专题1 分类讨论想在等腰三角形中的应用&专题2 构造等腰三角形的常用方法&专题3 等腰三角形性质与判定的常考题型-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·八年级数学·北师版·下册 微专题2巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 1.B2.123.4 专题1分类讨论思想在等腰三角形中的应用 1.解：①当底边长为6，腰长为7时，符合三角形三边关系，周 长为6+7+7=20： ②当底边长为7，腰长为6时，符合三角形三边关系，周长为 7+6+6=19. 综上所述，这个三角形的周长为19或20. 2.40°，55°或70°[解析]：△ABC的一个外角为110°，与 其相邻的内角为70°，若70°的角为顶角，当∠B为顶角时， ∠B=70°，当∠B为底角时，∠B=55°；若70°的角为底角， 当∠B为顶角时，∠B=40°，当∠B为底角时，∠B=70°.综 上，∠B的度数是40°，55°或70°. 3.解：设这个角的度数为x, 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角为 180°-2x, 根据题意，得x=2(180°-2x),解得x=72°； 当这个角为顶角时，则底角为18。兰 根据题意，得x=2(180,)解得x=90, 则底角的度数为180-x=45. 2 综上所述，底角为72°或45°. 4.C[解析]如答图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°， .∠ACB=180°-75-30°=75°.当∠CAP=∠CPA时，即 满足条件的，点为P1,P2,△CAP为等腰三角形；当∠BAP= ∠APB时，即满足条件的点为P3,P4,△BAP为等腰三角 形；当∠ABP=∠BAP时，即满足条件的，点为P,,△BAP为 等腰三角形；当∠CAP=∠ACP时，即满足条件的点为P6, △ACP为等腰三角形；当P与C重合时，即满足条件的，点为 P7,△APB为等腰三角形；当P与B重合时，即满足条件的 点为Pg,△ACP为等腰三角形.综上，满足条件的，点P的位 置有8个 P。PEBP)CE)PPE 4题答图 5.142°或100°[解析]在 △ABC中，：AB=AC,∠B= 50°，.∠BAC=180°-50°- 50°=80°.由题意，知△EDP G H P 只能是以DE为腰的等腰三角 B 形.如答图，过点D作DG⊥AB D 于点G,DH⊥AC于点H.,AB 5题答图 =AC,D为BC的中点，∴.AD平分∠BAC,∴.DG=DH.在AC 上取两点P1,P2,使P1H=P2H=EG,如答图，易得△DEG ≌△DPH≌△DP2H,.DE=DP,=DP2.①当点P在P1 。4… 的位置时，∠AP1D=∠AED=69°，.∠EDP1=360°- 69°-69°-80°=142°；②当点P在P2的位置时，∠EDG= ∠P2DH,∴.∠EDP2=∠GDH=360°-90°-90°-80°= 100°.综上，∠EDP的度数为142°或100°. 6.解：当等腰三角形为锐角三角形时，如答图①， BD⊥AC于点D,则∠ABD=40°，∠ADB=90°， ∴∠A=90°-∠ABD=50°，∴.∠C=∠ABC=65; 当等腰三角形为钝角三角形时，如答图②， BD⊥AC于点D,则∠ABD=40°，∠ADB=90°， .∴.∠BAD=90°-∠ABD=50°， .∠CAB=130°，.∠C=∠ABC=25°. 综上所述，该等腰三角形的底角度数为25°或65°， C B B 6题答图① 6题答图② 7.解：当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB,交BC于点D,如 答图①所示. .AB=AD,AH⊥BC,∠ABH=70° ∴.∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH. AB BH=CH,CD+DH=CH,..AB=CD=AD, LC-LCAD-LADB-35 ∴.∠BAC=180°-∠ABH-∠C=75°； 当∠ABC为钝角时，如答图②所示. AB +BH=CH,BC+BH=CH,..AB =BC. 又：LABH=70,∠BAC=LACB=号∠ABH=350 综上所述，∠BAC的度数为75°或35°. BH D “iB C 7题答图① 7题答图② 专题2构造等腰三角形的常用方法 1.证明：(1)如答图，连接AD. AB=AC,D为BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C 又∠BAC=90°， .∠B=LC=∠BAD=∠CMD=45°， ∴.AD=BD E 在△BED和△AFD中， B BE=AF, O ∠B=∠DAF 1题答图 BD=AD, .△BED≌△AFD(SAS),∴ED=FD. (2)△BED≌△AFD,∴.∠BDE=∠ADF, .∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°， .∠EDF=90°，∴.ED⊥DF. 2.证明：如答图，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F ·△ABC是等边三角形，DF∥BC, .∴.AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°， ∴.△ADF是等边三角形 .AD=DF=AF,.'.CD BF,FD=CE 在△BFD和△DCE中， BF=DC. ∠DFB=∠ECD=60°， LFD=CE, ∴.△BFD≌△DCE(SAS),∴DB=DE. 又DG⊥BC,∴.BG=EG A B G E D 2题答图 3.证明：如答图，延长AD至点G,使DG=AD,连接BG 在△BDG和△CDA中， A BD=CD, ∠BDG=∠CDA, DG=DA, ∴.△BDG≌△CDA(SAS), .∴.BG=AC,∠G=∠CAD. D .·AE=EF,∴.∠CAD=∠AFE. 又∠BFG=∠AFE, ∴.∠CAD=∠BFG, .∠G=∠BFG, .BF=BG,∴.BF=AC G 4.证明：小敏的证明思路：如答图①， 3题答图 在AC上截取AE=AB,连接DE. ,AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠EAD. R1 在△ABD和△AED中， AB=AE. D ∠BAD=∠EAD, 4题答图① LAD=AD, ∴.△ABD≌△AED(SAS),∴.BD=DE,∠B=∠AED. ∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, ∴.∠EDC=∠C,∴.DE=EC .AB BD=AE +DE=AE CE=AC. 小洁的证明思路：如答图②，延长CB至点E,使BE=AB,连 接AE,则LE=BAE. B D 4题答图② 参考答案及解析 .·∠ABC=∠E+∠BAE,∴.∠ABC=2∠E ∠ABC=2∠C,∴.LE=∠C,AE=AC. AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD=∠DAC. ',·∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠BAE =∠E=∠C, .∠ADE=∠DAE,∴.AE=DE=AC, .'AB BD BE BD=DE=AC. 专题3等腰三角形性质与判定的常考题型 1.B2.C 3.A[解析]如答图，延长DB至点E,使BE=AB,连接AE, ∴.∠E=∠BAE,.∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E=62°， .∠E=31°.AB+BD=CD,∴.BE+BD=CD,即DE= CD..·AD⊥BC,∴.AD垂直平分CE,∴.AC=AE,∴.∠C=∠E =31°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=87.故选A B D 3题答图 4.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C 在△DBE和△ECF中， BE=CF, ∠B=∠C,,△DBE≌△ECF(SAS), LBD =CE, .DE=EF,∴.△DEF是等腰三角形 (2)解：由(1)知△DBE≌△ECF,∴.∠BDE=∠CEF AB=4C,∠A=40°，∠B=3×(180°-40°)=70， .∴.∠BDE+∠BED=110°，∴.∠CEF+∠BED=110°， ,∴.∠DEF=180°-（∠CEF+∠BED)=70°. 5.证明：BC=DC,.∠CBD=∠CDB. .·∠EBC=∠EDC, ∴.L∠EBC-∠CBD=LEDC-∠CDB,即LEBD=LEDB. ∠A=90°，，∠BDA+∠ABD=90°=∠A, ∴，∠BDA+∠EDB=∠A, .∴.∠BED=∠A+∠ADE=∠BDA+∠EDB+∠ADE= ∠BDA+∠BDA=2∠BDA. 6.证明：(1)：BD平分∠ABC,∠FBE=∠CBE. ,CE⊥BE,∴.∠BEF=∠BEC=90. 又BE=BE,∴.△BEF≌△BEC, .∴.BF=BC,..△BCF是等腰三角形 (2).BF=BC,CE⊥BE,∠BAC=90°，∴.CF=2CE. :∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠AFC=90°， ∴.∠ADB=∠AFC. 又：AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°， ∴△ABD≌△ACF,BD=CF=2CE. 3直角三角形 课时1直角三角形的性质与判定 【基础巩固练】 1.A2.C3.2.44.135 .5.同步练测·八年级数学·北师版·下册 专题1分类讨论思想在等腰三角形中的应用[答案4] 类型①腰或底不确定时分类讨论 5(四川成都期中)如图，在等腰三角形ABC中， 1已知等腰三角形的两边长分别为6和7，求这个 AB=AC,∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB 三角形的周长， 上，∠AED=69°，若P是等腰三角形ABC的腰 AC上一点，则当△EDP为等腰三角形时， ∠EDP的度数是 D 5题图 类型④图形不确定时分类讨论 ⑥已知一个等腰三角形一腰上的高与另一条腰的 夹角为40°，求该等腰三角形的底角度数， 类型⑧顶角或底角不确定时分类讨论 2已知△ABC为等腰三角形，它的一个外角为 110°，则∠B的度数是 3若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两 倍，求底角的度数. ⑦（甘肃武威期中）在△ABC中，AH⊥BC,垂足为 H,若AB+BH=CH,∠ABH=70°，求∠BAC的 度数. 类型③点的位置不确定时分类讨论 4如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°. P为直线BC上一动点，如果点P与△ABC三个 顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满 足条件的点P的位置有 B 4题图 A.4个 B.6个 C.8个 D.9个 120 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第一章三角形的证明及其应用 专题2构造等腰三角形的常用方法 [答案P4] 类型①构造“三线合一”图形 类型③倍长中线法构造等腰三角形 -- 1如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,D为BC 3如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，E是AC 的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF 上一点，BE交AD于点F.若AE=EF,求证：BF 求证：(1)ED=DF; =AC. (2)ED⊥DF. D 1题图 3题图 类型④截长补短法构造等腰三角形 4(山西晋中期中)徐老师给爱好学习的小敏和小 洁提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，∠B =2∠C,AD是∠BAC的平分线.求证：AB+BD =AC. 类型⑧作平行线构造等腰三角形 2如图，在等边三角形ABC中，D为边AC的延长 线上一点，延长BC至点E,使CE=AD,DG⊥BC 于点G.求证：BG=EG. 4题图① 4题图② E B D 4题图③ 2题图 小敏的证明思路：在AC上截取AE=AB,连接 DE.(如图②) 小洁的证明思路：延长CB至点E,使BE=AB, 连接AE.（如图③) 请你任意选择一种思路完成证明. 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 13 同步练测·八年级数学·北师版·下册 专题3等腰三角形性质与判定的常考题型 [答案P5] 类型⑦求线段的长度 类型③证明线段或角度的等量关系 ①如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD,已 5(上海普陀区期中)已知，如图，在四边形ABCD 知AB=5,∠B=70°，∠C=35°，若∠BAD=40° 中，BC=DC,点E在边AB上，∠EBC=∠EDC. 则CD的长为 若∠A=90°，求证：∠BED=2∠BDA. 1题图 5题图 A.4 B.5 C.6 D.7 2等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则 它的周长为 ( A.26 B.26或34 C.34 D.20 类型⑧求角度 3如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠B=62°，AB+BD =CD,则∠BAC的度数为 6(山东淄博期中)如图，已知Rt△ABC中，AB= AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于 3题图 A.87° 点E,BA,CE的延长线相交于点F. B.88° C.89° D.90° 求证：(1)△BCF是等腰三角形； 4如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在边 (2)BD=2CE. AB,BC,AC上，且BE=CF,BD=CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=40时，求∠DEF的度数， 6题图 4题图 14 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩