6.1-6.2 平面向量的概念、平面向量的运算 综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 6.1~6.2 综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.已知向量a与b的夹角为60°，其中|a|＝3，|b|＝2，则a·b＝(　　) A.6 B.5 C.3 D.2 2.下面命题中，正确的是(　　) A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若|a|>|b|，则a>b C.若a＝－b，则a∥b D.若|a|＝0，则a＝0 3.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a－b平行，则实数λ＝(　　) A. B.－ C.2 D.－2 4.已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝2，且(b－a)⊥b，则|b|＝(　　) A.1 B. C. D.2 5.已知在直角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B＝90°且满足a＝，c＝1，BM⊥AC，且点M在AC上，则·的值为(　　) A. B. C. D. 6.在△ABC中，＝，点E在BD上，若＝x＋，则x＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　) A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝e1－e2，b＝－e1 C.a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ D.a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2 8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且＝2，点F是BD上靠近点D的四等分点，则(　　) A.＝－ B.＝＋ C.＝－ D.＝＋ 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是____________. 10.已知||＝3，||＝4，∠BAC＝90°，则|－|＝________. 11.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的最大值是________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2. (1)求a·b； (2)求证：(a＋b)⊥(a－b). 13.(15分)设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线； (2)若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值，并指出4a＋kb与ka＋b反向共线时k的取值. 14.(15分)已知平面向量a，b，|a|＝2，|b|＝，且b·(a－b)＝0. (1)求a与b的夹角θ的值； (2)当|b－λa|取得最小值时，求实数λ的值. 第六章 6.1~6.2综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.已知向量a与b的夹角为60°，其中|a|＝3，|b|＝2，则a·b＝(　　) A.6 B.5 C.3 D.2 解析：C　a·b＝|a||b|cos 60°＝3×2×＝3. 2.下面命题中，正确的是(　　) A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若|a|>|b|，则a>b C.若a＝－b，则a∥b D.若|a|＝0，则a＝0 解析：C　对于A，若|a|＝|b|，但两向量方向不确定，则a＝b不成立，故选项A错误；对于B，向量无法比较大小，故选项B错误；对于C，若a＝－b，则两向量反向，因此a∥b，故选项C正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故选项D错误. 3.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a－b平行，则实数λ＝(　　) A. B.－ C.2 D.－2 解析：D　因为向量a，b不平行，向量λa＋b与a－b平行，所以λa＋b＝k，k≠0，即解得λ＝－2.故选D. 4.已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝2，且(b－a)⊥b，则|b|＝(　　) A.1 B. C. D.2 解析：A　由已知|a＋b|＝2，即a2＋b2＋2a·b＝1＋b2＋2a·b＝4，又(b－a)⊥b，则(b－a)·b＝b2－a·b＝0，解得b2＝1，|b|＝1.故选A. 5.已知在直角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B＝90°且满足a＝，c＝1，BM⊥AC，且点M在AC上，则·的值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　由题意可作图如图所示，由∠B＝90°，则AC＝＝，由BM⊥AC，则AB·BC＝AC·BM，解得BM＝＝＝，易知△ABC∽△AMB，则∠ABM＝∠C，即cos ∠ABM＝cos ∠C＝＝＝，·＝||||cos ∠ABM＝1××＝. 6.在△ABC中，＝，点E在BD上，若＝x＋，则x＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：C　因为＝，所以＝，则＝x＋＝x(－)＋(－)＝－＝×－＝－，因为B，E，D三点共线，所以－＝1，解得x＝－. 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　) A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝e1－e2，b＝－e1 C.a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ D.a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2 解析：ABD　对于A，因为a＝－3e1，b＝2e1，故b＝－a，即a∥b，故A正确；对于B，因为a＝e1－e2，b＝－e1＝－e1＋e2，则b＝－a，故B正确；对于C，a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋＝(e1＋e2)，由于e1，e2不共线，故b≠λa，所以向量a，b不平行，故C错误；对于D，a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2，故b＝2a，此时a∥b，故D正确.故选ABD. 8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且＝2，点F是BD上靠近点D的四等分点，则(　　) A.＝－ B.＝＋ C.＝－ D.＝＋ 解析：AC　由＝2，则＝2，所以＝，易知＝，所以＝－＝，由点F是BD上靠近点D的四等分点，则＝，＝－＝－＝(＋)－(－)＝－. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是____________. 答案：平行四边形 解析：已知四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则－＝－⇒＝，所以BA＝CD，BA∥CD，则四边形ABCD的形状是平行四边形. 10.已知||＝3，||＝4，∠BAC＝90°，则|－|＝________. 答案：5 解析：因为∠BAC＝90°，所以·＝0.由|－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝9－0＋16＝25，所以|－|＝5. 11.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的最大值是________. 答案：6 解析：·＝||||cos 〈，〉，如图，过点C作CH⊥AB，由图可知，当P与点C重合时，||cos 〈，〉取得最大值，此时·取得最大值，所以·＝||||cos 〈，〉＝||||，因为AB＝BC＝2，∠CBH＝，所以BH＝1，所以AH＝3，所以·＝||||＝3×2＝6. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2. (1)求a·b； (2)求证：(a＋b)⊥(a－b). (1)解：由题意可得|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝|e1||e2|cos 〈e1，e2〉＝， a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2)＝6|e1|2－13e1·e2＋6|e2|2＝6－13×＋6＝. (2)证明：∵a＋b＝5e1－5e2，a－b＝e1＋e2， ∴(a＋b)·(a－b)＝(5e1－5e2)·(e1＋e2)＝5(e－e)＝5－5＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b). 13.(15分)设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线； (2)若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值，并指出4a＋kb与ka＋b反向共线时k的取值. (1)证明：由＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b， 得＝－＝6a＋2b－(4a－2b)＝2a＋4b， ＝－＝2a－6b－(6a＋2b)＝－4a－8b＝－2(2a＋4b)＝－2， 所以∥，且有公共点B，所以A，B，C三点共线. (2)解：由4a＋kb与ka＋b共线， 则存在实数λ，使得4a＋kb＝λ， 即a＋b＝0， 又a，b是不共线的两个非零向量，因此 解得或 实数k的值是±4. 当k＝－4时，4a＋kb与ka＋b反向共线. 14.(15分)已知平面向量a，b，|a|＝2，|b|＝，且b·(a－b)＝0. (1)求a与b的夹角θ的值； (2)当|b－λa|取得最小值时，求实数λ的值. 解：(1)由b·(a－b)＝0，|b|＝，可得a·b＝b2＝3， 又|a|＝2，所以cos θ＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)因为a·b＝b2＝3，|a|＝2， 所以|b－λa|＝＝＝≥＝. 所以|b－λa|的最小值为，此时λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $