第一章 5 角平分线-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

.∠EGB=90°，即DE⊥BF G/EC D R (第11题) 第2课时线段垂直平分线 性质的应用 1.B2.②③ 3.(1)如图所示. (2)如图. 由(1)，得DE是△ABD的高线. .DE⊥AB ∴.∠AED=90. 在△ABC中，.·∠ACB=90°，AD是 △ABC的角平分线， ∴.∠AED=∠ACD,∠CAD= ∠BAD. 在△ACD和△AED中， ∠ACD=∠AED. ∠CAD=∠EAD, AD-AD, ∴.△ACD≌△AED. .AC=AE,DC=DE ∴.点A,D在CE的垂直平分线上 ,.AD垂直平分CE. (第3题) 4.B解析：如图，连接AP并延长到 点D.边AB,AC的垂直平分线交 于点P,∴.PA=PB=PC. ∴.∠ABP=∠BAP,∠CAP= ∠ACP.∴.∠BPD=2∠BAP ∠CPD=2∠CAP.:∠BPC=100°， .∠BPD+∠CPD=100° ∴.2∠BAP+2∠CAP=100°，即 ∠BAP+∠CAP=50°. .'.∠BAC=50 D (第4题) 5.5 6.(1),DF,EF分别垂直平分 AC,BC, .'AM=CM,CN=BN. ∴.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN. .'.∠CMN=∠A+∠ACM=2∠A, ∠CNM=∠B+∠BCN=2∠B. :∠ACB=120°， ∴.∠A+∠B=180°-∠ACB=60° ∴.∠MCN=180°-（∠CMN+ ∠CNM)=180°-2（∠A+∠B)= 60 (2)由(1)，得AM=CM,BN=CN, ∴.△CMN的周长为CM+MN+ CN=AM+MN+BN=AB. :△CMN的周长为15cm, .'AB=15 cm. (3).∠MFN=70°， .∠NMF+∠MNF=180°- ∠MFN=110. :∠AMD=∠NMF,∠BNE= ∠MNF, ∴.∠AMD+∠BNE=∠NMF+ ∠MNF=110. ,DF,EF分别垂直平分AC,BC, '.∠ADM=∠BEN=90° ∴.∠A+∠B=90°-∠AMD+90° ∠BNE=180°-（∠AMD+ ∠BNE)=70° 由(1)，得∠MCN=180°-2（∠A+ ∠B)=40°. 5角平分线 第1课时角平分线的性质 定理及其逆定理 1.C2.B3.8 4.∠CAB=∠CBA, ..CA=CB. 12 .CA⊥OM,CB⊥ON, ∴.点C在∠MON的平分线上. .OC平分∠MON. 5.D 6.A解析：AD平分∠BAC, DC⊥AC,DF⊥AB,.∠CAD= ∠BAD,DC=DF=3.:DE∥AB, .∠EDA=∠BAD.'.∠EDA= ∠CAD.∴.DE=AE=5.在 Rt△CDE中，CE=√DE2-CD= 4,Same=号X4X3=6 7.66°解析：，∠B=42°，AD⊥1 BC,.∠BAD=48°.ED=EF, AD⊥BC,EF⊥AB,.AE平分 ∠BAD.'.∠BAE=∠DAE=24. ∴.∠AEC=∠B+∠BAE=66. 8.12解析：如图，过点D作DG⊥ AC于点G,DH⊥CB于点H. ·DE=2CD,△BDE的面积为2， .S△D=2S△mE=4,:CD是 ∠ACB的平分线，DH⊥CB,DG⊥ AC...DG=DH.AC =2BC, 1 S△An=2AC·GD,S△n BC·DH,.SA4D=2S△N .S△AcD=8..S△ix=S△AD十 S△xD=8+4=12. G2 B E (第8题) 9.(1)如图，点P即为所求。 (2).·OD平分∠AOB,∠AOB= 60°，点P到OA的距离是4cm,PE⊥ OC, ∴.PE=4cm,∠POE= 3∠A0B 30 ∴.在Rt△POE中，PO=2PE= 8 cm. PO=PC, .'PC=8 cm. 米D 0 E C B (第9题) 10.如图，过点E作EH⊥AB于点 H,延长HE交DC的延长线于点G, 过点E作EF⊥AD于点F. ABCD,EH⊥AB, .EG⊥DC. ∴.∠CGE=∠BHE=90. :E是BC的中点， .'CE=BE 在△CGE和△BHE中， ∠CGE=∠BHE, ∠GEC=∠HEB, CE=BE .△CGE≌△BHE. .EG=EH ,DE平分∠ADC,EG⊥DC, EF⊥AD, .EG=EF. .EF=EH. 又，EF⊥AD,EH⊥AB, .AE是∠DAB的平分线. D B H (第10题) 11.(1)如图，过点E作EH⊥BA,交 BA的延长线于点H,EF⊥BC于 点F,EG⊥AD于点G :AD平分∠BAC,∠BAC=120, ∴.∠BAD=∠CAD=60°，∠CAH= 180°-120°=60°. ∴.∠CAH=∠CAD,即AE平分 ∠HAD. 又EH⊥BA,EG⊥AD, .'EH=EG. BE平分∠ABC,EH⊥BA, EF⊥BC, .EH=EF. '.EG=EF,即点E到DA,DC的距 离相等. (2)由(1)，知EF⊥BC,EG⊥AD, EF=EG. ∴.DE平分∠ADC. :∠EDC=∠DEB+∠DBE, 1 .易知 ∠CDA=∠DEB+ 2∠ABC 又.·∠CDA=∠ABC+∠BAD, ∴.∠DEB= 2(∠CDA-∠ABC) 2∠BAD=30 (第11题)》 12.(1):BD平分∠ABC, ∠ABC=120°， ∴.∠ABD=∠CBD=60°. 如图，过点D作DE⊥AB于点E, DF⊥BC于点F. .DE=DF. .BD=1, 1 ·易得BE=BF=2,DE DF- 2 过点A作AG⊥BC,交CB的延长线 于点G ·易得AG= 2c-3. :S△Ax=S△AD十S△XD, :2BC·AG=AB·DE+ 2BC·DF. 1 .2 X√5a= 1 2 ×2X 2 2 2. 13 '.a=2, (2)△ABC的面积=号BC·AG 1 、55 xa×c=ac. (3):S△Ax=S△ABD+S△XD' 1 1 2BC·AG=AB·DE+ BC.DF. a…=×c+ ∴.ac=a+c. ∴.a,c之和等于a,c之积. G 9~、B D (第12题) 第2课时角平分线的性质的应用 1.B2.C3.30 4.,点N到△ABC三边的距离 相等， ∴.易得AN平分∠BAC,CN平分 ∠ACB,BN平分∠ABC. ∠BAN=20,∠ENA=30°， '.∠BEF=∠BAN+∠ENA=50°. BN平分∠ABC,BN⊥EF, ∴.∠EBN=∠FBN,∠ENB= ∠FNB=90. ∴.∠BEF=∠BFE=50°. .∴.∠EBF=180°-2X50°=80°. AN平分∠BAC,CN平 分∠ACB, ∴.∠BAC=2∠BAN=40°， ∠BCN=2∠ACB. ∴.∠ACB=180°-40°-80°=60. 1 :∠BCN=Z∠ACB=30 '.∠FNC=∠BFE-∠BCN=20°. 5.C 6.10解析：连接CI.在Rt△ABC 中，AB=√62+82=10.AI平分 ∠CAB,BI平分∠ABC,∴.点I到三 角形三边的距离相等，设此距离为x. :'S△AB+S△B+S△AC=S△ABC, 1 1 1 .2xX10+2x×8+2x×6 名×6×8，解得x=2.1G=2 Saw号×2X10=i 7.(1)∠ACB=100, ∴.∠ACD=180°-∠ACB=80. EH⊥BD,∠CEH=50°， ..∠DCE=90°-∠CEH=40°. ∴.∠ACE=∠ACD-∠DCE=40. (2)如图，过点E作EM⊥BF于点 M,作EN⊥AC于点N. :BE平分∠ABC,EM⊥BF, EH⊥BD, ∴.EM=EH. 由(1)可知，∠ACE=∠DCE=40°， 即CE平分∠ACD :EN⊥AC,EH⊥BD, .EN=EH. ∴.EM=EN. ·EM⊥BF,EN⊥AC, .AE平分∠CAF. (3)由(2)，得EM=EH=EN ·S△AD=24, ∴.S△AE十S△E=24. 合AC·EN+CD·EH=24, 即2EM·(AC+CD)=24. ,AC+CD=16, .EM=3. AB=10, :△ABE的面积为号AB·EM= 1 2 ×10×3=15. (第7题) 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例19解析：设这个正多边形的 边数是n,则其内角和为(n一2)× 180°.根据题意，得360°+360°=(n 2)×180°，解得n=6..这个正多边 形为正六边形.，正六边形对角线的 条数为-9这个正多边形有 9条对角线. [变式](1)设与这个外角相邻的内 角度数为x°，则这个外角的度数为 1 32 根据题意，得x+3x=180,解得 x=135. -1×135=45. 3 .这个外角的度数为45° (2)正确， 理由：正多边形的外角和为360°， .这个正多边形的边数为360°÷ 45°=8. .这个正多边形的内角和为(8 2)×180°=1080°. .1080>1000°， 嘉嘉的猜想正确。 典例2(1).·DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE DE//BC, ∴.∠CDE=∠DCF,∠ADE=∠B. .∠DCB=∠B '.△BCD为等腰三角形 (2)过点D作DM⊥BC于点M. ,△BCD为等腰三角形， 1 ·BM=MC=2BC=6. ∴.FM=BM-BF=4. ,∠DFM=45, .∴.∠DFM=∠MDF=45. .'.DM=MF=4. ∴.DF=√MF2+DM=42. [变式](1)△ABC,△CDE都 是等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=60° ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+ ∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 14 在△ACD和△BCE中， (AC=BC, X∠ACD=∠BCE, CD=CE, .∴.△ACD≌△BCE. ∴.AD=BE. (2)△ACD≌△BCE, .∠ADC=∠BEC. :△CDE是等边三角形， ∴.∠CED=∠CDE=60°. '.∠ADE+∠BED=∠ADC+ ∠CDE+∠BED=∠BEC+6O°+ ∠BED=∠CED+60°=60°+ 60°=120 ∴.∠DOE=180°-（∠ADE+ ∠BED)=180°-120°=60. (3).△ACD2△BCE, .∠CAD=∠CBE. :M,N分别是线段AD,BE的 中点， AM=方AD,BN=2E, .AD=BE, .AM=BN. 在△ACM和△BCN中， (AC=BC, ∠CAM=∠CBN, AM=BN, '.△ACM≌2△BCN」 ∴.CM=CN,∠ACM=∠BCN. 又∠ACB=60, ∴.∠ACM+∠BCM=60°. ∴.∠BCN+∠BCM=60°，即 ∠MCN=60 又.CM=CN, ∴.△MNC是等边三角形 典例3(I),BD⊥DE,CE⊥DE, ∴.∠ADB=∠CEA=90° 在Rt△ABD和Rt△CAE中， (AB=CA, AD-CE. ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE ∴.∠DBA=∠EAC. ∠DAB+∠DBA=9O°，第一章三角形的证明及其应用 5角平分线 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理，“答案与解析”见P12 山基础进阶 幻素能攀升 1.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点5.新考法·操作实践题如图，在△ABC中， D在OB上.若PC=2,OD=5,则△POD的 ∠ABC=90°.根据尺规作图痕迹，有下列 面积为 ( ) 结论：①BD=DE;②∠CDE= A.2 B.4 C.5 D.10 ∠CAB;③AB+EC=AC.其中，正确的是 () A.① B.② C.③ D.①②③ (第1题) (第2题) 2.如图，下列各点中，到∠AOB两边的距离相 等的是 A.点PB.点QC.点MD.点N (第5题) (第6题) 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD= 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的 ∠DAB=∠B,BC=24,则点D到AB的距 平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于 离为 点E,DF⊥AB于点F.若AE=5,DF=3, 则S△DE的值为 () A.6 B.7 C.8 D.9 (第3题) 7.如图，在△ABC中，∠B=42°，AD⊥BC于 4.如图，C是∠MON内一点，CA⊥OM于点 点D,E是BD上一点，EF⊥AB于点F.若 A,CB⊥ON于点B,连接AB,∠CAB ED=EF,则∠AEC的度数为 ∠CBA.求证：OC平分∠MON. (第7题) (第8题) (第4题) 8.如图，在△ABC中，CD是∠ACB 的平分线，延长CD至点E,使 DE=CD,连接BE.若AC- 2BC,△BDE的面积为2，则△ABC的面积 是 25 拔尖特训·数学（北师版）入年级下 9.如图，∠AOB=60°，点C在OB上 11.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD,BE (1)尺规作图：在∠AOB内部作点P,使点P 为△ABC的角平分线，连接DE, 到∠AOB的两边OA,OB的距离相等，且 (1)求证：点E到DA,DC的距离相等， PO=PC(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求∠DEB的度数. (2)在(1)的条件下，点P到OA的距离是 4cm,求PC的长. (第11题) (第9题) 窃思维拓展 12.如图，△ABC的角平分线BD=1, ∠ABC=120°，BC,AB的长分别 记为a,c. 10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E是 (1)当c=2时，求a的值. BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是 (2)求△ABC的面积（用含a,c的代数式 ∠DAB的平分线. 表示) (3)求证：a,c之和等于a,c之积. B (第12题)》 (第10题) 26 第一章三角形的证明及其应用 第2课时角平分线的性质的应用 ●“答案与解析”见P13 山基础进阶 幻素能攀升 1.如图，某村要在三条公路围成的一块三角形 5.如图，O是△ABC的三条角平分线的交点， 平地（记作△ABC)上修建一个度假村.要使 连接OA,OB,OC.若△OAB,△OBC, 这个度假村到三条公路的距离相等，则度假 △OAC的面积分别为S1,S2,S3,则下列关 村应建在△ABC的 系正确的是 () A.三条中线的交点处 A.S1>S2+S3 B.S1=S2+S3 B.三条角平分线的交点处 C.S1<S2+S3 D.无法确定 C.三条高线的交点处 D.以上都不对 (第5题) (第6题) 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, (第1题) (第2题) (第3题) BC=8,AI平分∠CAB,BI平分∠ABC,过 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 点I作IG⊥AB于点G.若BG=6,则△ABI 线的交点P恰好在边BC的高AD上，则 的面积为 △ABC一定是 () 7.如图，在△ABC中，∠ACB=100°， A.直角三角形 B.等边三角形 点D在BC的延长线上，∠ABC的 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 平分线交AD于点E,过点E作 3.如图，△ABC的周长是20，BO,CO分别平 EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50°. 分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D,且 (1)求∠ACE的度数 OD=3,△ABC的面积是 (2)求证：AE平分∠CAF, 4.如图，N是△ABC内的一点，且点N到 (3)若AC+CD=16,AB=10,且S△AcD= △ABC三边的距离相等，过点N作EF⊥ 24,求△ABE的面积 BN,分别交AB,BC于点E,F,若∠BAN= 20°，∠ENA=30°，求∠FNC的度数， (第7题) (第4题) 27