x)个， 由题意，得x2(40一x),解得x [工为正整数，·x的最大取值 为26..最多能购买26个A类垃 圾桶。 3.(1)设B种文创产品每件的进价 为x元 根据题意，可得2(x+3)十3x=26,解 得x=4. 答：B种文创产品每件的进价为4元 (2)设小张购进m件A种文创产品. 由(1)可知，A种文创产品每件的进价 为4+3=7（元）， .7m+4(100一m)550,解得 m50. 答：小张最多可以购进50件A种文 创产品. 4.4解析：目前太阳队的得分为 17×2+13=34+13=47(分)，后面还 要比赛6场：月亮队的得分为15× 2+16=30+16=46(分)，后面还要比 赛5场.∴.月亮队最多胜5场，总得 分为46+2×5=56（分）.设太阳队在 后面的比赛中要胜x场，为确保出 线，根据题意，可得47+2x十(6 x)>56,解得x>3.x为整数， ∴.太阳队在后面的比赛中至少要胜4场. 5.130解析：设小明到A站之间的 距离为xm,则公交车到A站之间的 距离为(600一x)m.根据题意，得 -600-x .2≤5X1.2+30,解得x≤130. ∴·小明到A站之间的距离不能超过 130m. 6.150解析：设小红的累计购物金 额为x元.根据题意，得100+ 0.8(x一100)<50+0.9(x-50),解 得x>150,即当小红的累计购物金额 超过150元时，在甲商场购物花费少， 7.(1)设A,B两种品牌的运动服的 进货单价分别是x元、y元. 20x+30y=10200 根据题意，得 (30x+40y=14400, x=240, 解得 y=180. ∴.A,B两种品牌的运动服的进货单 价分别是240元、180元. (2)设采购A品牌运动服m件，则采 购B品牌运动服（受m+5)件， 根据题意，得240m+180× (侵m+5)≤2130，解得m<40, 号m+5号×40+5- '.最多能采购65件B品牌运动服. 8.(1)设甲种路灯的单价是x元，乙 种路灯的单价是y元. x+2y=220, 根据题意，得 解得 4y-3x=140, x=60, y=80. 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路 灯的单价是80元. (2)设购买m盏甲种路灯，则购买 (40一m)盏乙种路灯 根据题意，得m<子(40-m),解得 m10. 甲种路灯单价低 '·购买甲种路灯越多越省钱 m为整数， ∴.m的最大值为10 '.40-m=40-10=30 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种 路灯时，所需费用最少. 9.(1)设这家食品厂到A地的距离 是x千米，则到B地的距离是 2x千米. 19 根据题意，得x+2x=20+100+30, 解得x=50. .这家食品厂到A地的距离是 50千米. (2)设此次购进了a吨原料，制成了 b吨食品. 50-20=30(千米)，100-(50-20)= 70(千米). 根据题意，得 20×1.5a+30×1.5b=15600, 30a+70b=20600, a=220, 解得 (b=200. ∴.此次购进了220吨原料，制成了 200吨食品. (3)设购进吨原料，则可制成 200 10 220m=7m(吨)食品. 根据题意，得10000×m 10 5000m-20×1.5m-30m-70× 10 ,10 m-30×1.5×7m≥1122940，解 得m≥286. .m的最小值为286. .至少要购进286吨原料 3一元一次不等式 与一次函数 第1课时一元一次不等式 与一次函数 1.C2.x>4 3.(1)yz=x+1. 2 (2)联立/ 3x+2, 解得 y=x+1, 3 8 y=5 观察图象，可知当注水时间超过号h 后，乙池中水的深度才能超过甲池中 水的深度」 4.C5.D 6.x>一1解析：.直线y=kx十b (k>O)是由正比例函数y=kx的图 象向左平移1个单位长度得到的， .直线y=kx十b经过点（一1,0）. ∴.关于x的不等式kx十b>0的解集 是x>-1. 7.x>3解析：作出经过原点和点 A(3,1)的直线，可求得对应的函数表 达式为y=子.观察图象，可知当 x>3时，函数y=kx十b的图象都在 函数y=子x的图象下方.小当虹十 6<了x时x的取值范围是x>3. 8.b≥4 解析：解方程组 b-2 y=x+2, x 2 得 .两函数 y=-x+6, b+2 y= 2 图象的交点坐标为(，告号) :当r<1时<2≥1 .b≥4 9.(1)x>1. (2)将B(-4,0)代人y2=3x十m,得 0=-12+m,解得m=12. .y2=3x+12. ,关于x的不等式3.x+m>kx+b 的解集是x>一2， ∴点C的横坐标是一2. 当x=-2时，y2=3×(-2)+ 12=6, .点C的坐标为（一2,6）. 10.(1)根据题意，得y1=80+20x, y2=40x. (2),·两家公司提供的方案所需租 赁费用相同， .80+20x=40x,解得x=4. ∴.当播种机的租赁时间为4h时，两 家公司提供的方案所需租赁费用 相同 (3)画出图象如图所示. 当0<x<4时，选择乙公司更合算： 当x=4时，选择两家公司的租赁费 用相同： 当4<x≤24时，选择甲公司更合算. y/元 y2=40x 960 880--+--- 800 720 640 560 1y,80+20x 480 400- 320 240 160 80 04812162024x/h (第10题) 11.(1)-3:x. (2).min{3.x-1,-x+3}= 3x-1, .3x-1≤一x十3，解得x1. (3).min(x+m,kx-2)=kx-2, ∴.kx-2≤x十m,即y1≥y2. :直线y1与y2交于点P,且在点P 的右侧，直线y在直线y2的上方， .x≥-2. 第2课时一元一次不等式 与一次函数的应用 1.A2.20x+300030x300 3.由题意，得y,=4×5 0x=3.8x. y2=4×200+4×7.5(x-200)= 10 3x+200. 令3.8x<3.x+200,解得x<250. 令3.8x=3.x+200,解得x=250. 令3.8.x>3.x+200,解得x>250. 综上所述，当200<x<250时，选择 方案一更合算； 当x=250时，选择两个方案的支付 费用一样： 当x>250时，选择方案二更合算. 4.D解析：设运输货物质量为 x吨，则选择汽车所需费用为 (2×140+5× 70)x+200=(290x+ 140 200)元，选择火车所需费用为 20 (红.8x140+5×周)x+1750 (259x+1750)元.当290x+200< 259x+1750时，x<50,'.当运输货 物质量小于50吨时，选择汽车合算. 当290x+200>259.x+1750时，x> 50,∴.当运输货物质量大于50吨时， 选择火车合算 5.② 6.③④解析：由题图，得在乙商店 购买25本练习本需21.25元， ∴.21.25÷25=0.85.∴.乙商店给出 的折扣是八五折.故①不正确.到甲商 店购买10本练习本所需费用为1× 10=10(元)，到乙商店购买10本练习 本所需费用为0.85×1×10= 8.5(元).10>8.5，∴.乙商店更合 算.故②不正确.购买30本练习本时， 甲商店所需费用为10×1+(30 10)×1×0.7=24(元)，乙商店所需费 用为30×1×0.85=25.5（元）， 25.5>24,∴.甲商店更合算.故③ 正确.在甲商店购买20本练习本需花 费10×1+10×0.7=17（元），故④ 正确。 7.(1)设每个足球的价格是x元，则 每套队服的价格是(x十50)元. 依题意，得2(x+50)=3x,解得 x=100. .x+50=150. 答：每套队服的价格是150元，每个足 球的价格是100元. (2)①(100a+14000):(80a+ 15000). ②依题意，得100a+14000=80a+ 15000,解得a=50. ③令100a+1400080a+15000,解 得a<50: 令100a+14000>80a+15000,解得 a>50. ∴.当10≤a<50时，到甲商场购买更 合算；当a=50时，到两家商场购买一 样合算；当a>50时，到乙商场购买比 较合算. 一方法归纳 一次函数、方程、不等式的 综合应用策略 若两个一次函数y]=k1x十 b1y2=k2x十b2的函数值之间存 在相等或不等关系，则可以分别根 据y1>y2y1=y2y1<y2列出方 程或不等式k1x十b1>k2x十b2, kix+b=k2x+b2,k+b k2x十b2,解方程或不等式便可求 得满足条件的自变量的取值或取 值范围，由此可解决实际生活中的 某些决策型问题.也可以借两函 数图象，求得满足条件的自变量的 取值或取值范围」 8.(1)设每台A型电脑的销售利润 为a元，每台B型电脑的销售利润为 b元. 10a+20b=4000, 由题意，得 解得 20a+10b=3500, a=100, b=150. ∴.每台A型电脑的销售利润为 100元，每台B型电脑的销售利润为 150元. (2)①由题意，得购进B型电脑 (100一x)台，则y=100x+150· (100-x)=-50x+15000. ②由题意，得100-x≤2x,解得x≥ 1 33g -50<0, ,.y随x的增大而减小 ,x为正整数， ∴.当x=34时，y取得最大值，此时 100-x=66. ∴.该商店购进A型电脑34台，B型 电脑66台，才能使销售利润最大. (3)由题意，得y=(100+m)x+150· (100-x)=(m-50)x+15000. .·50<m100, ∴.m-50>0. '.y随x的增大而增大 :33≤x≤70， ∴.当x=70时，y取得最大值，此时 100一x=30. ∴.使这100台电脑销售利润最大的 进货方案为购进A型电脑70台，B型 电脑30台， 4一元一次不等式组 1.D2.D 3.③ 解析：解不等式2x一1>0，得 x>2:解不等式2x-4<0,得x<2, 1 ·2<x<2.”x是整数心x=1. .x落在③段 +.1)解不等式10，工≤2x十1，得 3 x≥1. 解不等式x一2<0，得x<2, ∴.不等式组的解集是1≤x<2,表示 在数轴上如图①所示 0 (第4题①) 2)解不等式-号>日得 2 x>2. 解不等式x十8<4x一1，得x>3. ∴.不等式组的解集为x>3,表示在 数轴上如图②所示. -1012345 (第4题②) 5.B解析：，点P(a-1,1十a)向 左平移1个单位长度后的点的坐标为 (a-2,1十a),此时位于第三象限， a-2<0: 解得a<-1. 1+a<0, 6.B解析：解不等式6x十2>3x+ 5,得x>1.解不等式x一a0,得 x≤a.,不等式组有解，∴.不等式组 的解集为1<xa.不等式组有且 仅有2个整数解，∴.这两个整数解为 2,3..3a4. 7.7解析：由x-m<0,得x<m, 由4-x<0,得x>4.不等式组无 21 解，∴.m≤4.由2(x-1)<10,得x< 6,由1一x<1-,得x>n.此不 等式组所有整数解之和为12，∴.此不 等式组的整数解为5,4,3或5,4,3， 2,1,0,-1,-2.∴.2≤1<3或-3≤ n<一2.'.m一n的最大值是4 (-3)=7. 8.无解析：由x一a>0,得x>a: 由x一b<1,得x<b十1.，整数解只 有-2和-1，∴.a<x<b+1. ∴.-3≤a<-2,-1<b+1≤0，即 一2<b≤一1.'.a与b的取值范围无 公共部分. 9.根据题意，可列不等式组 12(.x-2)≥-7①， x-x+1-1②， 32 解不等式0，得≥子 解不等式②，得x<3. “不等式组的解集为一<<3 .不等式组的整数解为一1,0,1,2， 即当整数x的值为一1,0,1,2时，不 x->-1 等式2(x-2)≥-7与3-2 都成立. 一方法归纳 确定不等式组的解集的常用方法 在求得不等式组中每个不等 式的解集后，确定不等式组的解集 的常用方法有两种：①运用数形结 合的方法，即把各不等式的解集在 数轴上表示出来，重叠部分即为该 不等式组的解集：②利用口诀，即 当不等式组中的不等式只有两个 时，其方法如下：同大取大，同小取 小，大小小大中间找，大大小小找 不着. 10.(1)依题意，得20十2b=50,解得 b=15. (2)18a26,a=50-2b, f50-2b≥18， 解得12≤b≤16. {50-2b26, 11.(1)设A种奖品的单价为x元， B种奖品的单价为y元.