7.2.2 复数的乘、除运算题型训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算 题型一 复数代数形式的乘除运算 1．已知，其中为虚数单位，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】，则， ． 2．设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 3．计算：___________． 【答案】 【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得. 【详解】， 故答案为： 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）利用复数乘法运算性质进行求解即可； （4）根据指数幂的运算公式进行求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） （4） . 题型二 复数的乘方 5．已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】应用复数的乘方计算求解. 【详解】. 故选：A. 6．设，，，则下列说法正确的有（   ） A．若且，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，根据复数运算性质即可判断；对BD，利用待定系数法即可判断；对C，举反例即可判断. 【详解】对A，因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以选项A正确； 对B，设， 则 ， ， 即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确； 对C，若，则，所以，所以选项C错误； 对D，设， 则， ，所以.所以选项D正确． 故选：ABD． 7．__________． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用复数乘方运算计算得解. 【详解】，. 故答案为：0 8．已知复数z，w是方程的两个不同的根，且z在复平面内对应的点在第一象限． (1)求复数z； (2)求复数的实部； (3)设，求在复平面内对应的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程求根公式即可得出两个根，由于z在复平面内对应的点在第一象限确定根. （2）将（1）中得到的根代入进行复数运算. （3）先对分母实数化算出来，再利用幂次的周期性，由2025除以4的余数确定的值，最后得出对应点坐标. 【详解】（1）因为复数z，w是方程的两根， 由求根公式可得，， 因为z在复平面内对应的点在第一象限，故． （2）由（1）可得，，故，其实部为． （3）， 因为， 所以的幂次是以4为周期循环的，，其中1是余数， 所以，， 所以在复平面内对应的点的坐标为． 题型三 复数范围内分解因式 9．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可. 【详解】 已知，是方程的两个复根，所以， 则设，，所以， 故选：B. 10．（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【分析】解方程，求出或，从而判断四个选项的正误即可. 【详解】由， 得或， 即或， 解得或，显然A错误，C正确； 各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确， 故选：BCD． 11．在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 12．在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】（1） . （2）. 题型四 复数范围内方程的根 13．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 14．设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的乘法的运算结果判断A的真假；解方程可判断B的真假；利用特例说明C错误；根据虚数不能比较大小判断D的真假. 【详解】对于A，若，设，则，所以A是真命题； 对于B，由，所以或. 由或. 所以若虚数（）是方程的根，则也一定是方程的一个根，所以B是真命题； 对于C，例如，，有，但，所以C是假命题； 对于D，若，因为虚数不能比较大小，所以必为实数，所以D是真命题． 故选：ABD 15．已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ______． 【答案】 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 16．设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得､互为共轭复数，根据，再由模的计算公式可得的取值范围； （2）根据题意，，则，，根据韦达定理可得，可解问题. 【详解】（1）由已知得､互为共轭复数，设，则， 则，可得， 又因为，即，则， 综合可得，即； （2）根据题意，两点关于轴对称，则，    又为等腰直角三角形，所以， 所以，即，， 根据韦达定理可得， 所以，解得或（舍）， 所以. 题型五 复数的除法运算 17．已知复数，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以． 18．若复数，则下列结论正确的是（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 【答案】BC 【分析】利用复数的概念及运算即可判断. 【详解】对于A，z的虚部为，故A错误； 对于B，z的共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 19．已知是虚数单位，复数的模为__________． 【答案】/ 【详解】解：， ． 20．已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）使用复数的除法运算法则即可求得，进而由复数的乘法运算即可求的值； （2）由复数减法的几何性质，可确定点的轨迹为，在复平面内对应的点为，由复数减法的几何性质，当最大值，点到的距离最大，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）设在复平面上的点为， 因为，由复数减法的几何意义可得：在以为圆心，以1为半径的圆上， 即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，即， 在复平面内对应的点为，在圆上，如图： 若要取的最大值，则动点与定点的距离最大， 所以当对应的点为时，的最大值为． 题型六 根据复数乘法运算结果求复数的特征 21．若复数满足，则的实部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先根据已知条件求出复数，然后根据复数的概念识别该复数的实部. 【详解】由已知条件知：. 所以. 所以该复数的实部为-1. 故选：A. 22．，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 23．复数满足（为虚数单位），则_______. 【答案】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 24．已知复数z使得，其中i是虚数单位. (1)求复数z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算以及加法运算化简复数，即可根据复数的分类求解， （2）根据复数乘法化简，根据第四象限的点的特征即可列不等式求解. 【详解】（1）设，∴ ∴ ∴   所以，解得， ∴， ∴； （2）∵m为实数， ∴， 解得 ∴的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2 复数的乘、除运算 题型一 复数代数形式的乘除运算 1．已知，其中为虚数单位，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．计算：___________． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 复数的乘方 5．已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 6．设，，，则下列说法正确的有（   ） A．若且，则 B． C． D． 7．__________． 8．已知复数z，w是方程的两个不同的根，且z在复平面内对应的点在第一象限． (1)求复数z； (2)求复数的实部； (3)设，求在复平面内对应的点的坐标． 题型三 复数范围内分解因式 9．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 10．（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 11．在复数范围内分解因式______． 12．在复数范围内分解因式： (1)； (2). 题型四 复数范围内方程的根 13．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 14．设有下面四个命题，其中正确的有（   ） A．若，则 B．若虚数是方程的根，则也是方程的根 C．已知复数，，则的充要条件是 D．若复数，则， 15．已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ______． 16．设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 题型五 复数的除法运算 17．已知复数，则（   ） A．2 B． C． D． 18．若复数，则下列结论正确的是（   ） A．z的虚部为 B．z的共轭复数为 C． D． 19．已知是虚数单位，复数的模为__________． 20．已知复数，，求： (1)． (2)若，且，求的最大值． 题型六 根据复数乘法运算结果求复数的特征 21．若复数满足，则的实部为（    ） A． B． C．1 D．2 22．，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 23．复数满足（为虚数单位），则_______. 24．已知复数z使得，其中i是虚数单位. (1)求复数z的共轭复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $