第一章第1章三角形的证明测评2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章测评 (时间:45分钟。满分:100分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分。每小题只有一个正确选项) 1.(2024重庆期中)以下列各组数为边长,可以构成直角三角形的是(　　)。 A.2,3,4 B.3,4,6 C.6,8,15 D.5,12,13 2.下列命题:①同旁内角互补,两直线平行;②若a2=b2,则a=b;③锐角与钝角互为补角;④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的个数是(　　)。 A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2024重庆沙坪坝区校级开学)在△ABC中,三个内角度数之比为2∶3∶5,则△ABC的形状是(　　)。 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 4.(2024重庆秀山县月考)如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC。若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是(　　)。 A.24° B.59° C.60° D.69° (第4题图) 5.(2024重庆荣昌区期中)如图,将△ABC沿DE翻折,点B落到了点B'处。若∠1+∠2=80°,则∠B'的度数为(　　)。 (第5题图) A.40° B.50° C.60° D.80° 6.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,下列结论: ①△BDF和△CEF都是等腰三角形; ②DE=BD+CE; ③△ADE的周长等于AB与AC的和; ④BF=CF。 其中正确的有(　　)。 A.①②③ B.①②③④ C.①② D.① 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 7.将一副三角尺按如图方式摆放,其中∠A=45°,∠D=30°。若∠1=42°,则∠AOC=　　　　　。  8. 如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AC于点E,再分别以点C和点E为圆心,大于CE的长为半径画弧,两弧交于点F,连接BF交AC于点D。若∠A=40°,则∠CBD的度数是　　　　　。  9. (2024重庆沙坪坝区校级期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB= cm,AC= cm,点P在线段BC上,当AP=BP时,AP的长度为　　　　　cm。  10.(2024重庆中考)若正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数为　　　　　。  11.如图,已知△ABC的面积为8,AD平分∠BAC,且AD⊥BD,垂足为D,则△ADC的面积是　　　　　。  12.(2024重庆北碚区期中)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,∠BAC=30°,D是BC上任意一点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=　　　　　。  三、解答题(共52分) 13.(14分)(2024重庆北碚区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边AB,AC上的点,连接CD,BE交于点F,∠ADC=∠AEB。 (1)求证:CD=BE; (2)若∠A=45°,∠ACD=20°,求∠BFC的度数。 14.(18分)在边长为10的等边三角形ABC中,Q是BC上任意一点,P是AB上一动点,且以每秒2个单位长度的速度从点A向点B移动,设运动时间为t秒。 (1)如图1,若CQ=6,则t为何值时,PQ∥AC? (2)如图2,当点P从点A向点B运动时,同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B沿B—C—A向点A运动,则t为何值时,△APQ为等边三角形? 图1 图2 15.(20分)如图,点M,N分别在∠AOB的边OA,OB上,连接MN。点P在∠AOB的内部,且MP平分∠AMN,NP平分∠MNB。 (1)求证:OP平分∠AOB; (2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段OM与ON的长度之和。 备用图 参考答案 1.D　2.B　3.D　4.B 5.A　∵将△ABC沿DE翻折,点B落到了点B'处,∴∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE。 ∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°,∴∠BED+∠BDE=(360°-∠1-∠2)=×(360°-80°)=140°,∴∠B'=∠B=180°-(∠BED+∠BDE)=180°-140°=40°。故选A。 6.A　∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB。 ∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB,∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠FCE,∴DF=DB,FE=CE,∴△BDF,△CEF都是等腰三角形,∴DE=DF+FE=DB+CE,∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC。故选A。 7.108°　根据题意,可知∠A=∠ACB=45°,∠DCE=60°,∠1=42°,∴∠BCD=∠DCE-∠1=60°-42°=18°,∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=45°-18°=27°, ∴∠AOC=180°-∠A-∠ACD=180°-45°-27°=108°。 8.20°　∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠ACB=(180°-40°)=70°。 由题意可知,BF垂直平分线段CE,∴BC=BE,BD⊥CE, ∴∠BEC=∠ACB=70°, ∴∠CBE=180°-70°×2=40°,∴∠CBD=∠CBE=20°。 9.　在Rt△ACB中,由勾股定理, 得BC==2(cm),设AP=BP=x cm,则CP=(2-x)cm, 在Rt△ACP中,由勾股定理,得AC2+CP2=AP2, 即()2+(2-x)2=x2,解得x=,即AP=(cm)。 10.8 11.4　如图,延长BD交AC于点E, ∵AD平分∠BAC,AD⊥BD, ∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE。在△ABD和△AED中, ∴△ABD≌△AED(ASA), ∴BD=DE,∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC, ∴S△ADC=S△ABC=×8=4。 12. 2　如图,过点B作BH⊥AC,垂足为H。 ∵AB=4,∠BAC=30°, ∴BH=2, ∴S△ABC=AC·BH=×4×2=4。 ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AB·DE+AC·DF=4,∴×4×DE+×4×DF=4,∴DE+DF=2。 13.(1)证明:在△ACD和△ABE中, ∴△ACD≌△ABE(AAS), ∴CD=BE。 (2)解: ∵△ACD≌△ABE(已证),∠ACD=20°, ∴∠ABE=∠ACD=20°。 ∵∠BDC=∠A+∠ACD=45°+20°=65°,∴∠BFC=∠BDC+∠ABE=65°+20°=85°。 14.解: (1)∵△ABC是等边三角形,PQ∥AC,∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°。 又∵∠B=60°,∴∠B=∠BQP=∠BPQ=60°,∴△BPQ是等边三角形,∴BP=BQ。 又∵AB=BC,∴AP=CQ。 由题意可知AP=2t,则2t=6,∴t=3, 即当t的值为3时,PQ∥AC。 (2)如图1,①当点Q在边BC上时,此时△APQ不可能为等边三角形。 图1 ②如图2,当点Q在边AC上时,若△APQ为等边三角形,则AP=AQ。 图2 由题意可知,AP=2t,BC+CQ=3t,∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=10+10-3t=20-3t,即2t=20-3t,解得t=4, ∴当t的值为4时,△APQ为等边三角形。 15.(1)证明:如图,过点P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分别为C,D,E。 ∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD。 ∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE, ∴PC=PE,∴OP平分∠AOB。 (2)解: ∵△PMN的面积是16,MN=8,∴MN·PD=16,即×8×PD=16,∴PD=4, ∴PC=PE=PD=4。 ∵△OMN的面积是24, ∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+24=40,∴△POM的面积+△PON的面积=40, ∴OM·PC+ON·PE=40,即OM×4+ON×4=40,∴OM+ON=20, 即线段OM与ON的长度之和为20。 9 学科网（北京）股份有限公司 $