周周练01 6.1-6.2平面向量的概念、平面向量的运算（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练01 6.1-6.2平面向量的概念、平面向量的运算 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C B C A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．11 13．西北方向5km 14．② 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 16．（本小题满分15分） ，，，． 【解析】根据向量加减法的平行四边形法则、三角形法则和数乘运算法则进行运算即可. 【详解】在中，，． 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ， ， ， ． 【点睛】本题考查利用平行四边形的性质，用向量表示几何元素，结合向量的加减法和数乘运算等性质，用向量来解决几何问题. 17．（本小题满分15分） 【分析】利用向量的定义直接求解即可 【详解】如图所示. （1）终点坐标为 （2）终点坐标为 （3）终点坐标为 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量的夹角，是基础题 18．（本小题满分16分） 小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【分析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度. 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设E为渡口A在对岸对应的点，则，． 在中，∵，∴． ∴E与D重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小. 19．（本小题满分17分） （1）-3（2）-5（3）-34（4） 【解析】（1）由平面向量数量积，运算即可得解； （2）由，，运算即可得解； （3）由平面向量数量积的运算，结合平面向量的运算性质求解即可； （4）由，再结合平面向量数量积的运算求解即可. 【详解】解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的运算性质及向量模的运算，属基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练01 6.1-6.2平面向量的概念、平面向量的运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列四个命题：①若，则；②，则；③若，则.其中正确的命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】利用零向量，向量平行，向量的定义可直接判定. 【详解】对于①，忽略了0与的区别，，故①错误； 对于②，混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误； 对于③，两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等，故③错误. 故选:A 【点睛】本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题. 2．下列说法正确的是 A．有向线段与表示同一向量 B．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．对任一向量，是一个单位向量 【答案】C 【解析】由平面向量的定义、平行向量及单位向量的可依次对选项判断. 【详解】对于选项A，向量与方向相反，不是同一向量，故选项A错误； 对于选项B，有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故B错误； 对于选项C，零向量与任意向量都是平行向量，故C正确； 对于选项D，当时，无意义，故D错误. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的定义与平行向量的应用，属于基础题． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与不是共线向量 【答案】C 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 4．若平面向量，满足，，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】由，可得，再结合，展开可求出答案. 【详解】由，可知，展开可得， 所以， 又，，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题. 5．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 6．设非零向量，满足，则 A．⊥ B． C．∥ D． 【答案】A 【详解】由平方得，即，则，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题. 7．如图，为圆的一条弦，且，则 A．4 B．-4 C．8 D．-8 【答案】D 【详解】分析：设AB的中点为M，连接OM，运用圆的垂径定理，可得OM⊥AB，运用向量的数量积的定义和解直角三角形的知识，即可得到． 详解：设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB， 则=2• =2||•||•cos=-2×2•||•cos =-4||=-8． 故选D． 点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 8．如图，已知中,点在线段上, 点在线段上且满足,若,则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意，由于中,点在线段上, 点在线段上且满足,,那么结合已知条件中，由于，则可知,结合已知的边和角可知，所求的数量积为-2，故选A. 考点：向量的数量积的运用 点评:解决的冠军艾女士对于已知的三角形建立适当的坐标系，然后借助于向量的坐标法求解，或者运用向量的基本定理来变形得到，属于基础题． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量是相等向量 B．若，，则 C．共线向量是在一条直线上的向量 D．向量与共线是，，，四点共线的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】根据向量的相关概念判断可得. 【详解】解：相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故A说法错误；B说法显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故C说法错误；，，，四点共线向量与共线，反之不成立，所以向量与共线是，，，四点共线的必要不充分条件，故D说法正确. 故选： 【点睛】本题考查向量的相关概念的理解，相等向量、共线向量，属于基础题. 10．如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误； 等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确； 故选：. 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题. 11．若，，均为单位向量，且，，则的值可能为（　　） A．－1 B．1 C． D．2 【答案】AB 【分析】利用平面向量的模长公式求解. 【详解】因为，，均为单位向量，且，， 所以，所以， 又，故 而 ， 所以即 所以选项C，D不正确，选项A，B正确． 故选：A，B. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个. 【答案】11 【分析】画图列举即可 【详解】马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以点为起点作向量，共3个；以点为起点作向量，共8个所以共有11个. 故填11 【点睛】本题考查向量的概念，考查数形结合思想是基础题 13．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是 . 【答案】西北方向5km 【详解】根据题意画出图形如图所示，由图形可得C地在B地的西北方向5km处．      答案：西北方向5km 14．给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是 . 【答案】② 【解析】根据向量的基本概念与性质判定即可. 【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ②正确  ∵,∴且, 又A,B,C,D是不共线的四点, ∴四边形为平行四边形. 反之,若四边形为平行四边形,则且,∴; ③不正确,当且方向相反时,,但不能得到,故且不是的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：② 【点睛】本题主要考查了向量的基本概念与性质,属于基础题型. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 16．(本小题满分15分)如图，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和． 【答案】，，，． 【解析】根据向量加减法的平行四边形法则、三角形法则和数乘运算法则进行运算即可. 【详解】在中，，． 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ， ， ， ． 【点睛】本题考查利用平行四边形的性质，用向量表示几何元素，结合向量的加减法和数乘运算等性质，用向量来解决几何问题. 17．(本小题满分15分)在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标 （1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是. 【答案】见解析 【分析】利用向量的定义直接求解即可 【详解】如图所示. （1）终点坐标为 （2）终点坐标为 （3）终点坐标为 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量的夹角，是基础题 18．(本小题满分16分)有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向． 【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【分析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度. 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设E为渡口A在对岸对应的点，则，． 在中，∵，∴． ∴E与D重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小. 19．(本小题满分17分)已知，，向量与的夹角为120°，求： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）-3（2）-5（3）-34（4） 【解析】（1）由平面向量数量积，运算即可得解； （2）由，，运算即可得解； （3）由平面向量数量积的运算，结合平面向量的运算性质求解即可； （4）由，再结合平面向量数量积的运算求解即可. 【详解】解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的运算性质及向量模的运算，属基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练01 6.1-6.2平面向量的概念、平面向量的运算 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列四个命题：①若，则；②，则；③若，则.其中正确的命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法正确的是 A．有向线段与表示同一向量 B．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．对任一向量，是一个单位向量 3．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与不是共线向量 4．若平面向量，满足，，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．8 5．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．设非零向量，满足，则 A．⊥ B． C．∥ D． 7．如图，为圆的一条弦，且，则 A．4 B．-4 C．8 D．-8 8．如图，已知中,点在线段上, 点在线段上且满足,若,则的值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量是相等向量 B．若，，则 C．共线向量是在一条直线上的向量 D．向量与共线是，，，四点共线的必要不充分条件 10．如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若，，均为单位向量，且，，则的值可能为（　　） A．－1 B．1 C． D．2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个. 13．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是 . 14．给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 16．如图，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和． 17．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标 （1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是. 18．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向． 19．已知，，向量与的夹角为120°，求： （1）； （2）； （3）； （4）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $