第四章 因式分解 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第四章整合拔尖 知识体系构建 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式 因式分解 多项式 几个整式乘积的形式 整式乘法 与整式乘法的关系 提公因式法 依据。am十bm十cm=m(a十b+c) 因式分解 注意 找公因式。系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积 提取公因式后，括号内合并同类项前的多项式与原多项式的项数 提公因式。相同 公式法 逆用平方差公式a2-b=(a+b)(a-b) 逆用完全平方公式。a+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b=(a-b) 步骤 提有公因式的先提公因式 二套。套用公式 三检查检查各因式的分解结果是否彻底 9高频考点突破 考点一○因式分解与整式乘法 考点二 用提公因式法与公式法分解因式 典例1(2025·深圳期中)下列各式中，从左到 典例2分解因式： 右的变形属于因式分解且正确的是 (1)9x2-16y2. (2)ax4-ay. A.a5b3=ab·a4b2 B.x2-x-6=(x-3)(x+2) C.2x2-y2=(2x+y)(2x-y) D.2x(x+y)-6y(x+y)=(x+y)(2x-6y) [变式]等式x2+(m+k)x+k=(x+2)(.x十 (3)2m2+16m+32. 4)是因式分解吗？请求出k”的值. (4)a2-4b2+12bc-9c2. 80 第四章因式分解 [变式]分解因式： [变式]若a2+b2+2a-4b+5=0,求a,b (1)a2(a-b)+(b-a). 的值. 看到a2+2a可想到如果添上常数1恰好就是 a2+2a+1=(a+1)2,这个过程称为“配方”. 同理，可得b2一4b十4=(b一2)2，恰好把常数5 (2)a3(x-y)+6a2(y-x)+9a(x-y). 分配完 原式可以化为(a+1)2+(b一2)2=0. 由平方的非负性，可得a+1=0且b一2=0，解 得a=-1,b=2. (3)(a2+b2)2-4a2b2. (1)若a2+b2+4a-8b+20=0,求a2+b2 的值 (2)若4a2+b2-20a+6b+34=0,求2a-b 的值. 考点三因式分解的应用 典例3常用的因式分解方法有提公因式、公式 法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解， 如x2一4y2+2x一4y,细心观察这个式子会发 现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因 式，分解过程如下： x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y)…分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)…组内分解 因式 =(x一2y)(x十2y十2)…整体思想提公因式 这种因式分解的方法称为分组分解法，利用这 种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-6.xy+9y2-3x+9y. (2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-b2 ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由. 81 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 综合素能提升 1.(2025·合肥庐阳期末)下列因式分解正确 5.已知A=3x2-12,B=5.x2y3+10xy3,C= 的是 ( (x十1)(x十3)+1，则多项式A,B,C是否有 A.6a.x-3ax2=3(2a.x-a.x2) 公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说 B.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y) 明理由. C.x2+2xy-4y2=(x-2y)2 D.ay2-a=a(y+1)(y-1) 2.(2025·开封通许期末)若m十n一3=0，则 2m2+4mn+2n2-6的值为 A.12B.2 C.3 D.0 3.如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不 同的方法可以计算出长方形的面积.通过分 析图形，可以将多项式m2+4mm+3n2分解6.因式分解：(x2一2x一1)(x2一2x+ 因式为 3)+4. 0 解：设x2一2x=y. n 原式=(y-1)(y十3)十4（第一步） n m C =y2+2y十1（第二步） (第3题) 4.分解因式： =(y十1)（第三步） (1)-12x2y+6.xy-18xy2. =(x2-2x十1)2（第四步）. (1)第二步到第三步运用了 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 (2)9a2(x-y)+4b2(y-x). D.两数差的完全平方公式 (2)因式分解的结果是否彻底？若不彻底， 请直接写出因式分解的最后结果 (3)请模仿以上方法对多项式(x2一4x)· (3)(a+b)2-4(a+b-1). (x2-4x+8)+16进行因式分解. (4)x2-2x-15. 8218t+81=(t+9)2=(x2-6.x+9)2= (x一3)4 专题特训八因式分解的 应用 1.别 解析：原式=(1-2)× (+2)×(1-3)×(+3)× (1-)×(1+)×…× (-)×(+)=× 34 ×…×100 99 101101 100200 2.(1)原式= (55+45)×(55-45) 992+2×99×1+12 100×10100×101 (99+1)2100×10010 (2)原式=999×(999+1)+(685 315)×(685+315)=999×1000+ 370×1000=1000×(999+370)= 1000×1369=1369000. 3.-3 4.原式=-2(m十n). 1 当m十n=1,mn=2时，原式= -2×2×1=-1. 5.原式=2(n+1)(n+2). ,n为正整数， .n+1或n+2必有一个数是偶数 ∴.2(n+1)(n十2)是4的倍数. .当n为正整数时，2(n+1)2十 2(n十1)能被4整除， 6.a2+62+c2=ab+ac+bc, ∴.2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+ (b2-2bc+c2)=0. 整理，得(a-b)2+(a-c)2+(b c)2=0. .∴.a-b=0,a-c=0,b-c=0. .∴.a=b,a=c,b=c. ∴.a=b=c. ∴.△ABC是等边三角形. 7.a=20252025×999=2025× 999×10001=(2024+1)×(1000 1)×10001=2024×1000×10001 2024×10001+1000×10001一 10001, b=20242024×1000=2024× 1000×10001, .a-b=-2024×10001+1000× 10001-10001=(-2024+1000 1)×10001=-1025×10001<0. .a<b. 8.A=x2+4xy+y2-4,B= 4x+4xy-6y-25, ∴.A-B=x2+y2-4x+6y+21= (x-2)2+(y+3)2+8. :(x-2)2+(y+3)2+8≥8， .A-B>0. .A>B. 第四章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B 「变式]是因式分解 .·(x+2)(x+4)=x2+6x+8= x2+(m十k)x+k, m+k=6, m=-2, 解得 k=8, k=8. 典例2(1)(3x+4y)(3x-4y). (2)a(.x2+y2)(x+y)(x-y). (3)2(m+4)2. (4)(a+2b-3c)(a-2b+3c). [变式](1)(a-b)(a+1)(a-1). (2)a(x-y)(a-3). (3)(a+b)2(a-b)2. 典例3(1)原式=（x-3y)2 3(x-3y)=(x-3y)(x-3y-3). (2)△ABC为等腰三角形 理由：a2-b2-ac+bc=0, .(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即 (a-b)(a+b-c)=0. ∴.a-b=0或a+b-c=0. a+b-c>0, ∴.a-b=0,即a=b. '.△ABC为等腰三角形. [变式](1)整理等式，得a2+4a+ 35 4+b2一86+16=0，即(a+2)2+(b- 4)2=0. .a十2=0，b一4=0，解得a=-2, b=4. ∴.a2+b2=(-2)2+4=20. (2)整理等式，得4a2-20a+25+ b2+6b+9=0,即(2a-5)2+(b+ 3)2=0. .2a-5=0,b+3=0,解得a=2.5, b=-3. .2a-b=2.5×2+3=8. [综合素能提升] 1.D 2.A解析：m十1-3=0，∴.m十 n=3..原式=2(m十1)2-6=12. 3.(m+3n)(m+) 4.(1)-6xy(2.x-1+3y). (2)(x-y)(3a+2b)(3a-2b). (3)(a+b-2)2. (4)(x+3)(x-5). 5.多项式A,B,C有公因式. A=3x2-12=3(x+2)(x-2), B=5.x2y3+10xy3=5.xy3(x+2), C=(x+1)(x+3)+1=x2+4x+ 4=(x十2)2， '.多项式A,B,C的公因式为x+2 6.(1)C. (2)不彻底. (x-1)4. (3)设x2-4x=y. 原式=y(y+8)+16=y2+8y+16= (y+4)2=(x2-4x+4)2=(x-2)4. 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的概念 1B解折1-气g之 的分母中均不含有字母，因此它们不 是分式。马织中兰的分好中合 有字母，因此它们是分式，共有3个.