第一章 三角形的证明及其应用 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第一章拔尖测评 ◎满分：100分 ○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题中，其逆命题是假命题的为 ( A.若两个角的和为90°，则它们互为余角 B.两个锐角的和为90°的三角形是直角三角形 C.等边三角形是等腰三角形 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 2.如图，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=90°，则∠1十∠2十∠3十∠4的度数为 A.90 B.120° C.1809 D.210 (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，AC=BC,且∠D=∠E=90°.有下列条件：①∠ACB=90°；②AD=CE;③AC=2AD;④CD= BE.其中，能判定△ADC≌△CEB的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE= √5，则AC的长是 () A.43 B.6 C.23 D.3 5.如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB于点E,且AE=BE.若∠CAD=4∠B,BD=18,则 AC的长为 () A.3√5 B.9 C.9w5 D.9.5 D (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6.如图，线段AB,AC的垂直平分线交于点D,连接BD,CD.若∠A=50°，则∠BDC的度数为 ( A.80 B.85 C.90° D.100 7.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE,BD相交于点E,EF⊥AB于点F.若AB=14,AC= 12,SABc=20,则EF的长为 () A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，在等边三角形ABC中，D,E分别为边AB,BC上的两个动点，且CE=BD,连接AE,CD交于点 F,过点A作AG⊥CD于点G.有下列结论：①△ACE≌△CBD;②∠AFG=60°；③AF=2FG; ④AC=2CE.其中，一定正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,垂足 为D,则DE的长为 () B号 5 C.12 2 D.5 B3∠M B B B d E C 0 A A2 A3 (第9题) (第10题) 10.如图，∠MON=30°，点A1,A2,A3,A4,…在射线ON上，点B1,B2,B3,…在射线OM上，△A,B1A2, △A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形.若OA1=1,则△AsBsAs的边长为 () A.16 B.64 C.128 D.256 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.用反证法证明“已知△ABC的三边长为a,b,c(a<b<c),若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形” 时，应先假设 12.如图所示为正n边形纸片的一部分，其中只有∠B,∠C和边BC是完整的，直线l与破损的边AB,CD 相交.若a十3=90°，则n的值为 M B (第12题) (第13题) 13.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的延长线上一点，DE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F.若CD= 3AE,CF=6,则AC的长为 14.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于 点E,F.若D为BC的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 C C E M B A0 B (第14题) (第15题) 15.如图，∠BOC=60°，A是BO延长线上的一点，OA=12cm,动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速 度移动，同时，动点Q从点O出发，沿OC以1cm/s的速度移动，连接QP.当△OPQ是等腰三角形时， 移动的时间是 三、解答题（共55分） 16.(6分) (1)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：如图，∠ABC,射线BC上一点D. 求作：等腰三角形PBD,使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到 ∠ABC两边的距离相等. (2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，求等腰三角形PBD顶角的度数. D C (第16题) 17.(6分)如图所示为小明和小红的对话. (1)多加的一个锐角的度数为 (2)小明求的是几边形的内角和？ (3)若这是个正多边形，求这个正多边形的一个外角的度数， 宗了我把一个多边形的 多边形的内角和不可能 各内角度数相加， 是1830°，我看到你多加 得到的和为1830° 了一个锐角的度数. 小明 小红 (第17题) 18.(7分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,AB的垂直平分线分别交AB,AC,AD于点E, F,O,连接BO,CO. (1)求证：AO=BO=CO. (2)若S△Aos=12,AB=6,求点O到AC的距离. (第18题) 19.(10分)如图，△ABC是等边三角形，P,E分别是AC,BC延长线上的点，且AP=CE,连接PB,PE, M是BE的中点，PM和BA的延长线相交于点N. (1)求证：△NAP是等腰三角形 (2)过点A作AD⊥AB,交PN于点D.求证：ND=2PD. D M (第19题) 2 20.(12分)在△ABC中，DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC 于点M,N,连接AE,AN. (1)如图①，若∠BAC=100°，求∠EAN的度数 (2)如图②，若∠BAC=70°，求∠EAN的度数. (3)若∠BAC=a(a≠90°)，请直接写出∠EAN的度数（用含a的代数式表示）. E N ① ② (第20题) 21.(14分)如图①，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的高，P是边BC上一点，PM,PN分别与直线 AB,AC垂直，垂足分别为M,N.求证：BD=PM+PN. 小刚的思路如下：如图①.连接AP,有SE=Sm+Sa,即AC·BD=AB·PM+AC· PN,由AB=AC,可得BD=PM+PN. 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决下列问题： (I)如图②，当点P在CB的延长线上，且其他条件不变时，请写出线段BD,PM,PN之间的数量关 系，并说明理由. (2)如图③，P是△ABC内一点，且AB=AC=BC,BD是△ABC的高，PM,PN,PQ分别与AB, AC,BC垂直，垂足分别为M,N,Q.探究线段BD,PM,PN,PQ之间的数量关系，并说明理由. D M B P Q ① ② ③ (第21题).'PD=BQ 由题意，可知PD=(6-0.5t)cm. ①当0<t≤3时，BQ=(6-2t)cm, ∴.6-0.5t=6-2t,解得t=0(不合 题意，舍去) ②当3<t≤6时，BQ=(2t-6)cm, .6-0.51=21-6,解得t=4.8. ③当6<t≤9时，BQ=(18-2t)cm, .6-0.5t=18-2t,解得t=8. ④当9<t≤12时，BQ=(2t 18)cm, .6-0.51=2t-18,解得t=9.6. 综上所述，当1的值为4.8或8或9.6 时，以P,D,Q,B为顶点的四边形是 平行四边形 2.(1)四边形ABCD是平行四 边形， .AB∥DC,ADBC,AD=BC :AD=AC,AD⊥AC, '.AC=BC,AC⊥BC. 如图①，连接CE ,E为AB的中点， ∴.AE=BE ∴.易得∠ACE=∠BCE= ∠CAE=45. .∠DAE=∠FCE=135. ,ED⊥EF, .∠CEF+∠CED=90° 又：∠AED+∠CED=90, .'.∠AED=∠CEF 在△AED和△CEF中， ∠DAE=∠FCE, AE=CE, ∠AED=∠CEF, .△AED≌△CEF. ∴.ED=EF (2)补全图形如图②所示. 四边形ACPE是平行四边形. ,△AED2△CEF, .AD=CF. .AD-AC, .'AC=CF. 又E是AB的中点， '.CE为△FAB的中位线 .CE//BE. 又.ABDC, .四边形ECPB为平行四边形 .∴.CP=BE=AE 又.·CP∥AE, ∴.四边形ACPE是平行四边形. (3)ED⊥EF」 如图③，连接CE,过点E作EH⊥ AF于点H,作EG⊥DA,交DA的延 长线于点G 由题意，易知∠EAG=∠AEG= ∠CEH=∠ECH=45°，∠AEC= ∠G=∠EHC=90°，AE=CE, ∴.△AGE≌△CHE. .∴.EG=EH 在Rt△DEG和Rt△FEH中， (ED=EF, EG-EH, ∴.Rt△DEG≌Rt△FEH. ∴.∠DEG=∠FEH. ∴.∠DEA=∠DEG-∠AEG= ∠FEH-∠CEH=∠FEC. ∴.∠FEC+∠DEC=∠DEA+ ∠DEC=90°. .∠DEF=9O°，即ED⊥EF G (第2题) 59 拔尖测评 第一章拔尖测评 -、1.C2.C3.C4.B5.B 6.D7.B 8.C解析：.△ABC是等边三角 形，∴.AC=CB,∠ACE=∠B=60° 在△ACE和△CBD中， (AC=CB, ∠ACE=∠B,∴.△ACE≌△CBD. CE=BD, ∴.①正确.∴.∠CAE=∠BCD. ∴.∠AFG=∠ACF+∠CAE= ∠ACF+∠BCD=∠ACE=6O. .②正确.，∠AFG=60°，AG⊥ CD,.∠FAG=30°..AF=2FG. ∴.③正确.AC=BC,且BC不 定等于2CE,∴.AC不一定等于 2CE..④不一定正确.综上所述，一 定正确的是①②③，共3个. 9.B解析：连接AE.设CE=x. DE是线段AB的垂直平分线， ∴.AE=BE=BC+CE=3+x.在 Rt△ACE中，AE=AC2+CE,即 3十只=华+，解得x=名在 Rt△ABC中，AB=√BC2+AC= 5,BD=AD=号.在R△BDE 中，=√+)-(- 10.C 解析如图.△A,B,A2是 等边三角形，∴.AB1=AB1,∠3= ∠4=∠12=60°..∠2=120°」 ∠MON=30°，.∠1=180°- 120°-30°=30°.又∠3=60°， ∴.∠5=180°-60°-30°=90. ∠MON=∠1=30°，∴.OA1= A,B1=1.∴.A2B1=1.△A2B2A3, △A3B3A4是等边三角形，∴.∠11= ∠10=∠13=60°..∠4=∠12= 60,∴.A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥ B2A3.∴.∠1=∠6=∠7=30°，∠5= ∠8=90°..易得A2B2=2B1A2= 2,B3A3=2B2Ag·.易得A3B3= 4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8, A5B=16B1A2=16.以此类推， AgBg=2B1A2=2=128. B3M 1311 A,12A2 A.N (第10题) 二、11.△ABC是直角三角形12.8 13.10 14.10解析：连接AD.△ABC 是等腰三角形，D为底边BC的中点， AD⊥BC.S△MC=2BC· AD=2×4AD=16,解得AD=8 :EF是线段AC的垂直平分线， .点C关于直线EF的对称点为A. ∴.易得AD的长为CM+MD的最小 值.'.△CDM周长的最小值=AD十 m=AD+2BC=8+号X4=8+ 2=10. 15.4s或12s解析：设移动的时间 是1s.当点P在线段AO上，PO= QO时，△POQ是等腰三角形. PO=AO-AP=(12-2t)cm, OQ=tcm,.12-2t=t,解得t=4. 当点P在线段AO的延长线上时， ,△POQ是等腰三角形，∠BOC 60°，.△POQ为等边三角形， ∴.PO=QO=PQ.PO=AP AO=(2t-12)cm,OQ=t cm, .21一12=1，解得t=12.综上所述， 移动的时间是4s或12s. 三、16.（1)如图所示. (2)∠ABC=60°，点P到∠ABC 两边的距离相等， ∴.BP平分∠ABC. ·∠PBD=7∠ABC=30 ,·△PBD为等腰三角形，BD为底边 ∴.PB=PD. .'.∠PBD=∠PDB=30 .'.∠BPD=180°-30°-30°=120. (第16题) 17.(1)30°. (2)设这个多边形为n边形 由题意，得(n一2)×180°=1830° 30°，解得n=12. '.小明求的是十二边形的内角和. (3)·正十二边形的外角都相等，多 边形的外角和始终为360°， '.这个正多边形的一个外角的度数 为360°÷12=30° 18.(1),EF垂直平分AB, ∴.AO=B0. ,AB=AC,AD平分∠CAB, ∴.AD是BC的垂直平分线. .OB=OC. .AO=BO=CO. (2)如图，过点O作OH⊥AC于 点H. :AD平分∠CAB,OE⊥AB, .OE=OH. Sam=2AB·OE, :0E=2Sa0=2X12-4. AB 6 ∴.OH=OE=4,即点O到AC的距 离为4. (第18题) 19.(1)如图，作PF∥AB,交BE于 点F. ,△ABC是等边三角形， ∴.BC=AC,∠ABC=∠ACB= ∠BAC=60°， PF∥AB, '.∠PFC=∠ABC=60°. :∠PCF=∠ACB=60°， 60 '.∠CPF=180°-∠PFC ∠PCF=60° ∴.∠CPF=∠PFC=∠PCF. .△PCF是等边三角形 .CF=PC. .AP=CE, ∴.AP-CP=CE-CF,即AC= EF. .'BC=AC, .BC=EF. ,M是BE的中点， ∴.BM=EM ∴.BM-BC=EM-EF,即CM= FM. ,△PCF是等边三角形， &∠CPM=7∠CPF=30, PN⊥BE .∠BMN=90° ∴.∠N=90°-∠NBM=30°. .∠APN=∠N. .∴.AN=AP '.△NAP是等腰三角形 (2).AD⊥AB, ∴∠BAD=90°. ∴.∠DAP=∠BAD-∠BAC=30°」 .∠DAP=∠APD=30°. .AD=PD 在Rt△DAN中， ∠N=30°， .ND=2AD. .ND=2PD. N D E (第19题) 20.(1)DE垂直平分AB, .AE=BE. ∴.∠BAE=∠B. 同理，可得∠CAN=∠C. ∴.∠EAN=∠BAC-∠BAE ∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C). 在△ABC中，∠B+∠C=180°- ∠BAC=80°， .∠EAN=100°-80°=20°. (2)DE垂直平分AB, .AE=BE. ∴.∠BAE=∠B. 同理，可得∠CAN=∠C. ∴.∠EAN=∠BAE+∠CAN ∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC. 在△ABC中，∠B+∠C=180°一 ∠BAC=110°， ..∠EAN=110°-70°=40° (3)当0°<a<90时，∠EAN= 180°-2a: 当90°<a<180°时，∠EAN=2a 180°. 21.(1)BD=PN-PM. 理由：如图①，连接AP PN⊥AC,BD⊥AC,PM⊥AB, :Sae=号AC·PN,Sam 号AB·PM,Sar=AC·BD. :S△ANx=S△APC-S△APB, :AC·BD=合AC·PN 1 号AB:PM. .AB=AC, ∴.BD=PN-PM (2)BD-PM+PN+PQ. 理由：如图②，连接PA,PB,PC. ,BD是△ABC的高，PM,PN,PQ 分别与AB,AC,BC垂直， .SAAx=2AC·BD,S△PAB= 3AB·PM,Sae=AC·PN, 1 SAPE=BC.PQ. 'S△Ax=S△PAB十S△PAC十S△PIC, :号AC·BD=号AB·PM+ 1 AC PN+7BC.PQ. .AB=AC=BC, .BD=PM+PN+PQ. P ① dD M B C 0 ② (第21题) 第二章拔尖测评 -、1.D2.B3.C4.C5.A 6.C7.C 8.B解析：由x十2>a,得x>a 2.选项A.由数轴，知x>一3，则 a=-1,∴.不等式(2a-1)x-6<0 可化为一3x一6<0，解得x>一2，与 数轴不符.选项B.由数轴，知x>0, 则a=2,.不等式(2a-1)x-6<0 可化为3.x一6<0，解得x<2,与数轴 相符合.选项C.由数轴，知x>2,则 a=4,∴.不等式(2a-1)x-6<0可 化为7x-6<0,解得x<号，与数轴 不符.选项D.由数轴，知x>一2，则 a=0,'.不等式(2a一1)x一6<0可 化为一x一6<0，解得x>一6，与数轴 不符】 9.B解析：记 x-325<20解 2 2x-a-1②. 不等式①，得x>1.解不等式②，得 <”号.0：它的解集是1<< 3,,1=3,解得a=7.故①正确 2 ②a=3.0,1-3,=1.不 2 2 等式组无解.故②错误.③，它的整 一1<5，解得 数解仅有3个，·4长2 9≤a<11.故③错误.④，不等式组 有解“2>1，解得a>3放④正 确.综上所述，正确的有2个. 61 10.B解析：设生产A产品x件，则 生产B产品(50-x)件.由题意，得 9x+4(50-x)360, 解得30≤ 3.x+10(50-x)290, x≤32.：x是非负整数，.x=30, 31,32.∴.有3种生产方案。 二、11.>12.m≤313.-2< x<2 14.5解析：设他们的人数为x.根 据题意，得200×5+30x<180x+ 30X(5-2)x解得x>6.又·2为 正整数，.x的最小值为5.∴.他们 的人数至少为5. 15.m≥-是 解析：解不等式x十 2m<0,得x<一2m.解不等式3.x+ m<15,得x<15,”.解不等式x 3 3<0,得x<3.①当-2m<15m 3 即m>一3时，一2m≤3，解得m≥ -号，此时m≥-号：@当-2m≥ 15=,即m≤-3时，15≤3，解 3 得m≥6，与m≤-3不符，舍去. 太m≥是 三、16.(1)去分母，得2(y+1)一 3(2y-5)≥12. 去括号，得2y+2-6y+15≥12. 移项、合并同类项，得一4y≥一5. 系数化为1，得y≤。 12.x+3≥-5①， (2)记 -2x号@. 由①得，x≥一4： 由②得，x<5. ∴.不等式组的解集为一4≤x<5. 2.x-7<3(x-1)①， 17.记1 +1)3≤1@. 解不等式①，得x>一4： 解不等式②，得x≤3. ∴.不等式组的解集为-4<x≤3.