第二章 1 不等式及其基本性质-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第二章不等式与不等式组 1不等式及 第1课时 自基础进阶 1.若x一3y☐2是不等式，则“☐”内填的符号 不能是 ( A.+B.>C.< D.≤ 2.小明每个月攒25元零花钱，他已经攒了 50元.若继续攒x个月，则能购买一套价值 480元的四大古典名著珍藏版.下列符合题 意的不等式为 () A.25.x+50≥480B.25.x-50≥480 C.25.x+50≤480D.25.x-50≤480 3.新情境·现实生活如图所示为校园内限速标 志，若用vkm表示速度，请用含字母v的不 等式表示这个标志的实际意义： 5km 人限速 校内行车 注意安全 (第3题) 4.新考法·开放题请设计一个实际背景来表示 不等式30x<100的实际意义： 5.根据数量关系列不等式. (1)x的6倍小于3. (2)x的一半与8的差是负数 (3)y的3倍与6的和不大于10. (4)a与b的和的平方是一个非负数. 32 其基本性质 不等式 幻素能攀升 6.新考法·新定义题在数学发展史中 符号占有很重要的地位，它不但书 写简单，而且表达的意义很明确.在 不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很 多，例如：大表示不小于；≯表示不大于；>表 示远大于；《表示远小于；….下列选项中，表 达错误的是 () A.2≮2 B.-1≯0 C.100>1 D.-2<-99 7.端午节期间，某班级同学参加“美好食光”活 动，需包粽子若干只，若 ；若每人包 6只粽子，则未包完.依题意，设有x名同学， 可列不等式5(x十7)>6x,则对应所列不等 式，横线上的内容是 8.*用甲、乙两种货车运输某种材料，已知这两 种货车的单次运输能力和价格如下表所示： 货车 甲 乙 单次运输能力/吨 3 单次运输价格/元 300 180 (1)现需要一次性运送该种材料30吨，要求 甲、乙两种货车至少12辆，试写出所需甲种 货车辆数x应满足的不等式 (2)在(1)的条件下，如果使用甲、乙两种货 车的运输总费用不超过2820元，请写出x 应满足的另外一个不等式. 第2课时不 自基础进阶 1.如图，将不等式x■3的解集在数轴上表示 出来，则■盖住的符号是 () -101234 (第1题) A.≥ B.≤ C.>D.< 2.已知某个不等式的解集是x<一2，下列说法 正确的是 () A.0是这个不等式的解 B.一3不是这个不等式的解 C.小于一3的数都是这个不等式的解 D.小于一1的数都是这个不等式的解 3.(2025·莱州期末)在一2，一1,0,1,2这五个 数中，是不等式2x+3>0的解的共有 个 4.数形结合思想不等式x≥a一1的解集在数轴 上表示如图所示，则a= ,该不等式 的最小整数解是 82寸012 (第4题) 5.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： (1)x>3. (2)x<-1. (3)x≥-2. (4)x≤1. 第二章不等式与不等式组 等式的解集 ●“答案与解析”见P17 《幻素能攀升 6.有下列说法：①x=4是x一3>1的解；②不 等式x一2<0的解有无数个；③x>5是不 等式x十2>3的解集；④x=3是不等式x十 2>1的解：⑤不等式x+2<5有无数个正整 数解.其中，正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知x一2=2一x,则x的取值范围在数轴 上表示正确的是 -10123 -10123 A. B. -10123 -10123 C. D. 8.已知满足x≥5的x的最小值为a,满足 y<一7的y的最大整数为b,则ab= 9.已知关于x的方程(m+2)x=2的 解为x=2. (1)求m的值. (2)在一2，一1,0,1,2,3这6个数中，判断哪 些数是不等式(m+4)x>一3的解，并把不 等式的解集在数轴上表示出来 33 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第3课时不 自基础进阶 1.有下列四个不等式：①2a>a十b;②3一a< 3-b:③ac2>bc2;④4<1.其中，一定能推 出a>b的有 () A.1个B.2个C.3个D.4个 2.(2025·海口期末)下列不等式的解法中，错 误的是 A.由x十3>0，得x>-3 B由3>0，得x>0 C.由2x>-6,得x<-3 D由-号>1，得< 3.新考法·开放题当x>y时，a.x<ay,则a的 值可能是 (写出一个即可) 4.用“>”或“<”填空： (1)若a<b,则a+b 2b. (2)设m>,则1-1 1 3. (3)若2x-5<2y-5,则-x -y. 5.根据不等式的基本性质解下列不等式，并把 解集在数轴上表示出来。 (1)x+7>9. (2)6.x<5x-3. (4)-3x+2<2x+3. 34 等式的基本性质 幻素能攀升 6.数形结合思想实数a,b,c在数轴上对应点的位 置如图所示，则下列式子中，正确的是( a b 0 (第6题) A.a-c>b-c B.a+c<b+c C.ac-bc D.88 7.设图形“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物 体，现用天平称了两次，情况如图所示，则“●” “■”“▲”代表的三种物体的质量按从大到小 的顺序排列应为 ( ■△U 品山 W (第7题) A.●■△B.△■0C.■●△D.■△● 8.某商店分别购进价格为每千克α元 的甲种糖果30千克，价格为每千克 b元的乙种糖果20千克，商店以每 千克“士元的价格全部卖完后，发现没有赚 钱，其原因是 A.a<bB.a>bC.a≤bD.a≥b 9.不等式(m一2025)x>m一2025的解集如图 所示，则m的取值范围是 -1012→ (第9题) 10.已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企 业为响应国家号召，提出一个减排计划：从 今年开始，每年的碳排放量均比上年减 少x吨，使得五年后（即第六年）的碳排放 量不超过100吨，则x应满足的不等式为 ,这个不等式的解集为 ,x的最小值为 11.用不等式表示下列关系，再利用不等式的基 本性质解不等式 (1)x与1的差比2小 (2)一m的2倍与一1的和不大于一7. 12.有一个两位数，个位上的数字为a,十位上 的数字为b.如果把这个两位数的个位与十 位上的数字对调，得到的两位数大于原来的 两位数，那么a与b哪个大？ 13.比较大小： (1)当a>1时，a a+1 2 (填“>” “<”或“=”). (2)说明第(1)问的正确性. 第二章不等式与不等式组 14.小杰在做题时发现了如下矛盾：他在解不等 式一3x>3x时，将不等式的两边同时除以 x,得一3>3.这显然是不对的，你能解释这 是为什么吗？ 思维拓展 15.根据等式和不等式的基本性质，我 们可以得到比较两数大小的方法 若a-b>0,则a>b;若a-b=0 则a=b;若a一b<0,则a<b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法”.请运用 这种方法解决下列问题： (1)比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1 的大小 (2)若2a+2b-1>3a+b,试比较a,b的 大小 35∠FDA.:∠BAF=∠BAD+ ∠FAD,∠ACF=∠FDA+∠CAD, ∠BAD=∠CAD,·∴.∠BAF= ∠ACF.故③正确.综上所述，正确的 是①②③. 3.4解析：过点C作CE⊥AD,垂足 为E..∠CEB=90°.∠B=60°， ∴.∠BCE=90°-∠B=30°.BC= 18BE=7BC=9.BD=7, ∴.DE=BE-BD=2.CA=CD, CE⊥AD,.AD=2DE=4. 4.名解析：连接PC.由作图，可得 MN垂直平分AC..AP=PC. AB=AC=5,BC=6,AD平分 ∠BAC,.BD=CD=3,AD⊥BC. 在Rt△ABD中，AD= √AB2-BD2=√52-32=4.设 DP=x,则AP=PC=4-x.在 Rt△PDC中，DP2+CD2=PC2,即 x2+32=(4-x),解得x=8 7 1DP的长为名 5.合格解析：，多边形ABCDEF 是六边形，.其内角和为180°×(6 2)=720°.：∠C=∠D=130°， ∠B=∠E,∠A=∠F=90°， .2∠B=720°-130°-130°-90° 90°=280°..∠B=140°..这个水 桶提手合格. 6.(1).AB=AC, .∠ABC=∠ACB. :∠BDC是△ADC的一个外角， .∠BDC=∠A+∠ACD. :∠ACB=∠BCD+∠ACD, ∠BCD=∠A, .∠BDC=∠ACB. ∴.∠ABC=∠BDC. .CD=CB. (2)①BE⊥AC, '.∠BEC=90°. ∴.∠CBE+∠ACB=90°. 设∠CBE=a,则∠ACB=90°-a. ∴.∠ACB=∠ABC=∠BDC= 90°-a .∠BCD=180°-∠BDC ∠ABC=180°-(90°-a)-(90°- a)=2a. .∠BCD=2∠CBE ②∠BFD是△CBF的一个外角 ∴.∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+ 2a=3a. 分三种情况讨论： 当BD=BF时，∠BDC= ∠BFD=3a. '∠ACB=∠ABC=∠BDC= 90°-a, .'.90°-a=3a. .'.a=22.5. ∴.∠A=∠BCD=2a=45°. 当DB=DF时，∠DBE= ∠BFD=3a. ,∠DBE=∠ABC-∠CBE=90° a-a=90°-2a, .90°-2a=3a. .a=18. ∴.∠A=∠BCD=2a=36°. 当FB=FD时，∠DBE=∠BDF. :∠BDF=∠ABC>∠DBF, ∴.此种情况不存在。 综上所述，∠A的度数为45或36 7.(1)DE⊥DP. 理由：PD=PA, ∴.∠A=∠PDA. EF是BD的垂直平分线， .EB=ED. ∴.∠B=∠EDB. ∠C=90, .∠A+∠B=90°. .∴.∠PDA+∠EDB=90°. ∴.∠PDE=180°-90°=90°. ∴.DE⊥DP (2)如图，连接PE, 设DE=x,则EB=ED=x,CE= 8-x. AC=6,PA=2, ∴PC=4,PD=2. 16 .∠C=∠PDE=90° .PC2+CE2=PE2=PD2+DE2. .42+（8-x)2=22十x2,解得 x=4.75. .DE=4.75. D B (第7题) 8.(1):∠ABC=∠ACB, ..AB=AC. .'OB=OC. ∴.点A,O在BC的垂直平分线上 .AE垂直平分BC. (2).∠OED=∠ODE ∴.OD=OE. 又BD⊥AC,AE⊥BC,即OD⊥ AC,OE⊥BC, '.CO平分∠ACB. (3)由(1)，知AB=AC ∠BAC=60°， ∴.△ABC是等边三角形. ∴.AB=BC=AC,∠ACB=60° 由(1)，知AE垂直平分BC, BC-BC. .BD⊥AC, &cD=子AC .EC=CD. ∠DCE=60, '.△CDE是等边三角形 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等式 1.A2.A3.≤54.答案不唯 一，如欣欣与好朋友共x人，一同去 观看电影，该电影的票价为30元/人， 携带100元购票后仍有剩余 5.(1)6x<3. (2)2x-8<0. (3)3y+610. (4)(a+b)2≥0. 6.D解析：2≮2表示2不小于2，故 选项A正确：一10表示一1不大于 0,故选项B正确：100>1表示100远 大于1，故选项C正确：一2《一99表 示一2远小于一99，故选项D错误. 7.每人包5只粽子，则还需要7名 同学 8.(1),所需甲种货车x辆， 1所需乙种货车3022严辆 由题意，得30,3x+x≥12 2 (2)由题意，得300z+30,3× 2 180≤2820. 一方法归纳 根据实际问题列不等式的方法 读懂题意，抓住关键词语，弄 清不等关系和运算的先后顺序，把 文字语言的不等关系转化为用数 学符号表示的不等式. 第2课时不等式的解集 1.A2.C3.44.0-1 5.(1)x>3可以用数轴上表示3的 点的右边部分来表示，在数轴上表示 3的点的位置上画空心圆圈，表示3 不在这个解集内，如图①所示. 01234 (第5题①) (2)x<一1可以用数轴上表示一1的 点的左边部分来表示，在数轴上表 示一1的点的位置上画空心圆圈，表 示一1不在这个解集内，如图②所示. 0 (第5题②) (3)x≥一2可以用数轴上表示一2的 点及其右边部分来表示，在数轴上表 示一2的点的位置上画实心圆点，表 示一2在这个解集内，如图③所示. -3-2-101 (第5题③) (4)x1可以用数轴上表示1的点 及其左边部分来表示，在数轴上表示 1的点的位置上画实心圆点，表示1 在这个解集内，如图④所示 -101 (第5题④) 6.B解析：4一3=1，.x=4不 是x一3>1的解.故①错误.，x一 2<0,.x<2,则不等式x一2<0的 解有无数个.故②正确.，x十2>3， ∴x>1.∴x>5不是不等式x十 2>3的解集.故③错误.，3+2>1， ∴.x=3是不等式x+2>1的解.故 ④正确.·x十2<5，'.x<3,正整数 解为1,2.故⑤错误.综上所述，正确 的有2个. 7.D解析：x一2=2一x, .x-20..x2 8.一40解析：满足x≥5的x的 最小值为5，满足y<-7的y的最大 整数为-8，∴.a=5,b=-8..ab= 5×(-8)=-40. 9.(1)把x=2代入(m十2)x=2,得 2(m+2)=2,解得m=一1. (2)把m=一1代人不等式(m+ 4)x>-3,得3.x>-3. .x>-1. '.所给的6个数中是该不等式的解 的有0,1,2,3. 在数轴上表示不等式的解集如图 所示 -4-3-2-101234 (第9题) 第3课时不等式的基本性质 1.C2.C3.答案不唯一，如-2 4.(1)<(2)<(3) 5.(1)根据不等式的基本性质1，两 边都减7，得x+7一7>9一7，即 x>2. 解集在数轴上表示如图①所示 -10123 (第5题①) (2)根据不等式的基本性质1，两边都 减5.x,得6.x-5x<5.x-3-5x,即 x<-3. 17 解集在数轴上表示如图②所示， -43-2-1012→ (第5题②) (3)根据不等式的基本性质2，两边都 乘5，得x<2. 解集在数轴上表示如图③所示， -10123 (第5题③) (4)根据不等式的基本性质1，两边都 减2+2x,得一3.x+2一(2+2x)< 2x+3一(2+2x),即-5.x<1. 再根据不等式的基本性质3，两边都 除以-5，得>子 解集在数轴上表示如图④所示. -1-10 1 (第5题④) 6.B解析：由题图，知a<b<0<c. 将a<b两边都减c,得a一c<b一c, 故选项A错误：将a<b两边都加c, 得a十c<b十c,故选项B正确：将 a<b两边都乘c,得ac<bc,故选项C 错误：将a<c两边都除以b,由于b 是负数，因此号>分，故选项D错误。 7.B解析：根据第一个天平，得“■” 比“▲”轻.根据第二个天平，得“●”比 “■”轻..质量按从大到小的顺序排 列应为“▲■●” 8.D解析：根据题意，得商店购进糖 果的平均价格是每千克30a十20元. 50 以每千克“士元的价格全部卖完后， 发现没有赚钱，则30u+200≥a+b 50 2 根据不等式的基本性质2，两边都乘 10,得6a+4b≥5a+5b.再根据不等 式的基本性质1，两边都减5a十4b,得 a≥b.∴.没有赚钱的原因是a≥b. 9.m<2025解析：由题意，得将不 等式(m一2025)x>m一2025的两边 都除以m-2025,得x<1.根据不等 式的基本性质3，可知m一2025<0， 解得m<2025. 10.300-5.x100x≥4040 11.(1)根据题意，得x一1<2. 根据不等式的基本性质1，两边都加 1,得x-1+12+1,即x<3. (2)根据题意，得一2m一1≤一7. 根据不等式的基本性质1，两边都加 1,得-2m一1+1≤-7+1，即 -2m-6. 根据不等式的基本性质3，两边都 乘-2，得-2m×(-2)≥-6× (-2),即m≥3. 12.根据题意，得10b十a<10a十b. 在不等式两边都减a+b,得9b<9a: 两边同时除以9，得b<a,即a>b. 13.(1)>. (2)在不等式a>1两边都加a,得 a+a>a+1,即2a>a+l. 两边都除以2得。>→生 14.在不等式一3x>3.x两边都加 3x,得0>6x. 两边都除以6，得x<0. 在不等式一3x>3x的两边同除以x 时，相当于同除以负数，因此应改变不 等号的方向，即同除以x后应为 -3<3 15.(1).4+3a2-2b+b2-(3a2 2b+1)=b2+3>0, ∴.4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1. (2)根据不等式的基本性质1，两边都 减3a+b,得-a+b-1>0 根据不等式的基本性质1，两边都加 1,得b-a>1>0. .a<b. 2 一元一次不等式 第1课时一元一次不等式 及其解法 1.B2.A3.3x<-14.7 5.(1)去括号，得3x一34x一2-3. 移项，得3x一4x<一2一3十3. 合并同类项，得一x<一2. 两边都除以一1，得x>2. 解集在数轴上表示如图①所示 -101234 (第5题①) (2)去分母，得12≥4x一(2x一3) 去括号，得12≥4x-2x+3. 移项，得12-3≥4x-2x. 合并同类项，得2x≤9. 两边都除以2，得<号。 解集在数轴上表示如图②所示 -10123495 2 (第5题②) (3)去分母，得8-(7x-1)>2(3x一2). 去括号，得8-7x十1>6x-4. 移项，得-7x-6x>-4一8-1. 合并同类项，得一13.x>一13. 两边都除以一13，得x<1. 解集在数轴上表示如图③所示。 -4-3-2-101234 (第5题③) 方法归纳 解一元一次不等式的注意事项 解一元一次不等式与解一元 一次方程的步骤一样，共五步，其 中去分母时，若分母是负数，则应 先根据分数的基本性质化去分母 中的负号.注意：系数化为1时，若 系数是负数，则不等号的方向一定 要改变 6.A 7.B解析：设不等式3x一1≥一x ●中的数●为m,则不等式3.x 1≥一x一●为3.x一1≥一x一m,解 得≥”。由数轴得不等式的解集 为≥-1，得 =-1,解得m 5.∴.被墨水污染的部分是5. 8.A解析：解不等式，得x>一2，故 满足不等式的负整数解为x=一1.将 x=一1代人方程，得-1-，1=1， 2 解得a=一3. 6 9.x≤7 18 10.<- 5 ·解析：原方程可化为 -3x=30+42a,解得x=-10 14.由题意，得-10-14a>0,解得 5 a<-7 11.2 x-y=3①， 12. {2x+y=6m②， ①+②，得3.x=3+6m,解得x= 1+2m. 把x=1+2m代人①，得y=2m一2. x-y=3, 关于x,y的方程组 (2x+y=6m 的解满足不等式x一3y>0, ∴.1+2m-3(2m-2)>0,解得 .7 m<4 13.(1)根据题意，得3⊕4= 1 3 3-4_1上1_2 33331 ②根提题意得}一子 去分母，得1-(2-x)<2. 去括号，得1一2十x2. 移项、合并同类项，得x<3, ∴.x的非负整数解为0,1,2. 14.(1)当m=1时，不等式为 >-1 去分母，得2一x>x一2，解得x<2. (2)去分母，得2m一mx>x-2. 移项、合并同类项，得(m+1)x< 2(m+1). 当m≠一1时，不等式有解. 当m>一1时，不等式的解集为 x<2; 当m<-1时，不等式的解集为 x>2. 15.设被墨迹污染的常数为a,则 。2 2 去分母，得2x-1≥3(x-5)+6a. 去括号，得2x-1≥3.x-15十6a. 移项、合并同类项，得x≤14一6a. 不等式的解集是x≤2，