第七章 复数 综合练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 7.1~7.3 综合练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.若复数z满足i(z＋i)＝2，则复数z的虚部是(　　) A.－3 B.3 C.1 D.0 2.已知a∈R，(1＋ai)i＝1＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－3 D.3 3.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1－i，则z1z2＝(　　) A.2 B.0 C.－2i D.－2 4.若复数z＝(i为虚数单位)，若其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，1) B.(－1，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) 5.已知2i是关于x的方程2x2＋q＝0的一个根，则实数q的值为(　　) A.8 B.－8 C.4 D.－4 6.设复数z满足|z|＝|z－i|＝1，且z的实部大于虚部，则z＝(　　) A.－i B.＋i C.－i D.＋i 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.复数z＝1＋，其共轭复数为，则下列叙述正确的是(　　) A.z对应的点在复平面的第四象限 B.2是一个纯虚数 C.z＝2 D.|z|＝ 8.已知关于x的方程4x2－mx＋n2＝0(m，n∈R)在复数范围内有一个根为2＋i，则下列结论正确的是(　　) A.m<4|n| B.|m|>4|n| C.m＝16 D.m＋n＝16＋2 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知复数是纯虚数，则实数a＝______. 10.如图，在复平面内，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到，则对应的复数为____________(用代数形式表示). 11.若n是奇数，则＋＝________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知复数z＝1－2i. (1)求|z|； (2)若z1＝，求z1； (3)若|z2|＝，且zz2是纯虚数，求z2. 13.(15分)已知复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位. (1)求z； (2)若复数z，2－i在复平面内对应的点分别为A，B，若四边形OABC是复平面内的平行四边形，求点C对应的复数. 14.(15分)已知复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，且复数z＋为实数. (1)求复数z； (2)设z，z2，i·z在复平面内的对应点分别为A，B，C，若点A在第二象限，求△ABC的面积. 第七章 7.1~7.3 综合练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.若复数z满足i(z＋i)＝2，则复数z的虚部是(　　) A.－3 B.3 C.1 D.0 解析：A　由i(z＋i)＝2⇒z＋i＝＝－2i⇒z＝－3i，所以复数z的虚部为－3. 2.已知a∈R，(1＋ai)i＝1＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－3 D.3 解析：A　∵(1＋ai)i＝i＋ai2＝－a＋i，又(1＋ai)i＝1＋i，a∈R，∴－a＋i＝1＋i，∴a＝－1. 3.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1－i，则z1z2＝(　　) A.2 B.0 C.－2i D.－2 解析：A　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1＝1－i，所以z2＝1＋i，所以z1z2＝(1－i)(1＋i)＝2. 4.若复数z＝(i为虚数单位)，若其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，1) B.(－1，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析：C　因为复数z＝＝＝＝－i，其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得a>1，所以实数a的取值范围为a>1. 5.已知2i是关于x的方程2x2＋q＝0的一个根，则实数q的值为(　　) A.8 B.－8 C.4 D.－4 解析：A　因为2i是关于x的方程2x2＋q＝0的一个根，所以2×(2i)2＋q＝0，则q＝－2×(2i)2＝－2×4i2＝8. 6.设复数z满足|z|＝|z－i|＝1，且z的实部大于虚部，则z＝(　　) A.－i B.＋i C.－i D.＋i 解析：B　设z＝x＋yi(x，y∈R)，复数z对应复平面内点P(x，y)，∵z的实部大于虚部，即x>y，∴排除选项D.∵|z|＝1且|z－i|＝1，则P在以原点为圆心的单位圆上运动，且P在以(0，1)为圆心的单位圆上运动.如图. 法一　点P在两圆交点A或B处，即第一或第二象限，排除选项A，C. 法二　当点P在B处时，x<0，y>0，不合题意，即点P在第一象限.故选B. 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.复数z＝1＋，其共轭复数为，则下列叙述正确的是(　　) A.z对应的点在复平面的第四象限 B.2是一个纯虚数 C.z＝2 D.|z|＝ 解析：BCD　由题意，复数z＝1＋＝1＋＝1＋i.对于A项，z＝1＋i，对应的点在复平面的第一象限，所以A项错误；对于B项，2＝(1－i)2＝－2i为纯虚数，所以B项正确；对于C项，z＝(1＋i)(1－i)＝2，所以C项正确；对于D项，|z|＝＝，所以D项正确. 8.已知关于x的方程4x2－mx＋n2＝0(m，n∈R)在复数范围内有一个根为2＋i，则下列结论正确的是(　　) A.m<4|n| B.|m|>4|n| C.m＝16 D.m＋n＝16＋2 解析：AC　∵2＋i是方程4x2－mx＋n2＝0的一个根，∴2－i也是方程4x2－mx＋n2＝0的一个根，∴即 解得故C项正确；∴m＋n＝16±2，故D项不成立；∴4|n|＝8，∴m<4|n|，故A项正确，B项错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知复数是纯虚数，则实数a＝______. 答案：1 解析：由题意＝＝＝－，由题意复数是纯虚数，a为实数，则＝0且－≠0，解得a＝1. 10.如图，在复平面内，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到，则对应的复数为____________(用代数形式表示). 答案：－i 解析：根据复数乘法的性质，将逆时针旋转150°得到的对应的复数，等于将对应的复数乘以cos 150°＋isin 150°，所以向量对应的复数为(－1＋i)(cos 150°＋isin 150°)＝(－1＋i)＝－i. 11.若n是奇数，则＋＝________. 答案：－2 解析：因为＝＝i，＝＝－i，而i2＝(－i)2＝－1，所以＋＝(－1)n＋(－1)n＝2×(－1)n，所以当n是奇数时，＋＝－2. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知复数z＝1－2i. (1)求|z|； (2)若z1＝，求z1； (3)若|z2|＝，且zz2是纯虚数，求z2. 解：(1)|z|＝＝. (2)z1＝＝＝＝＝＝－－i. (3)设z2＝a＋bi(a，b∈R)，则|z2|＝＝，所以a2＋b2＝5　①， zz2＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i， 因为zz2是纯虚数，所以a＋2b＝0，b－2a≠0　②， 由①②联立，解得或 所以z2＝2－i或z2＝－2＋i. 13.(15分)已知复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位. (1)求z； (2)若复数z，2－i在复平面内对应的点分别为A，B，若四边形OABC是复平面内的平行四边形，求点C对应的复数. 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i， 所以解得a＝1，b＝－2，所以z＝1－2i. (2)由(1)得A(1，－2)，B(2，－1)， 因为四边形OABC是复平面内的平行四边形，所以＝＝(1，1)， 故点C对应的复数为1＋i. 14.(15分)已知复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，且复数z＋为实数. (1)求复数z； (2)设z，z2，i·z在复平面内的对应点分别为A，B，C，若点A在第二象限，求△ABC的面积. 解：(1)因为复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上， 所以设z＝a－ai(a∈R)， 因为z＋＝a－ai＋＝a－ai＋＝＋i为实数， 所以－a＝0，解得a＝±1，所以z＝1－i或z＝－1＋i. (2)因为点A在第二象限，所以z＝－1＋i，故A(－1，1)， z2＝(－1＋i)2＝－2i，即B(0，－2)， i·z＝i·(－1＋i)＝－1－i，即C(－1，－1)， 所以|AC|＝2，点B到AC的距离d＝1， 所以S△ABC＝|AC|·d＝×2×1＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $