第二章 2 一元一次不等式-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

10.300-5.x100x≥4040 11.(1)根据题意，得x一1<2. 根据不等式的基本性质1，两边都加 1,得x-1+12+1,即x<3. (2)根据题意，得一2m一1≤一7. 根据不等式的基本性质1，两边都加 1,得-2m一1+1≤-7+1，即 -2m-6. 根据不等式的基本性质3，两边都 乘-2，得-2m×(-2)≥-6× (-2),即m≥3. 12.根据题意，得10b十a<10a十b. 在不等式两边都减a+b,得9b<9a: 两边同时除以9，得b<a,即a>b. 13.(1)>. (2)在不等式a>1两边都加a,得 a+a>a+1,即2a>a+l. 两边都除以2得。>→生 14.在不等式一3x>3.x两边都加 3x,得0>6x. 两边都除以6，得x<0. 在不等式一3x>3x的两边同除以x 时，相当于同除以负数，因此应改变不 等号的方向，即同除以x后应为 -3<3 15.(1).4+3a2-2b+b2-(3a2 2b+1)=b2+3>0, ∴.4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1. (2)根据不等式的基本性质1，两边都 减3a+b,得-a+b-1>0 根据不等式的基本性质1，两边都加 1,得b-a>1>0. .a<b. 2 一元一次不等式 第1课时一元一次不等式 及其解法 1.B2.A3.3x<-14.7 5.(1)去括号，得3x一34x一2-3. 移项，得3x一4x<一2一3十3. 合并同类项，得一x<一2. 两边都除以一1，得x>2. 解集在数轴上表示如图①所示 -101234 (第5题①) (2)去分母，得12≥4x一(2x一3) 去括号，得12≥4x-2x+3. 移项，得12-3≥4x-2x. 合并同类项，得2x≤9. 两边都除以2，得<号。 解集在数轴上表示如图②所示 -10123495 2 (第5题②) (3)去分母，得8-(7x-1)>2(3x一2). 去括号，得8-7x十1>6x-4. 移项，得-7x-6x>-4一8-1. 合并同类项，得一13.x>一13. 两边都除以一13，得x<1. 解集在数轴上表示如图③所示。 -4-3-2-101234 (第5题③) 方法归纳 解一元一次不等式的注意事项 解一元一次不等式与解一元 一次方程的步骤一样，共五步，其 中去分母时，若分母是负数，则应 先根据分数的基本性质化去分母 中的负号.注意：系数化为1时，若 系数是负数，则不等号的方向一定 要改变 6.A 7.B解析：设不等式3x一1≥一x ●中的数●为m,则不等式3.x 1≥一x一●为3.x一1≥一x一m,解 得≥”。由数轴得不等式的解集 为≥-1，得 =-1,解得m 5.∴.被墨水污染的部分是5. 8.A解析：解不等式，得x>一2，故 满足不等式的负整数解为x=一1.将 x=一1代人方程，得-1-，1=1， 2 解得a=一3. 6 9.x≤7 18 10.<- 5 ·解析：原方程可化为 -3x=30+42a,解得x=-10 14.由题意，得-10-14a>0,解得 5 a<-7 11.2 x-y=3①， 12. {2x+y=6m②， ①+②，得3.x=3+6m,解得x= 1+2m. 把x=1+2m代人①，得y=2m一2. x-y=3, 关于x,y的方程组 (2x+y=6m 的解满足不等式x一3y>0, ∴.1+2m-3(2m-2)>0,解得 .7 m<4 13.(1)根据题意，得3⊕4= 1 3 3-4_1上1_2 33331 ②根提题意得}一子 去分母，得1-(2-x)<2. 去括号，得1一2十x2. 移项、合并同类项，得x<3, ∴.x的非负整数解为0,1,2. 14.(1)当m=1时，不等式为 >-1 去分母，得2一x>x一2，解得x<2. (2)去分母，得2m一mx>x-2. 移项、合并同类项，得(m+1)x< 2(m+1). 当m≠一1时，不等式有解. 当m>一1时，不等式的解集为 x<2; 当m<-1时，不等式的解集为 x>2. 15.设被墨迹污染的常数为a,则 。2 2 去分母，得2x-1≥3(x-5)+6a. 去括号，得2x-1≥3.x-15十6a. 移项、合并同类项，得x≤14一6a. 不等式的解集是x≤2， '.14-6a=2,解得a=2. ∴.被墨迹污染的常数为2 第2课时一元一次不等式的应用 1.B解析：设搬桌椅x套，则搬桌子 的有2x人，搬椅子的有乏人.由题 意，得2x+乞<20，解得x≤0 .最多可搬桌椅80套 2.26解析：设购买A类垃圾桶 x个，则购买B类垃圾桶(40一x)个， 由题意，得x2(40一x),解得x [工为正整数，·x的最大取值 为26..最多能购买26个A类垃 圾桶。 3.(1)设B种文创产品每件的进价 为x元 根据题意，可得2(x+3)十3x=26,解 得x=4. 答：B种文创产品每件的进价为4元 (2)设小张购进m件A种文创产品. 由(1)可知，A种文创产品每件的进价 为4+3=7（元）， .7m+4(100一m)550,解得 m50. 答：小张最多可以购进50件A种文 创产品. 4.4解析：目前太阳队的得分为 17×2+13=34+13=47(分)，后面还 要比赛6场：月亮队的得分为15× 2+16=30+16=46(分)，后面还要比 赛5场.∴.月亮队最多胜5场，总得 分为46+2×5=56（分）.设太阳队在 后面的比赛中要胜x场，为确保出 线，根据题意，可得47+2x十(6 x)>56,解得x>3.x为整数， ∴.太阳队在后面的比赛中至少要胜4场. 5.130解析：设小明到A站之间的 距离为xm,则公交车到A站之间的 距离为(600一x)m.根据题意，得 -600-x .2≤5X1.2+30,解得x≤130. ∴·小明到A站之间的距离不能超过 130m. 6.150解析：设小红的累计购物金 额为x元.根据题意，得100+ 0.8(x一100)<50+0.9(x-50),解 得x>150,即当小红的累计购物金额 超过150元时，在甲商场购物花费少， 7.(1)设A,B两种品牌的运动服的 进货单价分别是x元、y元. 20x+30y=10200 根据题意，得 (30x+40y=14400, x=240, 解得 y=180. ∴.A,B两种品牌的运动服的进货单 价分别是240元、180元. (2)设采购A品牌运动服m件，则采 购B品牌运动服（受m+5)件， 根据题意，得240m+180× (侵m+5)≤2130，解得m<40, 号m+5号×40+5- '.最多能采购65件B品牌运动服. 8.(1)设甲种路灯的单价是x元，乙 种路灯的单价是y元. x+2y=220, 根据题意，得 解得 4y-3x=140, x=60, y=80. 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路 灯的单价是80元. (2)设购买m盏甲种路灯，则购买 (40一m)盏乙种路灯 根据题意，得m<子(40-m),解得 m10. 甲种路灯单价低 '·购买甲种路灯越多越省钱 m为整数， ∴.m的最大值为10 '.40-m=40-10=30 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种 路灯时，所需费用最少. 9.(1)设这家食品厂到A地的距离 是x千米，则到B地的距离是 2x千米. 19 根据题意，得x+2x=20+100+30, 解得x=50. .这家食品厂到A地的距离是 50千米. (2)设此次购进了a吨原料，制成了 b吨食品. 50-20=30(千米)，100-(50-20)= 70(千米). 根据题意，得 20×1.5a+30×1.5b=15600, 30a+70b=20600, a=220, 解得 (b=200. ∴.此次购进了220吨原料，制成了 200吨食品. (3)设购进吨原料，则可制成 200 10 220m=7m(吨)食品. 根据题意，得10000×m 10 5000m-20×1.5m-30m-70× 10 ,10 m-30×1.5×7m≥1122940，解 得m≥286. .m的最小值为286. .至少要购进286吨原料 3一元一次不等式 与一次函数 第1课时一元一次不等式 与一次函数 1.C2.x>4 3.(1)yz=x+1. 2 (2)联立/ 3x+2, 解得 y=x+1, 3 8 y=5 观察图象，可知当注水时间超过号h 后，乙池中水的深度才能超过甲池中 水的深度」 4.C5.D 6.x>一1解析：.直线y=kx十b拔尖特训·数学（北师版）八年级下 2 一元 第1课时一元 自基础进阶 1.有下列各式：①2x+32<-4:②5-3 >0: ③y-1>x-3;④2(x+3)<7.其中，是一 元一次不等式的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 2解一元一次不等式2。-1≤号时，去分母 正确的是 A.2(2x-1)-105x B.2(2x-1)-1≤5.x C.2x-1-10≤5x D.2x-1-15x 3.已知(k十3)x-2+5<k一4是关于x的一 元一次不等式，则k的值是 ,此不等 式的解集为 4若要使4红-的值不小于3x+5,则满足条 件的最小整数x是 5.*解下列不等式，并把它们的解集分别表示在 数轴上 (1)3x-1)<4x-)-3. 2含号2。 8 36 次不等式 次不等式及其解法 (3)1-7x-1、3x-2 8 4 幻素能攀升 6不等式号2之 的解集在数轴上表示 4 正确的为 -101234 -101234 A. B. -101234 -101234 C. D. 7. 数形结合思想小康在整理课桌时，不小心将墨 水打翻，正好将不等式3x一1≥一x一●中 的数●污染了，已知该不等式的解集表示在 数轴上如图所示，则被墨水污染的部分是 -2 -1 0 (第7题) A.3 B.5 C.(-3)D.(-5) 8已知不等式 3 -1的负整数解是 关于x的方程21_Q=1的解，则a 3 2 的值为 ( A-3B.-2C.2 D.3 9.若代数式3(2一x)一5的值不小于代数式 2的值，则x的取值范围是 10.(2025·桂平期中)当a 时，关于x 的方程x-多(x+2a)=30的解为 5 正数. 1.已知关于x的方程，2+m=2,该方程的 3 解是不等式2z一1<1+3x的最大整数解， 2 则m= x-y=3, 12.已知关于x,y的方程组 的解 2x+y=6m 满足不等式x一3y>0,求满足条件的m的 取值范围。 13.新考法·新定义题定义新运算：对于任意实 数a6a≠0).都有af6-d-“。,等式 右边是常规的四则运算，例如：2中1一2 2一1=0. 2 (1)求3⊕4的值. (2)若2⊕x的值为P,P的取值范围如图 所示，求x的非负整数解， -10 (第13题) 第二章不等式与不等式组 14已知关于x的不等式2，>一女-1 (1)当m=1时，求该不等式的解集， (2)当m取何值时，该不等式有解？请求出 解集. 思维拓展 15.小华说：“老师，我这道题‘解不 式：2。≥“2+●’后面的 2 分不小心被墨迹污染了.” 老师说：“小华，这道题的答案是x≤2，且被 墨迹污染的是一个常数，你能把这个常数补 上吗？” 小华：“我知道了，谢谢老师.” 请帮小华求出被墨迹污染的常数. 37 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第2课时一元 自基础进阶 1.某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组 织七年级200名学生搬桌椅.若一人一次搬 两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬 次，则最多可搬桌椅的套数（一桌一椅为一 套)为 () A.81B.80C.79 D.75 2.新情境·环保意识在“垃圾分类，你我有责”活 动中，某校准备购买A,B两类垃圾桶共 40个，要求购买的A类垃圾桶的个数不多于 B类垃圾桶个数的2倍，则最多能购买 个A类垃圾桶. 3.(2025·辽宁)小张计划购进A,B两种文创 产品，在“文化夜市”上进行销售.已知A种 文创产品比B种文创产品每件的进价多 3元，购进2件A种文创产品和3件B种文 创产品共需花费26元. (1)求B种文创产品每件的进价. (2)小张决定购进A,B两种文创产品共 100件，且总费用不超过550元，那么小张最 多可以购进多少件A种文创产品？ 38 次不等式的应用 幻素能攀升 4.(2025·遂宁大英期末)篮球比赛的积分规则 是胜1场得2分，负1场得1分.2025年某篮 球联赛中，太阳队与月亮队要争夺出线权，太 阳队当时的战绩是17胜13负，后面还有 6场比赛；月亮队当时的战绩是15胜16负， 后面还有5场比赛.为了确保出线，太阳队在 后面的比赛中至少要胜 () A.3场B.4场C.5场D.6场 5.如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交 车的距离为600m.已知小明的速度为 1.2m/s,公交车的速度是小明的速度的 5倍，公交车到站后停靠30s.若要保证小明 不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的 距离不能超过 m. 600m (第5题) 6.甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商 品.在甲商场累计购物超过100元后，超过 100元的部分按八折收费；在乙商场累计购 物超过50元后，超过50元的部分按九折收 费.已知小红累计购物超过100元.当小红的 累计购物金额超过 元时，在甲商场 购物花费少！ 7.某商场的运动服装专柜对A,B两种品牌的 运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继 续采购进行销售.已知这两种服装过去两次 的进货情况如下表所示： 第一次 第二次 A品牌运动服/件 20 30 B品牌运动服/件 30 40 累计采购款/元 10200 14400 (1)A,B两种品牌的运动服的进货单价分别 是多少元？ (2)由于B品牌运动服的销量明显好于A品 牌，商家决定采购B品牌的数量比A品牌数 量的号倍多5件，在采购总价不超过21300元 的情况下，最多能采购多少件B品牌运动服？ 8.(2025·烟台)2025年6月5日是第 54个“世界环境日”，为打造绿色低 碳社区，某社区决定购买甲、乙两种 太阳能路灯安装在社区公共区域，以升级改 造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和 2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯 比4盏乙种路灯的费用少140元. (1)求甲、乙两种路灯的单价， (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共 40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数 量的3，请通过计算设计一种购买方案，使所 需费用最少. 第二章不等式与不等式组 思维拓展 9.如图，A,B两地由公路和铁路相连 在这条路上有一家食品厂，它到 B地的距离是到A地的2倍，这家食 品厂从A地购进原料，制成食品卖到B地. 已知公路部分的运价为1.5元/（千米·吨）， 铁路部分的运价为1元/（千米·吨），这两次 运输（第一次：A地→食品厂；第二次：食品 厂→B地)共支付公路部分的运费为15600元， 铁路部分的运费为20600元. (1)这家食品厂到A地的距离是多少千米？ (2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨 食品？ (3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工 成食品后全部卖出.已知购进的原料每吨 5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原 料产出食品的效率不变.如果希望获得利润 不少于1122940元，那么至少要购进多少吨 原料（注：利润=销售款一原料费一运输费）？ 食品厂 AB 公路20千米铁路100千米 公路30千米 (第9题) 39