第一章 1 三角形内角和定理-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

本册教材思维导图 三角形内角和定理 三角形内角和定理的推论 三角形内角和 定理 多边形内角和定理 多边形外角和定理 等腰三角形的性质与判定 三 反证法 等腰三角形 等边三角形的性质与判定 形 含30°角的直角三角形的性质 证 直角三角形的性质与判定 及其 逆命题与逆定理 直角三角形 直角三角形全等的判定 用 线段的垂直 线段垂直平分线的性质及应用 平分线 角平分线的性质及应用 角平分线 不等式的概念 不等式的解及解集 不等式及其基本性质 不等式的基本性质 一元一次不等式的概念 一元一次不等式的解法 “元一次不等式 等 一元一次不等式的应用 不等式与函数的关系 元一次不等式 与一次函数 不等式与函数的综合应用 组 一元一次不等式组的概念 一元一次 一元一次不等式组的解法 不等式组 一元一次不等式组的应用 平移的概念与性质 平移变换与坐标的变化 图形的平移 平移作图 旋转的概念与性质 图形的旋转 图形的 旋转变换与作图 中心对称与中心对称图形及性质 中心对称 移与 中心对称图形的作图 襲 分析图案形成过程 图案设计 能按照要求设计优美的图案 因式分解的概念、与整式乘法的关系 因式分解 提公因式法 因式分解 的方法 公式法 展开分解法 因式分解 判断整除问题、最值问题 的应用 判断三角形的形状 用于简便计算、解决实际问题 分式的概念、分式有无意义的条件 及分式的值为0的条件 分式的基本性质、分式的化简及最简 分式 分式 分式的四则运算及 分式的乘方运算 分式的运算 分式的混合运算及 级 册 分式与分式方程 分式的化简求值 分式方程的概念 分式方程 分式方程的解法 分式方程的应用 中心对称图形 平行四边形 的性质 边、角及对角线 的性质 平行 等腰梯形的性质 四边形 根据边的关系判定 平行四边形 的判定 根据对角线的关系 平行四边形 判定 平行线之间的距离 三角形的 三角形中位线的概念 中位线 性质：三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边的一半 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时 三角形的内角 “答案与解析”见P1 白基础进阶 国素能攀升 1.一个三角形的三个内角的度数之比为2： 6.(2025·西安段考)如图，在△ABC和△ADE 3：7,则这个三角形一定是 ( 中，AC=AE,∠C=∠E.添加下列一个条 A.等腰三角形 B.直角三角形 件，仍无法判定△ABC≌△ADE的是() C.锐角三角形 D.钝角三角形 A.∠B=∠D B.BC=DE 2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放（点A, C.∠1=∠2 D.AB-AD O,B在同一条直线上)，连接CD.若∠1 40°，则∠2的度数为 A.45°B.55 C.65° D.75 (第6题) (第7题) 7.(2025·黔西南期末)将一副三角尺（∠C= 30°，∠F=45)按如图所示的方式摆放，使点 (第2题) (第4题) D落在边AC上，DF∥BC,则∠DGE的度 3.(2025·重庆长寿期末)在△ABC中，如果 数是 () ∠A是∠B的两倍，且∠C的度数比∠A的 A.75°B.70° C.65°D.60 度数大30°，那么△ABC是 三角形 8.如图，在△ABC中，∠ABE=∠EBD= (填“锐角”“直角”或“钝角”). ∠CBD,∠ACE=∠ECD=∠BCD,BE与 4.如图，将△ABC分别沿DE,HG,EF翻折， CE交于点E,BD与CD交于点D.若 使得三个顶点均落在点O处.若∠1=130°， ∠BEC=70°，则∠BDC的度数为() 则∠2的度数为 A.100°B.125°C.142°D.110° 5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AC与 DE相交于点O,AB=DE,AB∥DE, BE=CF. (1)求证：ACDF. (2)若∠B=65°，∠F=35°，求∠E0C的度数. (第8题) (第9题) 9.转化思想如图，∠A=70°，∠B=41°，∠C 29°，则∠D+∠E= (第5题) 10.将一块含45°角的三角尺ABC和 圆规按如图所示的方式摆放在同 一水平桌面上，圆规的两脚恰好接答 2 注：标”★”的题目设有”方法归纳标“马错题”的设有“马错管示”评见~答案与解析” 触三角尺的一组直角边.已知∠1=16°， ∠2=31°，则∠3= D E B (第10题) 11.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB, AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落 在点A'处， (1)若∠B=50°，∠C=60°，求∠A的度数. (2)若∠1+∠2=130°，求∠A的度数， (第11题) 12.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠C 30°，AD⊥BC,垂足为D,在边AC上取一 点F,使AF=AB,AE平分∠BAC,连接 EB,EF (1)求证：FE=BE. (2)求∠DAE的度数. (第12题) 第一章三角形的证明及其应用 物思维拓展 13.新考法·探究题(2025·佛山南海段 考)(1)如图①，线段AB,CD相交 于点O,连接AC,BD,则∠A ∠C,∠B,∠D之间的数量关系是 (2)如图②，∠CAB,∠BDC的平分线AP, DP相交于点P,与CD,AB分别交于点 M,N.探究∠B,∠C,∠P之间的数量关 系，并证明 (3)若∠CAB和∠BDC的三等分线AP和 DP相交于点P,与CD,AB分别交于点M, N,AB,CD交于点O,其中∠CAP= 2∠PAO,∠ODP=2∠PDB,则∠B,∠C, ∠P之间又有怎样的数量关系？请说明 理由. ② (第13题) 3 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第2课时 自基础进阶 1.如图，∠AOB的度数可能是 A.110°B.65 C.70 D.80° 4A 3之B 0 B (第1题) (第2题) 2.新情境·现实生活(2025·烟台)如图所示为 一款儿童小推车的示意图.若AB∥CD, ∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为() A.40°B.35°C.30°D.20° 3.如图，一艘轮船在海上向正东方向行驶，在A 处测得灯塔C位于其北偏东60°方向，在B 处测得灯塔C位于其北偏东25°方向，则 ∠ACB= 东 60 (第3题) 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC, AC上，连接AD,BE相交于点F. (1)求证：∠AFB>∠C (2)若∠AFB=150°，∠1+∠2=95°，求∠C 的度数 B D (第4题) 4 三角形的外角 幻素能攀升 5.新情境·科技民生如图所示为嘉禾在珠海航 展上观察到的无人机简易模型示意图，其中 ABEF,CG⊥EF.若∠ACD=105°，∠B= 69°，则∠A+∠BDC的度数是 () A.15° B.21 C.36° D.48 A B D C D EGF (第5题) (第6题) 6.(2025·承德期末)某零件的形状如图所示， 按规定，当∠A,∠B,∠D的度数分别为 90°，20°和30时，该零件才合格.王师傅量得 ∠BCD=150°.有下列结论：①该零件不合 格；②若∠A=90°，则当∠B与∠D的度数 分别减少2°时，∠BCD的度数会减少2°.下 列判断中，正确的是 () A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确 7.如图，∠ABD,∠ACD的平分线交于点P.若 ∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为( ) A.15°B.20°C.25 D.30 (第7题) (第8题) 8.转化思想如图，D,E,F分别是△ABC三边 延长线上的点.若∠D+∠E+∠F=107°， 则∠1+∠2+∠3的度数为 9.如图，BD为∠ABC的平分 线，点E在BC的延长线上， CD为∠ACE的平分线，与 BD交于点D.若∠D=28°， (第9题) 则∠A= 10.新情境·现实生活下图为可调躺椅的示意 图，AE与BD的交点为C,∠A=50°， ∠B=60°，∠E=30°，且∠A,∠B,∠E的 度数保持不变.∠D=20°，为了舒适，需调 整∠D的度数，使∠EFD=108°，则∠D应 怎样调整？ 0 人50°60 B (第10题) 11.★如图，在△ABC中，∠ACB>∠B,AD平 分∠BAC,P为线段AD上一点，PE⊥ AD,交BC的延长线于点E. (1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的 度数. (2)猜想∠E与∠B,∠ACB之间的数量关 系，并加以证明. D (第11题) 第一章 三角形的证明及其应用 思维拓展 12.新考法·探究题如图①所示为五角 形ABCDE. (1)计算∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E的度数. (2)如图②，当点B向右移动到AC上时， 请计算∠A+∠EBD+∠C十∠D+∠E 的度数， (3)如图③，当点B向右移动到AC的另一 侧时，(1)的结论成立吗？ (4)如图④，当点B,E移动到∠CAD的内 部时，(1)的结论成立吗？ ③ ④ (第12题) 5 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第3课时 多 自基础进阶 1.(2025·保定定兴期末)下列角度不可能是多 边形内角和的为 A.180°B.270°C.360°D.900° 2.(2025·邯郸丛台期末)菲菲为了推理出多边 形的内角和，将多边形的某一个顶点分别与 其他各顶点相连，这样把原来的多边形分割 成了5个三角形，则这个多边形的内角和为 A.720° B.900° C.1800° D.1440° 3.(2025·登封期末)如图，天坛祈年殿的圆形 三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形， 呼应我国传统历法中的“十二月”与“十二时 辰”.该底座所有内角之和为 (第3题) (第4题 4.已知一个正十二面体的每个面都是正五边 形，如图所示为其表面展开图，则∠α为 5.如图，求∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F, ∠G,∠H,∠I的度数之和. (第5题)》 6 边形的内角和 幻素能攀升 6.新考法·操作实践题用“筝形”和“镖形”两种不 同的瓷砖铺设地面，如图①所示为铺设后的 部分地面，则图②中“筝形”瓷砖中内角 ∠BCD的度数为 ) 筝形 镖形 ① ② (第6题) A.120°B.135°C.144°D.1509 7.(2025·广元)如图，在正八边形 ABCDEFGH中，对角线HB,AC交于点 K,则∠AKH的度数为 () A.30° B.35° C.40°D.45° H D (第7题) (第8题) 8.新考法·探究题把正五边形和正六边 形按如图所示的方式放置，则∠α的 度数是 ( A.48° B.42°C.58 D.52 9.★若将一个多边形过其顶点剪去一个角后，所 得多边形的内角和为720°，则原多边形的边 数是 10.(2025·吉林)如图，正五边形ABCDE的边 AB,DC的延长线交于点F,则∠F的度数 为 (第10题) 11.（2025·陕西模拟)如图，正六边形 ABCDEF由3个全等的五边形无缝隙、不 重叠地拼接而成.已知∠OPB=84°，则 ∠CQ)的度数为 D (第11题) 12.小刚同学在进行多边形内角和的计算时，求 得一个多边形的内角和为1125° (1)小芳同学看到他的计算结果后，马上就 说小刚的计算肯定有误，你能知道小芳是如 何判断的吗？ (2)小刚重新检查后，发现自己真的少加了 一个内角，请问这个内角的度数是多少？ (3)小刚求的这个多边形是几边形？ 13.如图，在七边形ABCDEFG中，与 ∠1，∠2，∠3，∠4四个角相邻的补 角的和为180°，与∠5相邻的补角 为60°，BP,DP分别平分∠ABC,∠CDE, 求∠BPD的度数 D (第13题) 第一章三角形的证明及其应用 粉思维拓展 4.(2025·南安期末)如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD 于点E,DF平分∠ADC交AB于点F. (1)若∠ADC=130°，求∠CBE的度数 (2)探究DF与BE的位置关系，并说明 理由. (第14题) 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第4课时多 自基础进阶 1.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是 外角和的4倍，则该多边形的边数为( A.10B.11 C.12D.13 2.(2025·长春南关模拟)如图，小明不小心将 树叶遮盖住了数学作业本中一个正n边形的 一部分.若直线AM,BN所夹锐角为36°，则n 的值是 A.9 B.8 C.5 D.4 M B D (第2题) (第3题)》 3.(2025·榆树期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度 数是 4.(2025·齐齐哈尔建华期中)若多边形的每 个外角都等于45°，则从该多边形的一个顶点 出发一共可以引出 条对角线 5.★(2025·邯郸涉县期末)已知一个正多边形 的边数为n. (1)若n=8,求这个正多边形的内角和. (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相 邻的外角的6倍还多12°，求n的值. 8 边形的外角和 幻素能攀升 6.如图，六个正九边形中间可以拼接出一个美 丽的图案，则图中∠ABC的度数为() A.60° B.70°C.80°D.90° (第6题) (第7题) 7.一个正五边形和一个正六边形都有一边在直 线L上，且有一个公共顶点O,其摆放方式如 图所示，则∠1的度数是 () A.70°B.60 C.50 D.48 8.(2025·青岛市南期末)小明同学用 如图①所示的六张全等纸片拼接出 图②，图②的外轮廓是正六边形.如 果用若干张纸片按照图③所示的方法拼接， 外轮廓是正n边形，那么n的值为 ( ② ③ (第8题) A.7 B.8 C.9 D.10 9.若一个正多边形的内角和与它的外角和之 和是1260°，则这个正多边形的边数是 10.如图，∠1，∠2，∠3为六边形ABCDEF的 外角，点D在直线L上，AF的延长线交直 线1于点O.若∠1+∠2+∠3+∠4=220°， 则∠DOF的度数为 D (第10题) 11.将一张五边形纸片的一个内角剪去，所得多 边形的内角和与外角和的度数分别是多少？ 小亮说：“五边形有5个内角，剪去1个后剩 4个内角，也就是变成了四边形，故内角和 与外角和均为360°.”你认为小亮的说法全 面吗？请说明理由. 12.如图，小东在体育场的中间位置，从点O出 发，前进5米后向右转15°，再前进5米后向 右转15°.…一直这样走下去，小东恰好走 回点O (1)在这个过程中，小东一共需走多少米？ 走过的路径是一个什么图形？ (2)求这个图形的内角和， 0 二L16-- (第12题) 第一章三角形的证明及其应用 思维拓展 13.转化思想如图，∠G=40°，求∠H十∠1十 ∠J+∠K+∠L+∠M+∠N+∠O+ ∠P+∠Q+∠R的度数. (第13题) 14.一个正m边形恰好被m个正n边 形围住（无重叠、无间隙，如当m 4,n=8时，如图所示).若m=3, 求n的值. (第14题)第一章三角形的证明 及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形的内角 1.D2.C3.直角4.50 5.(1)AB∥DE, .∠B=∠DEF BE=CE. ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, ∠B=∠DEF, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF. .∠ACB=∠F. .AC//DF. (2)由(1)，得∠B=∠DEF, ∠ACB=∠F ∴.∠DEF=∠B=65,∠ACB= ∠F=35 在△EOC中，∠EOC=180°- ∠DEF-∠ACB=180°-65°- 35°=80. 6.D7.A 8.B解析：∠BEC=70°， ∴.∠EBC+∠ECB=180°- ∠BEC=110°.由题意，易得 ∠DBC=是∠EBC,∠DCB= 2∠PCB.∠DBC+∠DCB= ∠PRC+2∠BCB=号（∠EBC+ ∠ECB)=55°..∠BDC= 180°-（∠DBC+∠DCB)=125°. 9.40°解析：连接BC.∠A 70°，.∠ABC+∠ACB=110°. ∠AB0=41°，∠ACO=29°， ∴.∠OBC+∠OCB=110°-41° 29°=40°.∴.易得∠D+∠E= ∠OBC+∠OCB=40°. 10.43°解析：连接E℉.由题意，可 知∠C=90°，∴.∠CEF+∠CFE= 180°-∠C=90°.又：∠1=16， ∠2=31°，∴.∠DEF+∠DFE= 16°+90°+31°=137°..∴.∠3=180° (∠DEF+∠DFE)=43°」 11.(1)∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠A=180°-（∠B+∠C)= 180°-(50°+60)=70°. (2)由折叠的性质，可知∠AED ∠A'ED,∠ADE=∠A'DE. ∴.∠AED+∠ADE=∠A'ED+ ∠A'DE=180°-∠A. .∠1+∠2=180°-∠AED ∠A'ED+180°-∠ADE-∠A'DE= 360°-2(180°-∠A)=2∠A. 1 ·∠A=2∠1+∠2)=65 12.(1),AE平分∠BAC, ∴.∠FAE=∠BAE. 在△AFE和△ABE中， (AF=AB, ∠FAE=∠BAE, AE=AE, ∴.△AFE≌△ABE. .'FE=BE (2)在△ABC中，∠ABC=70°， ∠C=30°， ∴.∠BAC=180°-（∠ABC+ ∠C)=80° AE平分∠BAC, &∠BAE=号∠BAC=4. :AD⊥BC, '.∠ADB=90 在Rt△ABD中，∠ABC=70°， ∴.∠BAD=90°-∠ABC=20. ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=20. 13.(1)∠A+∠C=∠B+∠D. (2)∠B+∠C=2∠P. :∠CAB,∠BDC的平分线AP,DP 相交于点P, ,.设∠CAP=∠OAP=a,∠BDP= ∠ODP=B. 由(1)，得在△ACM和△DPM中， ∠C+∠CAP=∠P+∠ODP,即 ∠C+a=∠P+B①. 1 在△BDN和△PAN中，∠B+ ∠BDP=∠P+∠OAP,即∠B+B= ∠P+a②. ①+②，得∠B+∠C+a+B= 2∠P+a+B,即∠B+∠C=2∠P. (3)∠C+2∠B=3∠P 理由：设∠PAO=a,∠PDB=3,则 ∠CAP=2a,∠ODP=28. 由(1)，得在△ACM和△DPM中， ∠C+∠CAP=∠P+∠ODP,即 ∠C+2a=∠P+23. ∴.∠C-∠P=2(8-a). 由(1)，得在△BDN和△PAN中， ∠B+∠PDB=∠P+∠PAO,即 ∠B+B=∠P+a. B-a=∠P-∠B. ∴.∠C-∠P=2(∠P-∠B),即 ∠C+2∠B=3∠P 第2课时三角形的外角 1.B2.A3.359 4.(1),∠AFB是△AEF的一个 外角， ∴.∠AFB>∠AEF. :∠AEF是△BCE的一个外角， ∴.∠AEF>∠C. ∴.∠AFB>∠C. (2)由题意，得∠AFB=∠AEB+ ∠1，∠AEB=∠C+∠2， ∴.∠AFB=∠1+∠2+∠C. ∠1+∠2=95°， .∠C=55 5.C6.A 7.B解析：如图，延长DC交AB于 点E,设AC,BP相交于点O. ·∠ACD是△ACE的外角，∠A= 50°，∴.∠ACD=∠A+∠AEC= 50°+∠AEC..∠AEC是△BDE的 外角，∠D=10°，∴.∠AEC= ∠ABD+∠D=∠ABD+10. ∴.∠ACD=50°+∠ABD+10°，即 ∠ACD-∠ABD=60°.'∠ABD, ∠ACD的平分线交于点P, ·∠ACP=2∠ACD,∠ABP 3∠ABD.:∠AOB=∠POC, :易得∠P+∠ACD=∠A十 2∠ABD.即∠P=8对-2（∠ACD ∠ABD)=20° (第7题) 8.73°解析：∠D+∠3= ∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+ ∠2=∠ACB,.∠D+∠E+∠F十 ∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+ ∠ACB=180°.∠D+∠E+ ∠F=107°，∴.∠1+∠2+∠3=73. 9.56解析：：BD为∠ABC的平 分线，CD为∠ACE的平分线， ·∠DC=∠ABC,∠DCE= 2∠ACE.:∠DCE=∠DBC十 ∠D,∠ACE=∠ABC+∠A, ∴.∠DBC+∠D=∠IDCE= 日∠AE-2∠AC+∠A. :∠D=3∠A.·∠A=2∠D 2×28°=56° 10.延长EF交CD于点M. :∠ACM=∠CAB+∠CBA= ∠E+∠CME,∠A=50°，∠B=60°， ∠E=30°， ∴.∠CME=80° ∴.∠DMF=180°-∠CME=100°. ∴.∠D=∠EFD-∠DMF=8. ∴.∠D的度数应调整为8 11.(1)·∠B=30,∠ACB=80, .∠BAC=180°-∠B- ∠ACB=70°. ,AD平分∠BAC, ·∠BAD=∠BAC=3S ∴.∠ADE=∠B+∠BAD=65. PE⊥AD, ∴.∠DPE=90°， '.∠E=180°-90°-65°=25 (2)∠E=?(∠ACB-∠B). 设∠B=n°，∠ACB=m°，则 ∠BAC=180°-n°-m. AD平分∠BAC, ∠BAD=2(180°-n°-m). ∴.∠ADE=∠B+∠BAD=°+ 号a8winm0=90+22m PE⊥AD, .∠DPE=90. ∴.∠E=180°-90°-∠ADE= m-n=∠AcB-∠B). 1 一方法归纳 有关角的等式的证明技巧 有关角的等式的证明题，往往 要利用三角形内角和定理或其推 论（直角三角形的两个锐角互余及 外角的性质)或角平分线的定义等 知识点.这类题的证法往往不唯 一，只靠观察一般不能奏效，需要 借助角之间的关系列出等式，用尽 可能少的中间角来表示等式中的 有关角，并利用等式的性质、等量 代换等方法将等式不断变形，逐步 减少中间角的数量，直至全部用有 关角表示，这样便可达到证明的 目的. 12.(1)如图①. ∠A+∠C=∠1，∠B+∠E= ∠2， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠1+∠2+∠D=180°. (2)如图② :∠A+∠C=∠1，∠EBD+ ∠E=∠2， .∠A+∠EBD+∠C+∠D+ ∠E=∠1+∠2+∠D=180°. (3)如图③ ∠A+∠C=∠2，∠B十∠D= ∠1， '.∠A+∠C+∠B+∠E+∠D= ∠1+∠2+∠E=180. 2 .(1)的结论成立 (4)如图④，连接CD ∠B+∠E=∠1，∠1=∠2+∠3， ∴.∠2+∠3=∠B+∠E :∠A+∠ACE+∠2+∠3+ ∠ADB=180°， '.∠A+∠ACE+∠B+∠E+ ∠ADB=180°. ∴.(1)的结论成立. A 2 0 ① ② D ③ ④ (第12题) 第3课时多边形的内角和 1.B2.B3.1800°4.36 5.如图，连接BE,FI. :∠CBE+∠DEB=∠D+∠C, ∠HIF+∠GFI=∠G+∠H, ∴.∠A+∠ABC+∠C+∠D+ ∠DEF+∠GFE+∠G+∠H+ ∠AIH=∠A+∠ABC+∠CBE+ ∠DEB+∠DEF+∠GFE+ ∠HIF+∠GFI+∠AIH=∠A+ ∠ABE+∠BEF+∠EFI+ ∠AIF=(5-2)×180°=540°. (第5题)》 6.C解析：5块“筝形”瓷砖围成 一个正十边形，∠BCD是这个正十边 形的一个内角，.∠BCD=(10一 2)×180°÷10=144°. 7.D解析：八边形ABCDEFGH 为正八边形，.∠HAB=∠ABC (8-2)×180°÷8=6×180°÷8= 135°..'.∠BAC=∠BCA= ∠ABH=∠AHB=(180°-135°)÷ 2=22.5.∴.∠AKH=∠BAC+ ∠ABH=22.5°+22.5=45 8.A解析：如图.由题意，可得 ∠ABC=∠A=(6-2)×180°÷6 120°，∠CBD=(5-2)×180°÷5 108°..∠ABD=120°-108°=12°. .∠a=180°-∠A-∠ABD= 180°-120°-12°=48 B (第8题) 9.6或7解析：多边形的内角和可 以表示成(n一2)·180°(n≥3，且n是 整数)，将一个多边形过其顶点剪去一 个角后，多边形的边可能数量不变，也 可能减少了一条.当边数不变时， (1-2)·180°=720°，解得n=6. .原多边形的边数为6或7 一方法归纳 从多边形中截去一个角的 三种情况 (1)如图①，过多边形的一条 对角线截去一个角，则新多边形的 边数比原多边形的边数少1. (2)如图②，只过多边形的一 个顶点截去一个角，则新多边形的 边数与原多边形的边数相同. (3)如图③，不过多边形的顶 点截去一个角，则新多边形的边数 比原多边形的边数多1. ① ③ 10.36°解析：五边形ABCDE是 正五边形，∴.∠ABC=∠BCD= 108..∠FBC=180°-∠ABC= 180°-108°=72°，∠BCF=180° ∠BCD=180°-108°=72°..∠F= 180°-∠FBC-∠BCF=180°- 72°-72°=36. 11.96°解析：由题意，可知∠B= 1 ∠C=120°，∠POQ= 3 X360°= 120°..∠B+∠C+∠CQ0+ ∠POQ+∠OPB=(5-2)×180°= 540°，∠OPB=84°，.∴.∠CQ0=96°. 12.(1),1125不是180的倍数， ∴.小刚的计算肯定有误 (2)设此多边形的内角和为x,则 1125°<.x<1125°+180°，即180°× 6+45°<x<180°×7+45 x为多边形的内角和， ,.x是180的倍数 ∴.x=180°×7=1260. 1260°-1125=135， ∴.这个内角的度数是135. (3)设这个多边形是n边形(n≥3且 n是整数). ∴.(n-2)×180°=1260. .n=9. ∴.这个多边形是九边形 13.:在七边形ABCDEFG中，与 ∠1，∠2，∠3，∠4四个角相邻的补角 的和为180°，与∠5相邻的补角 为60°， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=4×180° 180°=540°，∠5=120° .∠ABC+∠CDE=(7-2)X 180°-540°-120°=240°」 :BP,DP分别平分∠ABC, ∠CDE, ∴.∠CBP= 1 2 ∠ABC,∠CDP= 2∠CDE. ·∠CBP+∠CDP=(∠ABC+ ∠CDE)=120°. ∴.∠BPD=360°-∠5-（∠CBP+ 3 ∠CDP)=360°-120°-120°=120°. 14.(1)四边形ABCD的内角和 为(4-2)×180°=2×180°=360°，即 ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC= 360°，∠A=∠C=90°，∠ADC= 130°， ∴.∠ABC=360°-∠A-∠C ∠ADC=360°-90°-90°-130°= 50°. :BE平分∠ABC, :∠CBE=2 1 ∠ABC= 2 50°=25. (2)DF∥BE. 理由：在四边形ABCD中，∠A= ∠C=90°， ∴.∠ABC+∠ADC=360°-90°- 90°=180. :BE平分∠ABC,DF平 分∠ADC, 1 ∠ABE=2∠ABC,∠ADF= 2∠ADC. :∠ABE+∠ADF=(∠ABC+ 1 ∠ADC)=2X180=90°， 在Rt△ADF中，∠ADF+ ∠AFD=90°， ∴.∠AFD=∠ABE ∴DFBE. 第4课时多边形的外角和 1.A2.C3.300 4.5解析：根据题意，得这个多边形 的边数为360°÷45°=8..从这个多 边形的一个顶点出发一共可以引出对 角线的条数为8-3=5. 5.(1)(8-2)×180°=1080° 答：这个正多边形的内角和为1080°. (2)设这个正多边形的每个外角的度 数为x°，则每个内角的度数为(6x十 12)°. .x°+(6x+12)°=180，解得 x=24. .n=360°÷24°=15. 方法归纳 巧用外角和的不变性 解决内角问题 多边形的外角和是一个固定 值，与多边形的边数无关，若多边 形的每个外角都相等，则“每个外 角的度数×外角的数目（或多边形 的边数)=360”，据此“每个外角的 度数”或“外角的数目”这两个量中 任知一个可求另一个.若利用多边 形相邻的内外角互补，则可以将多 边形的内角问题转化为外角问题， 从而使问题简捷获解 6.C解析：正九边形一个外角的度 数为260=40，题图中∠ABC由两 0 个外角组成，∴.∠ABC的度数为80° 7.D解析：，正多边形的各外角都 相等，外角和为360°，∴.正五边形的 一个外角的度数为360°÷5=72°，正 六边形的一个外角的度数为360°÷ 6=60°..∠1=180°-72°-60°= 48. 8.C解析：，题图②的外轮廓是正 六边形，正六边形的每一个内角的度 数为6-2)X180°=120，.△ABC 6 的内角∠ACB=120°-80°=40°. .另一个内角∠BAC=180°-80°一 40°=60°.根据拼图可知，题图③所拼 成的正边形的一个内角的度数为 80°+60°=140°，∴.与这个内角相邻 的外角的度数为180°一140=40° 360° ·这个正m边形的边数为0=9. 9.7解析：设正多边形的边数为n, 则180°×(1-2)+360°=1260°， .n=7..这个正多边形的边数 是7. 10.40°解析：如图，∠1+∠2十 ∠3+∠4+∠5=360°，∠1+∠2+ ∠3+∠4=220°，.∠5=140°. ∴.∠D0F=180°-∠5=180°- 140°=40° A 4 D 0 (第10题) 11.小亮的说法不全面. 理由：五边形被剪去一个内角后可能 变成三种多边形：①四边形，内角和 为360°；②五边形，内角和为540°： ③六边形，内角和为720 而外角和都不变，仍为360°， 12.(1):从0点出发，每走5米后 向右转15°， ,.360°÷15°=24 24×5=120(米)， .小东一共需走120米，走过的路径 是一个边长为5米的正二十四边形. (2)这个图形的内角和为(24一2)× 180°=3960. 13.由题意，得∠GAF=∠G+∠H, ∠ABI=∠I+∠J,∠BCK=∠K十 ∠L,∠CDM=∠M+∠N, ∠DEO=∠O+∠P,∠EFQ= ∠Q+∠R. :∠GAF+∠ABI+∠BCK+ ∠CDM+∠DEO+∠EFQ=360°， ∴.∠G+∠H+∠I+∠J+∠K+ ∠L+∠M+∠N+∠O+∠P+ ∠Q+∠R=∠GAF+∠ABI+ ∠BCK+∠CDM+∠DEO+ ∠EFQ=360°. 又.∠G=40°， ∴.∠H+∠I+∠J+∠K+∠L+ ∠M+∠N+∠O+∠P+∠Q+ ∠R=360°40°=320°. 14.当m=3时，正三角形每个外角 的度数是360°÷3=120°，每个内角的 度数是180°-120°=60」 正三角形恰好被3个正n边形 围住， “正n边形每个内角的度数是了× (360°-60)=150°. ∴正n边形每个外角的度数是 4 180°-150°=30° .正n边形的边数n=360÷30=12. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 与等边三角形的性质 1.B2.B 3.59或31 易错警示 解决关于等腰三角形的问题时 要注意分类讨论 等腰三角形的角有顶角和底 角两种情况，边有腰与底两种情 况，形状有锐角三角形、直角三角 形、钝角三角形三种情况解决相 关问题时，要注意考虑周全，明确 问题是因边不确定，或是因角不确 定，或是因顶点不确定，或是因高 不确定而引起分类讨论，从而避免 错解或漏解 4.30° 5.(1),'△ABC是等边三角形，BD 是中线，AB=10, .AC=BC=AB=10,AD=CD= 3Ac-5 CE=CD, .CE=5. ∴.BE=BC+CE=15. (2),△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60° CE=CD, 1 ·.∠E=∠CDE=2∠ACB=30, 6.B 7.B 解析：如图，连接DC. △ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=60°，AC=BC.在△ACD AD-BD, 和△BCD中，AC=BC,'.△ACD2 CD-CD, △BCD.·∠1=∠2=2∠ACB= 30°.BD平分∠PBC,∴.∠3 ∠4.在△BDP和△BDC中，