第五章 分式与分式方程 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

25=20(元) ∴.25m+20(m+5)≤600，解得 ,m为整数， .m的值最大为11. ∴.该游客最多购买11个A种挂件. 2.(1)设小刚步行的速度是 x m/min. 由题意，得1200 1200 2.5x =9,解得 x=80. 经检验，x=80是原分式方程的解，且 符合题意 ∴.小刚步行的速度是80m/min. (2)÷1200+1200 802.5X80+2= 23(min),2325, .小刚能在电影放映前赶到电影院 3.设王老师的步行速度为xkm/h, 则王老师骑自行车的速度为 3.x km/h. 根据题意，得3X2+0.5_0.5_20 3.x x601 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，且 符合题意」 .3x=15 ∴.王老师的步行速度为5km/h,骑自 行车的速度为15km/h. 4.由题意，得AB=AC=BC= 60 km,BD=CD-BC=30 km. (1)设甲的速度为xkm/h,则乙的速 度为1.2xkm/h. 由题意，得22十1解得=10 经检验，x=10是原方程的解，且符合 题意 .1.2.x=1.2×10=12, ∴.甲的速度为10km/h,乙的速度为 12 km/h. (2)设甲的速度需是原速的y倍. 由题意，得号-1积 30 ,解得y=2. 经检验，y=2是原方程的解，且符合 题意 .甲的速度需是原速的2倍 5.设小李现在每天需要工作xh,则 原来每天工作(x+2)h. 根据题意，得15×100 x+2 100×(1+20%) ,解得x=8. x 经检验，x=8是原方程的解，且符合 题意 '.小李现在每天需要工作8h. 6.(1)设完成这项工程的规定时间 为x天，则甲工程队需x天完成这项 工程，乙工程队需(x+6)天完成这项 工程 根据题意，得5×（仔+十） x-5 =1,解得x=30. x+6 经检验，x=30是原方程的解，且符合 题意. .完成这项工程的规定时间为 30天 (2)选择方案三. 理由：方案一需付工程款2.4×30= 72(万元). 方案二不能如期完工，不符合题意. 方案三需付工程款2.4×5十1.8× 30=66(万元)： 72>66, ∴选择方案三 第五章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1由题意，可得|16一a2+ (a十4b)2=0,且a十4≠0. .16-a2=0,a+4b=0,a≠一4. .a=4,b=-1. .=4 1 4的平方根为士2 1 [支式]“分式无意义。 ∴.2x十4=0，解得x=-2. ”牛的值为 ∴.y+4=0且y2+2≠0，解得y= -4. .x-2y=-2-2×(-4)=6. 43 典例2 原式= x+2 Lx(x-2) x-1 1 x2(x-2) (x-2)2 x-4 (x+2)(x-2)-x(x-1) x(x-2)2 x2(x-2)_x2-4-x2+x.x x一4 x-2 x一4 x-4.x x-2x-4x-2 ∴.易得x≠0，x≠2且x≠4. 取值不唯一，如当x=3时，原式=3. [变式]原式=( 号+)· (a-2)2 a2 .(a-2)2 a2(a-2)a-1、a2(a-2) a-2 a-1 a2-4=0,a-2≠0，a≠0，a 1≠0， .a=-2. 原式 典例3(1)当m=一1时，原方程可 化为2+1= 方程两边同乘x一1，得2x十x一1= 2 1,解得x=3 经检验，x= 是原方程的解 .x=3 (2)这个说法正确。 理由：当m=一2时，原方程可化为 方程两边同乘x一1，得2x十x一1= 2,解得x=1. 当x=1时，x-1=0, ∴.x=1是原方程的增根。 .原分式方程无解 .这个说法正确. (3)方程两边同乘x一1，得2x十x一 1=-m,即3x=1-m. 方程有解， 1-m x= 3 .·原分式方程的解为正数， .x>0且x≠1. :1">00≠1 3 .'.m<1且m≠-2. [变式](1)原方程去分母，得2x= 3a-2(2-2),解得x=3u+4 6 :分式方程有增根， ∴.x-1=0,解得x=1. 1=3a+4 2 6,解得a=子 (2),分式方程的解为非负数， :3十4≥0且3+4≠1，解得 6 6 3 ·a的取值范围是a≥一 典例4(1)设B款哪吒玩偶的单价 是x元，则A款哪吒玩偶的单价是 2x元. 根据题意，得1600_240=50，解得 2.x x=8. 经检验，x=8是方程的解，且符合 题意 .2x=2×8=16. ∴.A款哪吒玩偶的单价是16元， B款哪吒玩偶的单价是8元. (2)设再次购进个A款哪吒玩偶， 则再次购进(100一m)个B款哪吒 玩偶. 根据题意，得 (100-m2m, 16m+8(100-m)1100, 解得9≤n<号 又：m为正整数， ∴.m的值可以为34,35,36,37. .共有4种进货方案。 [变式](1)设B型号智能机器人的 单价是x万元，则A型号智能机器人 的单价是(x+20)万元. 根据题意，得480= 36 x+20 ,解得 x x=60. 经检验，x=60是所列方程的解，且符 合题意 .x+20=60+20=80. .A型号智能机器人的单价是 80万元，B型号智能机器人的单价是 60万元 (2)设购买m台A型号智能机器人， 则购买(10一m)台B型号智能机 器人 根据题意，得80m+60(10一m)≤ 700,解得m≤5. 设购买的两种型号的智能机器人每周 分拣快递心万件。 ,∴.e=22m+18(10-m)=4m+ 180 4>0, ∴.随m的增大而增大. ∴.当m=5时，取得最大值，此时 10-m=10-5=5. ∴.当该企业购买5台A型号智能机 器人，5台B型号智能机器人时，能使 每周分拣快递的件数最多。 [综合素能提升] 1.A2.B 3.C解析：方程去分母，得mx x=2(1-x).整理，得(m+1)x=2. 原方程无解，∴分两种情况讨论： ①整式方程无解，则m+1=0,解得 m=一1.②分式方程有增根，则x 1=0,解得x=1.把x=1代人(m十 1)x=2,得m十1=2，解得m=1.综 上所述，m=1或m=一1. :解析：由题意，可得★= a-b-a-b 2 (a+b)(a-b) a+b -2b 2 (a+b)(a-b) a+b (a+b)(a-b)_a-b_b-a -2b -b b 5.x=0解析：分两种情况讨论： 当产时 3=x-3 2,解得x=-2.经检验，x=-2是原 分式方程的根，此时二2=一子， 是一<-不符合题 44 意®当2>时2 号2，解得=0，经检验以=0是 原分式方程的根此时，2=一分 1、3 意.综上所述，方程的根为x=0. m 6.原式=23(m-2)= m-2 m2.3(m-2=3m. m-2· m .m=(-1)2025=-1, .原式=3×（一1）=一3. 7.方方的说法不正确. 方方在解答过程中直接将分母去 掉了. b-g=冬-=(m+1D mm+1m(m+1) km k m(m+1)m(m+1) 当m>0时，m(m+1)>0. k>0, ∴.p-g>0,即p>q. 当m<-1时，m(m+1)>0. k>0, ∴.p-q>0,即p>g. 当-1<m<0时，m(m+1)<0. 又k>0, ∴.p-g<0,即p<g. 综上所述，p不一定大于q 8.(1)60 a (2)①由题意，得40X9_60 =0.5, 解得a=600. 经检验，a=600是原分式方程的解， 且符合题意， 40X 60 600 =0.6(元)，600=0.1（元）. ∴.燃油车每千米的行驶费用为 0.6元，新能源车每千米的行驶费用 为0.1元. ②设每年行驶里程为x千米. 由题意，得0.6x十4800>0.1x+ 7500,解得x>5400. ∴.当每年行驶里程大于5400千米 时，买新能源车的年费用更低 9.(1)①③ 2-1+ (3)结果为“和谐分式”. 理由：：52-1÷2-1 x+1 x2-7.x 5.x x-1 x(x一7) x+1 (x+1)(x-1) 5.x x-7 4x+7 x+1 x+1 4x+1)十3=4 3 x+1 x十1' ∴原式的结果为“和谐分式” 第六章 平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、 角的性质 1.A2.C3.130 4.:四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC∥AD,BC=AD=5. ∴.∠D=∠FCE. E是CD的中点， ∴.DE=CE 在△ADE和△FCE中， I∠D=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, ∴.△ADE≌△FCE. .AD=FC=5. .'.BF=BC+FC=5+5=10. 5.B解析：，四边形ABCD是平行 四边形，∴.AB=CD=4.由题意，得 点E在AB的垂直平分线上， ∴.EA=EB.∠B=60°， ∴△ABE是等边三角形..AE= AB=4. 6.C解析：，四边形ABCD为平行 四边形，∴AD∥BC..∠ADB= ∠DBG.由折叠，可得∠A=∠A', ∠ADB=∠BDG,.∠DBG= ∠BDG.又∠1=∠BDG+ ∠DBG=48°，'.∠ADB=∠BDG 24.∠2=48°，.在△ABD中， ∠A=180°-∠ADB-∠2=180° 24°-48°=108°..∠A'=∠A= 108. 7.12解析：，平行四边形是中心 对称图形，∴.涂色部分的面积等于 △BOC的面积.：四边形ABCD是 平行四边形，且AD=10,∴.AO= OC,BC=AD=10..AB=6,AC= 8,∴.AB2+AC2=BC2..△ABC 是直角三角形，∠BAC=90. 1 1 .1 S△=2S△x=2X2X6X 8=12. 8.26°解析：设∠BAC=x..四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD BC,AD∥BC,CD∥AB..·AE= BE=AD=BC,.∴.∠BAC= ∠EBA=x,∠BEC=∠BCA. .∠BEC=∠EAB+∠EBA=2x, ∴.∠DAC=∠ACB=2x. .∠DAB=3x.CD∥AB, ∴.∠D+∠DAB=180..3.x+ 102°=180°..x=26 .∠BAC=26. 9.(1),四边形ABCD是平行四 边形， .AD=CB,AD//CB. .∴.∠DAF=∠BCE. AE=CF, ∴.EF+AE=EF+FC,即AF= CE. 在△ADF和△CBE中， AF=CE, ∠DAF=∠BCE, AD=CB, .∴.△ADF≌△CBE (2)·△ADF≌△CBE, .∠AFD=∠CEB. ∠AFD=80°， ∴.∠CEB=80. :∠BCE=30°， ∴.∠CBE=180°-∠CEB ∠BCE=70° 10.(1).四边形ABCD是平行四 边形， .AD//CB,AB//CD. '.∠DAB+∠CBA=180. 又：'AP和BP分别平分∠DAB 45 和∠CBA .∠PAB+∠PBA= 1(∠DAB+ ∠CBA)=90 ∴.∠APB=180°-（∠PAB+ ∠PBA)=90 (2)·AP平分∠DAB, .∠DAP=∠PAB. AB//CD, .∠PAB=∠DPA. ∴.∠DAP=∠DPA. ∴.AD=DP=5cm. 同理，可得PC=CB=5cm. .'AB=DC=DP+PC=10 cm. 在Rt△APB中，AB=10cm,AP 8cm,∠APB=90°， .BP=√AB2-AP=6(cm). .△APB的周长是6+8+10= 24(cm). 11.(1)∠1=∠2 (2)四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABCH. ∴.∠1=∠CHB. ∠1=∠2， ∴.∠2=∠CHB. .'CB=CH. (3)如图，过点H作HT⊥BC,交BC 的延长线于点T ·四边形ABCD是平行四边形， .AD//CB. ∴.∠AGB=∠2=∠1. .AG=AB=4. AG=2DG, .DG=2. .'BC=AD=CH=6. AB//CH, .∠HCT=∠ABC=60. :∠T=90°， .∠CHT=30. CT=7CH=3. ∴.HT=√CH-CT=35. ·.△BCH的面积=2BC·HT=拔尖特训·数学（北师版）八年级下 第五章整合拔尖 知识体系构建 般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表示成 概念 分式的定义，合的形式.如果B中含有字得，那么称号为分式 分式有意义的条件，分母不为0 分式的值为0的条件。分子为0，分母不为0 性质 分式的基本性质名=台：份，名=签器(m≠0) 分式的约分 :长=骨(c为公因式 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为 分式与分式方程 分式的通分分式的通分 b.dbd 运算 分式的乘法运算，a·c ac b·d=b.c=bc 分式的除法运算。a·c=a‘d=ad 分式的加减法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母的分式 的加减法法则进行计算 分式四则运算及化简、求值 分式方程 定义。分母中含有未知数的方程叫作分式方程 原方程两边都乘各分式的最简公分母，转化为整式方程；解这个 整式方程：检验由这个整式方程所得的根是不是原方程的根，从 解分式方程的一般步骤而判定方程根的情况 列分式方程解应用题的一般步骤是一审、二设、三列、四解、五验、 分式方程的实际应用。六答 S高频考点突破 考点一分式有、无意义及值为零的条件 [变式](2025·衡阳珠晖段考)如果分式2， 典例1若16-a+(a+46)-=0,求a的平 a+4 方根. 无在义衫的值为水工一2的值 104 第五章分式与分式方程 考点二 分式的运算及化简求值 考点三解分式方程 x+2 x-1 2x 典例2 先化简 x2-2x x2-4x+4 典例3已知关于x的分式方 x7+1= x一2x2,再请你用喜爱的数代入求值 x-4 n 1-x1 提示 (1)当m=一1时，求这个分式方程的解. 这是一道分式的混合运算题，运算顺序是先做 (2)当m=一2时，原分式方程无解.这个说法 括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确 正确吗？请判断并说明理由， 定最简公分母并进行通分.做除法时要注意先把除法 (3)若原分式方程的解为正数，求m的取值 运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分 范围. 子、分母能因式分解的先分解，然后约分.取喜爱的数 代入求值时，要注意原式及化简过程中的每一步都有 意义 [变式](2025·宿州埔桥期末)已知关于x的分 式方程，222 (1)若分式方程有增根，求a的值. [变式](2025·遂宁)先化简，再求值： (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值 a+1+。}片其中。满起。 范围。 4=0. 105 拔尖特训·数学（北师版）八年级下 考点四分式方程的应用 [变式](2025·成都成华期中)某快递企业为提 典例4(2025·东营模拟)某经销店购进A款 高分拣效率，拟购买A,B两种型号的智能机器 哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶 人进行快递分拣.已知每台A型号智能机器人 的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比 比每台B型号智能机器人贵20万元，用480万 B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶的单价是 元单独购买A型号智能机器人的数量恰好与用 B款哪吒玩偶的2倍. 360万元单独购买B型号智能机器人的数量 (1)A,B两款玩偶的单价分别是多少元？ 相等 (2)在A,B两款玩偶单价不变的条件下，该经 (1)求A,B两种型号智能机器人的单价. 销店准备再次购进A,B两款玩偶共100个， (2)已知A型号智能机器人每台每周可分拣快 B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量 递22万件，B型号智能机器人每台每周可分拣 的2倍，且总金额不超过1100元，则有多少种 快递18万件，现该企业准备用不超过700万元 进货方案？ 购买A,B两种型号智能机器人共10台，则该企 业选择哪种购买方案，能使每周分拣快递的件数 最多？ 综合素能提升 1.下列说法中，正确的是 C.m÷1 1 1 ·n=m A分式是最筒分式 D.-atb a+b x2+1 3.(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 B若分式之一4。 x-2的值为0，则x=±2 十产=2无解，那么实数m的值是 C.根据分式的基本性质，等式”-mx () 成立 A.m=1 B.m=-1 】格分式3”2中的x,y家扩大到原来的 C.m=1或m=-1D.m≠1且m≠-1 4.练习本上一个正确的式子1一1) 3倍，分式的值不变 a+b a-b) 2.下列分式变形正确的是 ( ★= 。被小明同学不小心滴上墨汁被墨 Aa+1-a2+1B7-ab-7 a aa6-】 汁遮住部分★处的代数式为 106 第五章分式与分式方程 5.对于实数a,b(a≠b),规定符 ②若燃油车和新能源车每年的其他费用分 号Max{a,b}表示a,b中的较大 别为4800元和7500元，则每年行驶里程为 的值，如Max{2,4}=4.方程 多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费 品3是-含的限为 用=年行驶费用十年其他费用)？ 6.(2025·烟台)先化简，再求值： 2+m+m小”中m=(-少 9.定义：如果一个分式能化成一个整 7已知会g名与经>00.且m 式与一个分子为常数的分式的和的 形式，那么称这个分式为“和谐分 一1).方方说：“p>q.”方方的解答过程如 下：力-q=友-A=6(m十1)-km=6. 式”例如，x+1-x-1+2x-1 z-i-x---it:-1- mm+l k>0,∴.力一q>0,即力>q.方方的说法 1+名则是和谱分式 正确吗？为什么？若不正确，请写出正确的 x；②3x十2 1)有下列分式：①+5 解答过程. x2; 千二其中，属和分式 的是 (填序号) ②》将和游分式之2士化成个整式 与一个分子为常数的分式的和的形式： 8.(2025·银川模拟)金师傅近期准备换车，看 x2-2x+2 x-1 中了价格相同的两款国产车.燃油车油箱容 积为40升，油价为9元/升，续航里程为a千 8)判断÷的结果是否 x·x2-7x 米，每干米的行驶费用为0X9元：新能源车 为“和谐分式”，并说明理由. 的电池容量为100千瓦时，电价为0.6元/千 瓦时，续航里程为a千米。 (1)新能源车每千米的行驶费用为 (用含a的代数式表示). (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车 多0.5元. ①分别求出这两款车每千米的行驶费用. 107