1.4　线段的垂直平分线 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.4　线段的垂直平分线 数学八年级（下册）·B 第1课时　线段的垂直平分线(一) 数学八年级（下册）·B 1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　 　。 符号语言: 如图,∵PO垂直平分AB, ∴PA=PB。 2.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的　 　上。  符号语言: 如图,∵PA=PB, ∴点P在AB垂直平分线上。 注:线段的垂直平分线可以看成是与A,B两点的距离相等的点的集合。 相等 垂直平分线 数学八年级（下册）·B 3 如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为M,N。 (1)若△ADE的周长为16,求BC的长; 解:(1)∵DM和EN分别为AB,AC的垂直平分线, ∴AD=BD,EA=EC。 ∵△ADE的周长为16,∴AD+DE+EA=16, ∴BD+DE+EC=16,即BC=16。 数学八年级（下册）·B 4 (2)若∠BAC=108°,求∠DAE的度数。 (2)∵AD=BD,EA=EC, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠EAC。 ∵∠BAC=108°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=72°, ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=72°, ∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=36°。 数学八年级（下册）·B 5 1.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,如果MP和NO分别垂直平分AB和AC,那么∠PAO的度数为　 　。 20° 数学八年级（下册）·B 6 2.(2025·成都七中)在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D为AC上一点,DE⊥AB于点E。 (1)如图1,若E为AB中点时,求证:AD=2CD; (1)证明:如图1,连接BD, ∵DE⊥AB,E为AB中点, ∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°。 ∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°, ∴∠DBC=30°,∴BD=2CD,∴AD=2CD。 数学八年级（下册）·B 7 (2)如图2,若CD=2,DE=1,求△ABC的面积。 (2)解:∵∠C=90°,∠A=30°,DE⊥AB, ∴AD=2DE=2,AB=2BC,∴AC=AD+CD=4。 ∵AB2=BC2+AC2,∴(2BC)2=BC2+42, ∴BC=(负值舍去), ∴S△ABC=AC·BC=×4×=。 数学八年级（下册）·B 8 “风筝飞满天,笑语乐无边”,由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形——筝形。如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形。初步认识筝形后,数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质,小明观察后认为AC垂直平分BD,请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质。 已知:在四边形(筝形)ABCD中,　 ,　 。  求证:　 。  (请把横线上的“已知”“求证”内容补充 完成,并完成后续相应证明过程) 证明:∵AB=AD,CB=CD, ∴点A,C均在线段BD的垂直平分线上, ∴AC垂直平分BD。 AB=AD　 CB=CD　 AC垂直平分BD　 数学八年级（下册）·B 9 3.如图,AB=AC,PB=PC,有下列结论:①EB=EC;②AD⊥BC;③AE平分∠BEC;④∠PBC=∠PCB。其中正确结论的个数为(　　) A.1个　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 D 数学八年级（下册）·B 10 4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,E为AD上一点,求证:∠ABE=∠ACE。 证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,即BD=CD, ∴∠ABC=∠ACB,AD⊥BC, ∴AD是BC的垂直平分线, ∴BE=CE。 ∴∠EBC=∠ECB。 ∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB, 即∠ABE=∠ACE。 数学八年级（下册）·B 11 第2课时　线段的垂直平分线(二) 数学八年级（下册）·B 1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离　 　。  注:锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形内部;直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边中点;钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形外部。 2.尺规作图 (1)作已知线段的垂直平分线: 相等 数学八年级（下册）·B 13 (2)过一点作已知直线的垂线: 已知点P在直线上时,如图1所示; 已知点P在直线外时,如图2所示。 数学八年级（下册）·B 14 (1)如图1,点P为△ABC三边垂直平分线的交点。若∠PAC=20°,∠PCB=30°,则∠PAB=　 　;  (2)如图2,在△ABC中,点O是边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点。若∠BOC=100°,则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为　 　。 40° 50° 数学八年级（下册）·B 15 1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭,要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,凉亭应选的位置是(　　) A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三边的垂直平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 C 数学八年级（下册）·B 16 2.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP。若∠A=48°,则∠BPC= (　　) A.100° B.96° C.90° D.50° B 数学八年级（下册）·B 17 已知三个汽车修理厂A,B,C的位置如图,现要建一个加油站,使加油站到三个汽车修理厂的距离相等,该加油站应建在何处?(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) 解:分别作线段AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点P,则点P即为加油站的位置,如答案图。 数学八年级（下册）·B 18 3.如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E,连接AD,DE。若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为　 　。  16 数学八年级（下册）·B 19 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D。 (1)尺规作图:作AD的垂直平分线,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,连接DE,DF;(不写作法,保留作图痕迹) 解:(1)作图如答案图所示。 (2)在(1)中所作的图形中,求证:AF=DE。补全下列证明过程。 证明:∵EF垂直平分AD, ∴∠AGE=∠AGF=90°,AE=①　 　。  ∵AD平分∠BAC,∴②　 。  在△AEG和△AFG中, ∴△AGE≌△AGF(ASA), ∴④　 ,∴AF=DE。  DE ∠EAG=∠FAG　 AE=AF　 数学八年级（下册）·B 20 $